Апсолутна вредност

График функције апсолутне вредности

У математици, апсолутна вредност (или модуо) реалног броја је његова нумеричка вредност не узимајући у обзир знак тог броја.

Нпр. бројеви 3 и −3 имају апсолутну вредност 3, апсолутна вредност броја 5 је 5, броја −4 је 4, док је 0 апсолутна вредност само за број 0.

Дефиниција

За било који реалан број -{a}-, апсолутна вредност, означава се |-{a}-|, је једнака броју -{a}- ако је -{a}- ≥ 0, и −-{a}- ако је -{a}- < 0. $|a|=\{\begin{array}{cc}a,& a\ge 0\\ -a,& a<0\end{array}$

|-{a}-| не може бити негативан број јер је апсолутна вредност увек или позитиван број или 0. Другим речима, неједначина |-{a}-| < 0 нема решења. Такође, не мора важити |−-{a}-| = -{a}-, пошто -{a}- може бити негативно.

Апсолутна вредност се може разумети као удаљеност датог броја од нуле.

Својства

Апсолутна вредност броја -{a}- има следећа својства:

1. |-{a}-| ≥ 0
2. |-{a}-| = 0 ако и само ако -{a}- = 0.
3. |-{a}--{b}-| = |-{a}-||-{b}-|
4. |-{a}-/-{b}-| = |-{a}-| / |-{b}-| (ако је -{b}- ≠ 0)
5. |-{a}-+-{b}-| ≤ |-{a}-| + |-{b}-| (неједнакост троугла)
6. |-{a}-−-{b}-| ≥ ||-{a}-| − |-{b}-||
7. $\left|a\right|=\sqrt{a^2}$
8. |-{a}-| ≤ -{b}- ако и само ако −-{b}- ≤ -{a}- ≤ -{b}-
9. |-{a}-| ≥ -{b}- ако и само ако -{a}- ≤ −-{b}- или -{b}- ≤ -{a}-

Последња два својства су корисна при решавању неједначина, нпр:

|-{x}- − 3| ≤ 9

−9 ≤ -{x}-−3 ≤ 9

−6 ≤ -{x}- ≤ 12.

За реалну вредност аргумента, функција -{f}-(-{x}-) = |-{x}-| је непрекидна свуда, а диференцијабилна свуда осим за -{x}- = 0. Уколико је аргумент комплексна променљива, функција је непрекидна свуда, али није нигде холоморфна (односно диференцијабилна; један начин да се то види је да се докаже да не задовољава Коши-Риманове једначине).

За комплексни број -{z}- = -{a}- + -{ib}-, дефинише се модуо комплексног броја као |-{z}-| = √(-{a}-² + -{b}-²) = √ (-{z}- -{z}-^*) (погледати квадратни корен и Конјугован комплексан број). Овако дефинисан модуо комплексног броја задовољава својства 1-6 дата изнад. Опет се модуо комплексног броја, као и за реалне бројеве, може разумети као удаљеност од координатног почетка.

Често је корисно израз |-{x}- − -{y}-| посматрати као растојање између -{x}- и -{y}- (на реалној бројевној правој уколико су -{x}- и -{y}- реални бројеви, или, пак, у комплексној равни, уколико су -{x}- и -{y}- комплексни бројеви). Коришћењем овакве дефиниције, и скуп реалних, и скуп комплексних бројева постају метрички простори.

Функција није инвертибилна јер се сваком броју -{a}- и његовом опозиту −-{a}- додељују исте вредности.

Апсолутна вредност комплексног броја

Апсолутна вредност комплексног броја (такође звана и модуо комплексног броја) $c\in ℂ$ је дата као $|c|=\sqrt{c\bar{c}}$, где је $\bar{c}$ конјугована вредност броја $c$. Писањем $c$ као $c=a+bi$ за $a,b\in ℝ$, горња једначина се своди на $|c|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Апсолутна вредност вектора

Апсолутна вредност вектора -{v}- = (-{x}-₁, -{x}-₂,..., -{x}-_-{n}-) у Еуклидском простору -{R}-^-{n}- дата је као

$\left|𝐯\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$.

|-{v}-| се може сматрати дужином вектора -{v}-.

Алгоритам

У -{C}- програмском језику, abs(), labs(), llabs() (у -{C99}-), fabs(), fabsf(), и fabsl() функције рачунају апсолутну вредност њиховог аргумента. Кодирање апсолутне вредности када је аргумент цео број је лако:

int abs(int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}