L-функција

Прототип свих L-функција: Риманова зета-функција у комплексној равни. Нулта тачка, односно координатни почетак комплексне равни, налази се тачно у средини дијаграма. Различите боје кодирају различита аргумента комплексних вредности функције. Светли тонови показују вредности функције са великом апсолутном вредношћу, док тамни тонови означавају ниску вредност, близу нуле.

L-функције се истражују у аналитичкој теорији бројева и сродним математичким областима. Прототипски пример L-функције је Риманова зета-функција. L-функције деле фундаменталне особине са Римановом зета-функцијом, те представљају њене генерализације.

Теорија L-функција постала је веома значајан, и још увек у великој мери конјектуралан, део савремене аналитичке теорије бројева. У оквиру ове теорије, конструишу се широке генерализације Риманове зета-функције и L-редова за Дирихлеов карактер, а њихова општа својства, у већини случајева још увек ван домашаја доказа, систематски се излажу. Због формуле Ојлеровог производа, постоји дубока веза између L-функција и теорије простих бројева.

Фундаменталне особине које L-функције деле са Римановом зета-функцијом укључују:

• У одређеном делу комплексне равни, L-функција се поклапа са Дирихлеовим редом и Ојлеровим производом, који обоје апсолутно конвергирају.
• L-функција, која је првобитно дефинисана само у том делу равни, може се аналитички наставити у мероморфну функцију на целој комплексној равни.
• Настављена L-функција задовољава функционалну једначину одређеног типа.

На основу темељних радова Леонарда Ојлера (1707–1783) на функцији која се данас назива Риманова зета-функција, математичари Бернхард Риман (1826–1866), Петер Густав Дирихле (1805–1859), Рихард Дедекинд (1831–1916), Ерих Хеке (1887–1947) и Емил Артин (1898–1962) истраживали су основне подкласе L-функција, које данас носе њихова имена.

Истраживање у циљу проналажења опште и јединствене дефиниције појма „L-функција”, која би омогућила доказивање жељених и делимично још недоказаних својстава, још увек није завршено. Штавише, један од важних циљева аналитичке теорије бројева јесте да се разјасни најсмисленија дефиниција овог појма. У том правцу, Атле Селберг (1917–2007) је 1989. године предложио аксиоматску дефиницију класе свих L-функција, која данас носи назив „Селбергова класа”. Да ли овај или други предлози дефиниције већ обухватају сва пожељна својства L-функција и искључују непожељна, још увек није коначно разјашњено. Математичке претпоставке (тј. недоказане, али сматране вероватним или пожељним изјаве о својствима L-функција) и даље обликују теорију L-функција, која стога остаје област интензивних математичких истраживања.

Појмови „L-функција” и „зета-функција” се често користе синонимно. Ипак, не спадају све математичке функције чији назив садржи појам „зета-функција” у L-функције. На пример, примзета-функција не спада у L-функције, јер се не може аналитички наставити на целу комплексну раван.

Дефиниција

Као што је поменуто у уводу, још увек не постоји општа, јединствена и широко прихваћена дефиниција појма „L-функција”. Наредни приступ дефиницији следи онај који су дали математичари Хенрик Ивањец и Емануел Ковалски у свом уџбенику о аналитичкој теорији бројева. Овај приступ је местимично апстрактан и непотпун у смислу да не прецизира „аритметичке објекте” којима додељује „L-функцију”, као ни тачан механизам те доделе. Међутим, он обухвата својства која се генерално очекују од L-функција и омогућава објашњење кључних карактеристика ових функција. Такође, уводе се и други основни појмови теорије L-функција.

Нека је $f$ — у оквиру ове апстрактне дефиниције неспецификован — аритметички објекат, нпр. Дирихлеов карактер или алгебарски бројни поље. Овом аритметичком објекту $f$ придружена је функција $L(f,s)$, која пресликава комплексне аргументе $s\in ℂ$ у комплексне вредности. Ивањец и Ковалски називају такву функцију $L(f,s)$ L-функцијом ако су објекту $f$ придружени следећи математички објекти (видети Д-1 до Д-6) који испуњавају наведене услове (видети У-1 до У-9):

Д-1

Дирихлеов ред и Ојлеров производ: Аритметичком објекту $f$ придружени су Дирихлеов ред, који се назива и L-ред,

$\sum _{n\in \mathbb{N}}\lambda (f,n)n^{-s}$,

и Ојлеров производ:

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1-{\alpha }_1(f,p)p^{-s}{)}^{-1}\cdot \dots \cdot (1-{\alpha }_d(f,p)p^{-s}{)}^{-1}$.

Притом је $\lambda (f,n)\in ℂ$ за све природне бројеве $n\in \mathbb{N}$ и $\lambda (f,1)=1$. $\mathbb{P}$ симболизује скуп свих простих бројева. Природан број $d\in \mathbb{N}$ назива се степен Ојлеровог производа или степен L-функције $L(f,s)$. За сваки прост број $p$ и свако $i\in \{1,\dots ,d\}$, ${\alpha }_i(f,p)\in ℂ$. Комплексни бројеви ${\alpha }_i(f,p)$ називају се локални корени или локални параметри од $L(f,s)$ у $p$. За дато $p\in \mathbb{P}$, израз

$(1-{\alpha }_1(f,p)p^{-s}{)}^{-1}\cdot \dots \cdot (1-{\alpha }_d(f,p)p^{-s}{)}^{-1}$,

тј. $p$-ти фактор у Ојлеровом производу, назива се Ојлеров фактор од $L(f,s)$ у $p$.

Д-2

Гама-фактор: Објекту $f$ је такође придружен гама-фактор

$\gamma (f,s)={\pi }^{-ds/2}\prod _{j=1}^d\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s+{\kappa }_j}{2}\right)$

где је $\mathrm{\Gamma }$ гама-функција, $\pi$ број пи, а $d$ горе поменути степен L-функције. Параметри ${\kappa }_j$ су комплексни бројеви. Они се називају локални параметри од $L(f,s)$ у бесконачности или на бесконачној простој тачки.

Д-3

Кондуктор: Објекту $f$ је такође придружен природан број

$q(f)\in \mathbb{N}$,

који се назива кондуктор (водич) од $L(f,s)$. Прости бројеви $p\in \mathbb{P}$ који не деле $q(f)$ називају се неразгранати у односу на $L(f,s)$.

Д-4

Комплетирана L-функција: Помоћу Дирихлеовог реда, гама-фактора и кондуктора који су придружени $f$, дефинише се комплетирана L-функција од $f$:

$\mathrm{\Lambda }(f,s)=q(f{)}^{s/2}\gamma (f,s)L(f,s).$

Д-5

Коренски број: Објекту $f$ је такође придружен комплексан број

$ϵ(f)\in ℂ$

који се назива коренски број од $L(f,s)$.

Д-6

Дуални аритметички објекат: На крају, $f$ је придружен још један аритметички објекат, који у оквиру ове апстрактне дефиниције није ближе специфициран. Он се назива дуал од $f$ и означава са $\overline{f}$. Као и у случају $f$, и $\overline{f}$ су придружени Дирихлеов ред, Ојлеров производ, гама-фактор, кондуктор и комплетирана L-функција. Ако је $f=\overline{f}$, онда се $L(f,s)$ назива самодуалном, што значи да је $\lambda (f,n)\in ℝ$ за све $n\in \mathbb{N}$.

Наведени објекти придружени аритметичком објекту $f$ морају задовољити следеће услове да би $L(f,s)$ била L-функција према Ивањецу и Ковалском:

• У-1: Апсолутна вредност локалних параметара у $p$: За сваки прост број $p$ и свако $i\in \{1,\dots ,d\}$ важи $|{\alpha }_i(f,p)|<p$.
• У-2: Вредности локалних параметара за неразгранато $p$: За све просте бројеве $p$ који су неразгранати у односу на $L(f,s)$, и за свако $i\in \{1,\dots ,d\}$, важи ${\alpha }_i(f,p)\ne 0$.
• У-3: Захтеви за локалне параметре у бесконачности: Параметри ${\kappa }_j$ су или реални или се појављују у комплексно коњугованим паровима у гама-фактору $\gamma (f,s)$. Такође, $\mathrm{\Re }({\kappa }_j)>-1$ за свако $j\in \{1,\dots ,d\}$. Овај последњи услов осигурава да $\gamma (f,s)$ нема нула у $ℂ$ и нема полова са $\mathrm{\Re }(s)\ge 1$. $\mathrm{\Re }$ означава реални део комплексног броја.
• У-4: Апсолутна конвергенција Дирихлеовог реда и Ојлеровог производа: И Дирихлеов ред и Ојлеров производ, придружени $f$, апсолутно конвергирају за $\mathrm{\Re }(s)>1$.
• У-5: Подударност L-функције, Дирихлеовог реда и Ојлеровог производа у комплексној полуравни: L-функција, Дирихлеов ред и Ојлеров производ, придружени $f$, поклапају се у комплексној полуравни $\mathrm{\Re }(s)>1$:

$L(f,s)=\sum _{n\in \mathbb{N}}\lambda (f,n)n^{-s}=\prod _{p\in \mathbb{P}}(1-{\alpha }_1(f,p)p^{-s}{)}^{-1}\cdot \dots \cdot (1-{\alpha }_d(f,p)p^{-s}{)}^{-1}.$

• У-6: Аналитички наставак и полови: Из услова које мора задовољити Дирихлеов ред придружен $f$ следи холоморфност комплетиране L-функције $\mathrm{\Lambda }(f,s)$ у полуравни $\mathrm{\Re }(s)>1$. Међутим, она мора имати и аналитички наставак у мероморфну функцију реда 1 на целом $ℂ$, која има полове највише у $s=0$ и $s=1$.
• У-7: Апсолутна вредност коренског броја: Коренски број $ϵ(f)\in ℂ$ има апсолутну вредност 1. Дакле: $|ϵ(f)|=1$.
• У-8: Захтеви за објекте придружене дуалу од $f$: Што се тиче дуала $\overline{f}$ од $f$, мора важити: $\lambda (\overline{f},n)=\overline{\lambda (f,n)}$ за све $n\in \mathbb{N}$, као и $\gamma (\overline{f},s)=\gamma (f,s)$ и $q(\overline{f})=q(f)$. То значи: у Дирихлеовом реду придруженом $\overline{f}$, $\lambda$-коефицијенти су комплексно коњуговани бројеви $\lambda$-коефицијената у Дирихлеовом реду придруженом $f$. Гама-фактори и кондуктори придружени $f$ и $\overline{f}$ се поклапају.
• У-9: Функционална једначина: Две комплетиране L-функције, придружене $f$ и $\overline{f}$, задовољавају функционалну једначину

$\mathrm{\Lambda }(f,s)=ϵ(f)\mathrm{\Lambda }(\overline{f},1-s)$

за све $s\in ℂ$.

Атле Селберг (1917–2007)

Дефиниција Ивањеца и Ковалског одражава чињеницу да се функција која се сматра L-функцијом обично појављује као придруживање L-функције неком математичком објекту (нпр. Дирихлеов карактер, алгебарско поље бројева). Њихов приступ је апстрактан и непотпун јер оставља отвореним питање шта су тачно ти математички објекти и како се то придруживање врши.

Без позивања на друге математичке објекте, приступ норвешко-америчког математичара Атле Селберга из 1989. године је другачији. У неапстрактној, јединственој дефиницији, он специфицира подскуп скупа свих Дирихлеових редова чији елементи морају задовољити одређена својства: апсолутна конвергенција, аналитички наставак, функционална једначина, Рамануџанова претпоставкаШаблон:Напомена-Н и Ојлеров производ. Овај подскуп се данас назива Селберговом класом.

Најважнија хипотеза и мотивациони оквир за дефиницију Селбергове класе је такозвана Велика Риманова хипотеза. Примењена на Селбергову класу, ова хипотеза тврди: ниједна нула аналитичког наставка Дирихлеовог реда у Селберговој класи нема реални део већи од 1/2. Ова хипотеза одговара, у случају (вероватно) најједноставнијег елемента Селбергове класе (Риманов Дирихлеов ред и његов аналитички наставак у Риманову зета-функцију), Римановој хипотези, која до данас није ни доказана ни оборена. Велика Риманова хипотеза до сада није доказана нити оборена ни за један елемент Селбергове класе.

У том светлу треба посматрати и постојеће недостатке у дефиницији појма „L-функција”: жеља је да се појам „L-функција” дефинише тако да L-функције доказиво задовољавају Велику Риманову хипотезу — с друге стране, до сада није било могуће доказати ни најједноставнији случај (Риманова хипотеза за Риманову зета-функцију), што може бити знак недостатка разумевања Риманове зета-функције и тиме отежава јединствену дефиницију генерализујућег појма „L-функција”.

Примери L-функција

Овај одељак даје преглед основних примера L-функција.

Риманова зета-функција

Бернхард Риман (1826–1866)

Најједноставнији пример L-функције и истовремено полазна тачка за сваку дефиницију појма „L-функција” је Риманова зета-функција $\zeta$. Један од могућих „аритметичких објеката” $f$ у смислу дефиниционог приступа Ивањеца и Ковалског, коме се ова L-функција може придружити, јесте поље $\mathbb{Q}$ рационалних бројева. Њена Дирихлеова редна вредност

$\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n^s},$

дакле

$\lambda (\mathbb{Q},n)=1$

за све $n\in \mathbb{N}$, конвергира за $\mathrm{\Re }(s)>1$ апсолутно. Заједно са својим такође апсолутно конвергентним Ојлеровим производом важи за $\mathrm{\Re }(s)>1$:

$\zeta (s)=L(\mathbb{Q},s)=\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\in \mathbb{P}}(1-p^{-s}{)}^{-1}.$

Риманова зета-функција $\zeta (s)$: Контурне линије Realteil($\zeta$(s))=0, плава, и Imaginärteil($\zeta$(s))=0, љубичаста, за −5<Re(s)<3 и −25<Im(s)<65, као и „критична линија” Re(s)=1/2, браон. За Re(s)<1, пресеци плавих и љубичастих контурних линија су нуле Риманове зета-функције.

Пошто су сви $\lambda (\mathbb{Q},n)$ реални, наиме једнаки 1, $\zeta (s)$ је самодуална. Дуални објекат од $f=\mathbb{Q}$ је дакле такође $\mathbb{Q}$, те је $\overline{f}=\mathbb{Q}$. Степен Ојлеровог производа Риманове зета-функције је

$d=1$.

За њене локалне параметре у $p$ важи:

$\alpha (\mathbb{Q},p)=1$

за све $p\in \mathbb{P}$. Обично се за Риманову зета-функцију користи следећи гама-фактор:

$\gamma (\mathbb{Q},s)={\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right).$

Локални параметар $\kappa$ у бесконачности је дакле 0. Кондуктор од $\zeta$ је

$q(\mathbb{Q})=1$,

тако да комплетирана Риманова зета-функција има облик

$\mathrm{\Lambda }(\mathbb{Q},s):=\gamma (\mathbb{Q},s)L(\mathbb{Q},s)={\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$

Ова дефиниција је важећа само за $\mathrm{\Re }(s)>1$, пошто се само у тој полуравни Риманова зета-функција може дефинисати преко свог Дирихлеовог реда или Ојлеровог производа. Међутим, комплетирана Риманова зета-функција има аналитички наставак у мероморфну функцију на целој комплексној равни. Овај наставак је холоморфан осим у две једноставне полне тачке у $s=0$ и $s=1$ са резидумима -1 односно 1. Ако се и настављена, комплетирана Риманова зета-функција означи са $\mathrm{\Lambda }$, онда она задовољава са коренским бројем

$ϵ(\mathbb{Q})=1$

функционалну једначину

$\mathrm{\Lambda }(\mathbb{Q},s)=\mathrm{\Lambda }(\mathbb{Q},1-s).$

Тиме и Риманова зета-функција, која је првобитно дефинисана само за $\mathrm{\Re }(s)>1$ преко свог Дирихлеовог реда или Ојлеровог производа, има аналитички наставак у мероморфну функцију на $ℂ$, која једино у $s=1$ није дефинисана, јер тамо има прост пол са резидуумом 1. Ако се задржи ознака $\zeta$ и за настављену Риманову зета-функцију, она задовољава функционалну једначину

${\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)={\pi }^{-\frac{1-s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta (1-s).$

(Аналитички настављена) Риманова зета-функција крије једно од најважнијих питања аналитичке теорије бројева, а то је питање тачне локације њених такозваних нетривијалних нула. Оне се налазе у критичном појасу $0<\mathrm{\Re }(s)<1$. Риманова хипотеза из 1859. године — до данас ни доказана нити оповргнута — поставља тезу да све нетривијалне нуле Риманове зета-функције имају реални део 1/2. Доказ ове хипотезе омогућио би посебно добре процене о расподели простих бројева.

Дирихлеове L-функције

Петер Густав Дирихле (1805–1859)

Најближи сродници Риманове зета-функције су Дирихлеове L-функције, које садрже Риманову зета-функцију као посебан случај. Док су у Дирихлеовом реду који одговара Римановој зета-функцији сви $\lambda$-коефицијенти једнаки 1, код Дирихлеових L-функција они се дефинишу помоћу Дирихлеовог карактера. Они тако узимају комплексне вредности са апсолутном вредношћу 1 или су једнаки 0. Нека је за $m\in \mathbb{N}$ дат Дирихлеов карактер модула $m$

$\chi :(\mathbb{Z}/m{)}^{\times }⟶S^1:=\{z\in ℂ:|z|=1\}$

тј. групни хомоморфизам из групе елемената инвертибилних у односу на множење у прстену остатака $\mathbb{Z}/m$ у кружну групу $S^1$ комплексних бројева са апсолутном вредношћу 1. Такав Дирихлеов карактер $\chi$ назива се примитиван, а $m$ кондуктор од $\chi$, ако он већ не произилази из композиције

$(\mathbb{Z}/m{)}^{\times }⟶(\mathbb{Z}/m^{\prime }{)}^{\times }\stackrel{{\chi }^{\prime }}{⟶}{S}^1$

из Дирихлеовог карактера ${\chi }^{\prime }$ модула $m^{\prime }$ са правим делитељем $m^{\prime }$ од $m$. Помоћу таквог Дирихлеовог карактера $\chi$ дефинише се следеће пресликавање, које се такође означава са $\chi$ и назива Дирихлеов карактер модула $m$:

$\chi :\mathbb{Z}\to ℂ,\chi (n)=\{\begin{array}{cc}\chi (n\mathrm{mod}m)& \text{falls}\mathrm{ggT}(n,m)=1\\ 0& \text{falls}\mathrm{ggT}(n,m)>1.\end{array}$

Дирихлеова L-функција за Дирихлеов карактер $\chi$ модула 7 са $\chi (3)=\exp (i\pi /3)$ за комплексне бројеве s са −7 < Re(s) < 8 и −20 < Im(s) < 20: Сродност са Римановом зета-функцијом је очигледна. Ипак, постоје значајне разлике: пошто је $\chi$ нетривијални Дирихлеов карактер, приказана функција је цела. Она, дакле, нема полну тачку као Риманова зета-функција у $s=1$. У поређењу са Римановом зета-функцијом, реалне (тривијалне) нуле су померене за једну јединицу удесно. Оне су видљиве као црне тачке у -1, -3, -5 итд. на дијаграму. Црне тачке у вертикалном појасу 0<Re(s)<1 припадају бесконачном броју не-реалних (нетривијалних) нула ове Дирихлеове L-функције. Велика Риманова хипотеза очекује сваку од ових нетривијалних нула на вертикалној правој Re(s)=1/2.

Тривијални Дирихлеови карактери ${\chi }^0$ модула $m$ имају вредност функције 1 ако је $\mathrm{ggT}(n,m)=1$, а иначе 0. Тривијални Дирихлеов карактер модула 1 назива се главни карактер. Он задовољава $\chi (n)=1$ за све $n\in \mathbb{N}$.

Ако је сада $\chi :\mathbb{Z}\to ℂ$ примитивни Дирихлеов карактер модула $m$, онда се овом аритметичком објекту $\chi$ придружује L-функција на следећи начин: Са

$\lambda (\chi ,n):=\chi (n)$

конвергира Дирихлеов ред (такође назван Дирихлеова L-вредност)

$L(\chi ,s):=\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{\lambda (\chi ,n)}{n^s}=\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{\chi (n)}{n^s}$

за $\mathrm{\Re }(s)>1$ апсолутно. Са локалним параметрима у $p$

$\alpha (\chi ,p):=\chi (p)$

ово важи и за припадајући Ојлеров производ, па имамо идентитет

$L(\chi ,s)=\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{\chi (n)}{n^s}=\prod _{p\in \mathbb{P}}(1-\chi (p)p^{-s}{)}^{-1}$

за $\mathrm{\Re }(s)>1$. Као и код Риманове зета-функције,

$d=1$

је степен Ојлеровог производа. Ако се стави $\kappa =0$ ако је $\chi (-1)=1$ (у том случају се $\chi$ назива паран), и $\kappa =1$ ако је $\chi (-1)=-1$ (у том случају се $\chi$ назива непаран), онда је

$\gamma (\chi ,s)={\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s+\kappa }{2}\right)$

гама-фактор придружен $\chi$. То $\kappa \in \{0,1\}$ је дакле локални параметар на бесконачној простој тачки. Кондуктор $m$ примитивног Дирихлеовог карактера $\chi$ је такође кондуктор Дирихлеове L-функције:

$q(\chi )=m$.

Комплетирана Дирихлеова L-функција стога има облик

$\mathrm{\Lambda }(\chi ,s):=q(\chi {)}^{\frac{s}{2}}\gamma (\chi ,s)L(\chi ,s)={\left(\frac{m}{\pi }\right)}^{\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s+\kappa }{2}\right)\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{\chi (n)}{n^s},$

дефиниција која важи само за $\mathrm{\Re }(s)>1$, пошто само ту конвергира коришћени Дирихлеов ред. Таква комплетирана Дирихлеова L-функција се може аналитички наставити на $ℂ$. При томе настаје цела функција ако је $\chi$ нетривијални Дирихлеов карактер. Иначе, настављена функција има прост пол у $s=1$ са резидуумом 1. Дуални објекат од $\chi$ је $\bar{\chi }$, дакле онај Дирихлеов карактер који настаје из $\chi$ комплексном конјугацијом вредности функције $\chi$, тј.

$\bar{\chi }(n)=\overline{\chi (n)}$

за све $n\in \mathbb{N}$. Коренски број $ϵ(\chi )$ се може израчунати помоћу Гаусове суме

$\tau (\chi )=\sum _{x\mathrm{mod}q(\chi )}\chi (x)\exp (2\pi ix/q(\chi ))$

у којој се сумација протеже преко свих класа остатака модула кондуктора $q(\chi )=m$, а $\pi$ је број пи, $i$ имагинарна јединица и $\exp$ експоненцијална функција. Са

$ϵ(\chi )=\{\begin{array}{cc}\frac{\tau (\chi )}{\sqrt{q(\chi )}}& \text{falls}\chi (-1)=1\\ \frac{\tau (\chi )}{i\sqrt{q(\chi )}}& \text{falls}\chi (-1)=-1\end{array}$

настављена, комплетирана Дирихлеова L-функција задовољава функционалну једначину

$\mathrm{\Lambda }(\chi ,s)=ϵ(\chi )\mathrm{\Lambda }(\bar{\chi },1-s).$

Како се захтева од коренских бројева, $|ϵ(\chi )|=1$, јер је $|\tau (\chi )|=\sqrt{q(\chi )}$. Дирихлеове L-функције укључују Риманову зета-функцију, јер она настаје из тривијалног Дирихлеовог карактера модула 1, дакле главног карактера.

Немачки математичар Петер Густав Дирихле користио је 1837. године по њему назване Дирихлеове L-функције да би доказао Дирихлеову теорему о простим бројевима, по којој се у свакој аритметичкој прогресији

$a,a\pm n,a\pm 2n,a\pm 3n,\dots ,\text{ mit }\mathrm{ggT}(a,n)=1,\text{ wobei }a,n\in \mathbb{N},$

тј. у свакој класи остатака $a\mathrm{mod}n$, налази бесконачно много простих бројева. Одлучујући аргумент у доказу Дирихлеове теореме о простим бројевима је сазнање да је $\mathrm{\Lambda }(\chi ,1)\ne 0$ за сваки нетривијални Дирихлеов карактер $\chi$.

Дедекиндове L-функције

Рихард Дедекинд (1831–1916)

Риманова зета-функција се односи на поље $\mathbb{Q}$ рационалних бројева, најједноставније алгебарско поље бројева. Дедекиндове L-функције генерализују овај однос на произвољна алгебарска поља бројева. Нека је $K$ алгебарско поље бројева и $n_K=[K:\mathbb{Q}]\in \mathbb{N}$ његов степен проширења над $\mathbb{Q}$. Нека је ${𝒪}_K$ његов прстен целих бројева, а $d_K\in \mathbb{Z}$ његова дискриминанта. Нека су $n_1\in {\mathbb{N}}_0$ број реалних улагања и $n_2\in {\mathbb{N}}_0$ број парова комплексних улагања од $K$. Тада је $n_K=n_1+2n_2$.

Дедекиндова L-функција (такође позната као Дедекиндова зета-функција) у односу на $K$ је за $\mathrm{\Re }(s)>1$ дефинисана са

${\zeta }_K(s):=L(K,s):=\sum _{0\ne 𝔞\subset {𝒪}_K}\frac{1}{𝒩(𝔞{)}^s}.$

У суми, $𝔞$ пролази кроз сва ненулта, цела идеала од ${𝒪}_K$. $𝒩(𝔞)\in \mathbb{N}$ означава апсолутну норму од $𝔞$. Коефицијенти Дирихлеовог реда

$\sum _{0\ne 𝔞\subset {𝒪}_K}\frac{1}{𝒩(𝔞{)}^s}=\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{\lambda (K,n)}{n^s}$

су дакле:

$\lambda (K,n)=\mathrm{\#}\{0\ne 𝔞\subset {𝒪}_K\mid 𝒩(𝔞)=n\}\in {\mathbb{N}}_0.$

Они за свако $n\in \mathbb{N}$ дају број целих идеала од ${𝒪}_K$ са апсолутном нормом $n$. Посебно, сви коефицијенти $\lambda (K,n)$ су реални, па је $L(K,s)$ самодуална. Овај Дирихлеов ред конвергира апсолутно за $\mathrm{\Re }(s)>1$, као и одговарајући Ојлеров производ

$\prod _{0\ne 𝔭\subset {𝒪}_K}\frac{1}{1-𝒩(𝔭{)}^{-s}}.$

Притом се производ протеже преко свих ненултих простих идеала $𝔭$ од ${𝒪}_K$. За $\mathrm{\Re }(s)>1$ важи идентитет

$L(K,s)=\sum _{0\ne 𝔞\subset {𝒪}_K}\frac{1}{𝒩(𝔞{)}^s}=\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{\lambda (K,n)}{n^s}=\prod _{0\ne 𝔭\subset {𝒪}_K}\frac{1}{1-𝒩(𝔭{)}^{-s}}.$

Степен Ојлеровог производа једнак је степену проширења поља $K/\mathbb{Q}$:

$d=[K:\mathbb{Q}]=n_K.$

Гама-фактор за $L(K,s)$ је:

$\gamma (K,s)={\pi }^{-\frac{s\cdot n_K}{2}}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{s}{2}\right)}^{n_1+n_2}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{s+1}{2}\right)}^{n_2}.$

Апсолутна вредност дискриминанте од $K$ је кондуктор од $L(K,s)$:

$q(K)=|d_K|.$

Комплетна L-функција за $K$ је за $\mathrm{\Re }(s)>1$ дата са

$\mathrm{\Lambda }(K,s):=q(K{)}^{\frac{s}{2}}\gamma (K,s)L(K,s).$

Она има аналитички наставак на целу комплексну раван са простим половима у $s=0$ и $s=1$. Дедекиндове L-функције увек имају коренски број 1, па је функционална једначина:

$\mathrm{\Lambda }(K,s)=\mathrm{\Lambda }(K,1-s).$

Хекеове L-функције

Ерих Хеке (1887–1947)

Хекеове L-функције су заједничке генерализације Дирихлеових и Дедекиндових L-функција. Оне се односе на произвољна алгебарска поља бројева и зависе од одговарајућих карактера. Ерих Хеке је дефинисао ове L-функције помоћу такозваних Гресенкарактера (Größencharaktere). Модернији приступ користи иделске класне карактере.

Хекеове L-серије са Гресенкарактерима имају облик:

$L(\chi ,s)=\sum _{0\ne 𝔞\subset {𝒪}_K}\frac{\chi (𝔞)}{𝒩(𝔞{)}^s}.$

Овде $K$ означава алгебарско поље бројева, а $\chi$ је Гресенкарактер, дефинисан на групи разломљених идеала $J^{𝔪}$ који су узајамно прости са целим идеалом $𝔪$.

Модернија теорија користи иделске класне карактере дефинисане на иделској класној групи ${𝔸}^{\times }/K^{\times }$ поља $K$, где је ${𝔸}^{\times }$ иделска група, а $K^{\times }$ група главних идела. Овај приступ омогућава дефинисање комплетне L-функције која има аналитички наставак и задовољава функционалну једначину.

Артинове L-функције

Емил Артин (1898–1962)

Док се претходни примери L-функција директно односе на поља бројева, Артинове L-функције су придружене репрезентацијама Галоаове групе једног Галоаовог проширења поља. Нека је $E/K$ Галоаово проширење поља бројева са Галоаовом групом $G:=G(E/K)$, и нека је $\rho :G⟶GL(V)$ репрезентација од $G$ на коначно-димензионалном комплексном векторском простору $V$.

Артинова L-серија за репрезентацију $(\rho ,V)$ дефинисана је као Ојлеров производ:

$L(\rho ,s):=\prod _{0\ne 𝔭\subset {𝒪}_K}\det (1-{\varphi }_{𝔓}{q}_{𝔭}^{-s};V^{I_{𝔓}}{)}^{-1}.$

Овде ${\varphi }_{𝔓}$ означава Фробенијусов аутоморфизам, а $V^{I_{𝔓}}$ је подпростор од $V$ фиксиран групом инерције. Производ се протеже преко свих простих идеала од $K$. Ова серија апсолутно конвергира за $\mathrm{\Re }(s)>1$.Шаблон:Чињеница

Артинове L-функције такође имају комплетну верзију $\mathrm{\Lambda }(\rho ,s)$ са гама-фактором, кондуктором и коренским бројем, и задовољавају функционалну једначину. Још увек недоказана Артинова претпоставка тврди да је свака Артинова L-функција (за нетривијалне иредуцибилне репрезентације) холоморфна на целој комплексној равни.Шаблон:Чињеница

Аутоморфне L-функције

Шаблон:Главни чланак Аутоморфне L-функције настају из аутоморфних форми и аутоморфних репрезентација. Пример је L-функција повезана са модуларном формом. Ако је $f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a(n)e^{2\pi inz}$ касп форма тежине $k$ за пуну модуларну групу, повезана L-функција је дата са:

$L(f,s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}.$

Ова серија конвергира за $\mathrm{\Re }(s)>\frac{k+1}{2}$. Хеке је показао да $L(f,s)$ има аналитички наставак на целу комплексну раван и задовољава функционалну једначину која повезује $L(f,s)$ са $L(f,k-s)$.Шаблон:Чињеница

Ленглендсов програм предвиђа да свака Артинова L-функција одговара аутоморфној L-функцији, што би имплицирало Артинову претпоставку.

Претпостављене особине

Очекује се да L-функције имају следећа својства:

1. **Положај нула и полова:** Информације о вредностима функције.
2. **Функционална једначина:** Симетрија у односу на вертикалну праву $\mathrm{\Re }(s)=\text{const}$.
3. **Специјалне вредности:** Интересантне вредности у целобројним тачкама, често повезане са алгебарским инваријантама.

Велика Риманова хипотеза тврди да све нетривијалне нуле било које L-функције леже на "критичној правој" $\mathrm{\Re }(s)=1/2$. Статистичка својства расподеле нула су такође од великог интереса због њихове везе са теоријом случајних матрица и квантним хаосом.

Атле Селберг је 1989. године формулисао Селбергову класу, аксиоматски приступ који обухвата очекивана својства L-функција.

Види још

• L-функција елиптичке криве
• Ленглендсов програм
• Претпоставка Бирча и Свинертон-Дајера

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Daniel Bump et al.: An Introduction to the Langlands Program. Уредници: Joseph Bernstein, Stephen Gelbart. Birkhäuser, Boston 2004, Шаблон:ISBN.
• Шаблон:Cite book
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1992, Шаблон:ISBN.
• Cristian Popescu, Karl Rubin, Alice Silverberg (уредници): Arithmetic of L-functions (= IAS/Park City Mathematics Series. Band 18). 1. Auflage. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA 2011, Шаблон:ISBN.

Спољашње везе

• The L-functions and modular forms database - LMFDB Обимна база L-функција и других објеката из теорије бројева.