Ојлеров производ

У теорији бројева, Ојлеров производ је развој Дирихлеовог реда у бесконачан производ индексиран простим бројевима. Оригинални такав производ дао је Леонард Ојлер за суму свих позитивних целих бројева подигнутих на одређени степен. Овај ред и његов наставак на целу комплексну раван касније су постали познати као Риманова зета-функција.Шаблон:Чињеница

Дефиниција

Уопштено, ако је Шаблон:Mvar ограничена мултипликативна функција, онда је Дирихлеов ред

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}$

једнак

$\prod _{p\in \mathbb{P}}P(p,s)\text{за }\mathrm{Re}(s)>1.$

где се производ узима преко простих бројева Шаблон:Mvar, а Шаблон:Math је сума

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(p^k)}{p^{ks}}=1+\frac{a(p)}{p^s}+\frac{a(p^2)}{p^{2s}}+\frac{a(p^3)}{p^{3s}}+\cdots$

У ствари, ако ово посматрамо као формалне генераторске функције, постојање таквог формалног развоја Ојлеровог производа је нужан и довољан услов да Шаблон:Math буде мултипликативно: ово тачно каже да је Шаблон:Math производ од Шаблон:Math кад год се Шаблон:Mvar факторише као производ степена Шаблон:Math различитих простих бројева Шаблон:Mvar.Шаблон:Чињеница

Важан посебан случај је онај у коме је Шаблон:Math потпуно мултипликативна функција, тако да је Шаблон:Math геометријски ред. Тада је

$P(p,s)=\frac{1}{1-\frac{a(p)}{p^s}},$

као што је случај за Риманову зета-функцију, где је Шаблон:Math, и уопштеније за Дирихлеове карактере.Шаблон:Чињеница

Конвергенција

У пракси, сви важни случајеви су такви да су бесконачни ред и бесконачни производ апсолутно конвергентни у некој области

$\mathrm{Re}(s)>C,$

то јест, у некој десној полуравни у комплексним бројевима. Ово већ даје неке информације, јер бесконачни производ, да би конвергирао, мора дати ненулту вредност; стога функција дата бесконачним редом није нула у таквој полуравни.Шаблон:Чињеница

У теорији модуларних форми типично је имати Ојлерове производе са квадратним полиномима у имениоцу. Општа Ленглендсова филозофија укључује упоредиво објашњење везе између полинома степена Шаблон:Mvar и теорије репрезентација за Шаблон:Math.

Примери

Следећи примери ће користити нотацију $\mathbb{P}$ за скуп свих простих бројева, то јест:

$\mathbb{P}=\{p\in \mathbb{N}|p\text{ је прост}\}.$

Ојлеров производ везан за Риманову зета-функцију Шаблон:Math, такође користећи суму геометријског реда, јестеШаблон:Чињеница

$\begin{array}{cc}\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\right)& =\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p^{ks}}\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\zeta (s).\end{array}$

док је за Лијувилову функцију Шаблон:Math, он

$\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{p^s}}\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}=\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}.$

Користећи њихове реципроке, два Ојлерова производа за Мебијусову функцију Шаблон:Math суШаблон:Чињеница

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}$

и

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1+\frac{1}{p^s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}.$

Узимањем односа ова два производа добија се

$\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{1+\frac{1}{p^s}}{1-\frac{1}{p^s}}\right)=\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right)=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)}.$

Пошто за парне вредности Шаблон:Mvar Риманова зета-функција Шаблон:Math има аналитички израз у облику рационалног умношка од Шаблон:Math, онда за парне експоненте овај бесконачни производ даје рационалан број. На пример, пошто је Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math, тада је

$\begin{array}{cccc}\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{p^2+1}{p^2-1}\right)& =\frac{5}{3}\cdot \frac{10}{8}\cdot \frac{26}{24}\cdot \frac{50}{48}\cdot \frac{122}{120}\cdots & =\frac{\zeta (2{)}^2}{\zeta (4)}& =\frac{5}{2},\\ \prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{p^4+1}{p^4-1}\right)& =\frac{17}{15}\cdot \frac{82}{80}\cdot \frac{626}{624}\cdot \frac{2402}{2400}\cdots & =\frac{\zeta (4{)}^2}{\zeta (8)}& =\frac{7}{6},\end{array}$

и тако даље, при чему је први резултат познат од Рамануџана. Ова породица бесконачних производа је такође еквивалентна са

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1+\frac{2}{p^s}+\frac{2}{p^{2s}}+\cdots )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{\omega (n)}}{n^s}=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)},$

где Шаблон:Math броји број различитих простих фактора од Шаблон:Mvar, а Шаблон:Math је број бесквадратних делитеља. Ако је Шаблон:Math Дирихлеов карактер кондуктора Шаблон:Mvar, тако да је Шаблон:Mvar потпуно мултипликативна и Шаблон:Math зависи само од Шаблон:Math, и Шаблон:Math ако Шаблон:Mvar није узајамно прост са Шаблон:Mvar, онда

$\prod _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{1-\frac{\chi (p)}{p^s}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}.$

Овде је згодно изоставити просте бројеве Шаблон:Mvar који деле кондуктор Шаблон:Mvar из производа.Шаблон:Чињеница

У својим свескама, Рамануџан је генерализовао Ојлеров производ за зета-функцију као

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(x-\frac{1}{p^s})\approx \frac{1}{{\mathrm{Li}}_s(x)}$

за Шаблон:Math где је Шаблон:Math полилогаритам. За Шаблон:Math горњи производ је тачно Шаблон:Math.

Значајне константе

Многе познате константе имају развој у Ојлеров производ.

[[Лајбницова формула за π|Лајбницова формула за Шаблон:Pi]]

$\frac{\pi }{4}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$

може се тумачити као Дирихлеов ред користећи (јединствени) Дирихлеов карактер модуло 4, и конвертовати у Ојлеров производ суперпартикуларних односа (разломака где се бројилац и именилац разликују за 1):

$\frac{\pi }{4}=\left(\prod _{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p-1}\right)\left(\prod _{p\equiv 3(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p+1}\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{11}{12}\cdot \frac{13}{12}\cdots ,$

где је сваки бројилац прост број, а сваки именилац најближи вишекратник броја 4.

Остали Ојлерови производи за познате константе укључују:

• Харди-Литлвудова константа двојних простих бројева:

   :$\prod _{p>2}(1-\frac{1}{{(p-1)}^2})=\mathrm{0.660161...}$

• Ландау-Рамануџанова константа:

   :$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}\prod _{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}{(1-\frac{1}{p^2})}^{\frac{1}{2}}& =\mathrm{0.764223...}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\prod _{p\equiv 3(\mathrm{mod}4)}{(1-\frac{1}{p^2})}^{-\frac{1}{2}}& =\mathrm{0.764223...}\end{array}$

• Муратина константа Шаблон:OEIS:

   :$\prod _p(1+\frac{1}{{(p-1)}^2})=\mathrm{2.826419...}$

• Јака безбрижна константа Шаблон:Math Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1-\frac{1}{{(p+1)}^2})=\mathrm{0.775883...}$

• Артинова константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1-\frac{1}{p(p-1)})=\mathrm{0.373955...}$

• Ландауова тотијент константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1+\frac{1}{p(p-1)})=\frac{315}{2{\pi }^4}\zeta (3)=\mathrm{1.943596...}$

• Безбрижна константа Шаблон:Math Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1-\frac{1}{p(p+1)})=\mathrm{0.704442...}$
   и њен реципрок Шаблон:OEIS2C:
   :$\prod _p(1+\frac{1}{p^2+p-1})=\mathrm{1.419562...}$

• Фелер-Торнијеова константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\prod _p(1-\frac{2}{p^2})=\mathrm{0.661317...}$

• Константа квадратног броја класа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1-\frac{1}{p^2(p+1)})=\mathrm{0.881513...}$

• Константа суматорног тотијента Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1+\frac{1}{p^2(p-1)})=\mathrm{1.339784...}$

• Сарнакова константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _{p>2}(1-\frac{p+2}{p^3})=\mathrm{0.723648...}$

• Безбрижна константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1-\frac{2p-1}{p^3})=\mathrm{0.428249...}$

• Јака безбрижна константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1-\frac{3p-2}{p^3})=\mathrm{0.286747...}$

• Стивенсова константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1-\frac{p}{p^3-1})=\mathrm{0.575959...}$

• Барбанова константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1+\frac{3p^2-1}{p(p+1)(p^2-1)})=\mathrm{2.596536...}$

• Танигучијева константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p(1-\frac{3}{p^3}+\frac{2}{p^4}+\frac{1}{p^5}-\frac{1}{p^6})=\mathrm{0.678234...}$

• Хит-Браун-Морозова константа Шаблон:OEIS2C:

   :$\prod _p{(1-\frac{1}{p})}^7(1+\frac{7p+1}{p^2})=\mathrm{0.0013176...}$

Референце

• G. Polya, Шаблон:Cite book (1954) L.C. Card 53-6388 (Веома приступачан енглески превод Ојлеровог мемоара о овом "Најнеобичнијем закону бројева" појављује се почевши од стране 91)
• Шаблон:Apostol IANT (Пружа уводну дискусију о Ојлеровом производу у контексту класичне теорије бројева.)
• G.H. Hardy and E.M. Wright, Шаблон:Cite book, Oxford (1979) (Поглавље 17 даје даље примере.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Шаблон:Cite book, Springer (2005),
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"

Спољашње везе

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Cite web