Дирихлеов карактер

У аналитичкој теорији бројева и сродним гранама математике, комплексно-вредносна аритметичка функција $\chi :\mathbb{Z}\to ℂ$ је Дирихлеов карактер модула $m$ (где је $m$ позитиван цео број) ако за све целе бројеве $a$ и $b$ важи:

1. $\chi (ab)=\chi (a)\chi (b);$ то јест, $\chi$ је потпуно мултипликативна функција.
2. $\chi (a)\{\begin{array}{cc}=0& \text{ако је }gcd(a,m)>1\\ \ne 0& \text{ако је }gcd(a,m)=1.\end{array}$ (gcd је највећи заједнички делилац)
3. $\chi (a+m)=\chi (a)$; то јест, $\chi$ је периодична са периодом $m$.

Најједноставнији могући карактер, назван главни карактер, који се обично означава са ${\chi }_0$ (погледајте Нотација испод), постоји за све модуле:

${\chi }_0(a)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ако је }gcd(a,m)>1\\ 1& \text{ако је }gcd(a,m)=1.\end{array}$

Немачки математичар Петер Густав Лежен Дирихле — по коме је карактер добио име — увео је ове функције у свом раду из 1837. године о простим бројевима у аритметичким прогресијама. У том раду, користећи концепте математичке анализе за решавање алгебарског проблема, Дирихле је практично утемељио грану аналитичке теорије бројева. При доказивању своје теореме, увео је Дирихлеове карактере и L-функције.

Нотација

$\varphi (n)$ је Ојлерова фи функција.

${\zeta }_n$ је комплексни примитивни n-ти корен јединице:

${\zeta }_n^n=1,$ али ${\zeta }_n\ne 1,{\zeta }_n^2\ne 1,\mathrm{...}{\zeta }_n^{n-1}\ne 1.$

$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ је група јединица мод $m$. Има ред $\varphi (m).$

$\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}$ је група Дирихлеових карактера мод $m$.

$p,p_k,$ итд. су прости бројеви.

$(m,n)$ је стандардна скраћеница за $gcd(m,n)$

$\chi (a),{\chi }^{\prime }(a),{\chi }_r(a),$ итд. су Дирихлеови карактери. (мало грчко слово хи за „карактер”)

Не постоји стандардна нотација за Дирихлеове карактере која укључује модул. У многим контекстима (као у доказу Дирихлеове теореме) модул је фиксиран. У другим контекстима, као у овом чланку, појављују се карактери различитих модула. Где је прикладно, овај чланак користи варијацију Конрејевог означавања (које је увео Брајан Конреј и користи ЛМФДБ).

У овом означавању, карактери за модул $m$ означавају се са ${\chi }_{m,t}(a)$ где је индекс $t$ описан у одељку група карактера испод. У овом означавању, ${\chi }_{m,\mathrm{\_}}(a)$ означава неодређени карактер, а ${\chi }_{m,1}(a)$ означава главни карактер мод $m$.

Однос са групним карактерима

Реч „карактер” се користи на неколико начина у математици. У овом одељку, односи се на хомоморфизам из групе $G$ (написане мултипликативно) у мултипликативну групу поља комплексних бројева:

$\eta :G\to {ℂ}^{\times },\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\eta (g^{-1})=\eta (g{)}^{-1}.$

Скуп карактера означава се са $\hat{G}.$ Ако се производ два карактера дефинише тачкастим множењем $\eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),$ идентитет тривијалним карактером ${\eta }_0(a)=1$ и инверз комплексном инверзијом ${\eta }^{-1}(a)=\eta (a{)}^{-1}$, тада $\hat{G}$ постаје абелова група.

Ако је $A$ коначна абелова група, тада постоји изоморфизам $A\cong \hat{A}$, и важе релације ортогоналности:

$\sum _{a\in A}\eta (a)=\{\begin{array}{cc}|A|& \text{ ако је }\eta ={\eta }_0\\ 0& \text{ ако је }\eta \ne {\eta }_0\end{array}$     и     $\sum _{\eta \in \hat{A}}\eta (a)=\{\begin{array}{cc}|A|& \text{ ако је }a=1\\ 0& \text{ ако је }a\ne 1.\end{array}$

Елементи коначне абелове групе $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ су класе остатака $[a]=\{x:x\equiv a(\mathrm{mod}m)\}$ где је $(a,m)=1.$

Групни карактер $\rho :(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {ℂ}^{\times }$ се може проширити на Дирихлеов карактер $\chi :\mathbb{Z}\to ℂ$ дефинисањем

$\chi (a)=\{\begin{array}{ccc}0& \text{ако је }[a]\in ̸(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }& \text{тј. }(a,m)>1\\ \rho ([a])& \text{ако је }[a]\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }& \text{тј. }(a,m)=1,\end{array}$

и обрнуто, Дирихлеов карактер мод $m$ дефинише групни карактер на $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }.$

Парафразирајући Давенпорта, Дирихлеови карактери се могу сматрати посебним случајем карактера абелових група. Али овај чланак прати Дирихлеа дајући директан и конструктиван приказ. То је делимично из историјских разлога, јер је Дирихлеов рад претходио развоју теорије група за неколико деценија, а делимично из математичког разлога, наиме што група у питању има једноставну и занимљиву структуру која се замагљује ако се третира као општа абелова група.

Елементарне чињенице

4) Пошто је $gcd(1,m)=1,$ својство 2) каже да је $\chi (1)\ne 0$, па се може скратити са обе стране једнакости $\chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)$:

$\chi (1)=1.$

5) Својство 3) је еквивалентно са

ако је $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$   онда је $\chi (a)=\chi (b).$

6) Својство 1) имплицира да, за било који позитиван цео број $n$

$\chi (a^n)=\chi (a{)}^n.$

7) Ојлерова теорема каже да ако је $(a,m)=1$, онда је $a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m).$ Према томе,

$\chi (a{)}^{\varphi (m)}=\chi (a^{\varphi (m)})=\chi (1)=1.$

То јест, ненулте вредности од $\chi (a)$ су $\varphi (m)$-ти корени јединице:

$\chi (a)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ако је }gcd(a,m)>1\\ {\zeta }_{\varphi (m)}^r& \text{ако је }gcd(a,m)=1\end{array}$

за неки цео број $r$ који зависи од $\chi ,\zeta ,$ и $a$. Ово имплицира да постоји само коначан број карактера за дати модул.

8) Ако су $\chi$ и ${\chi }^{\prime }$ два карактера за исти модул, и њихов производ $\chi {\chi }^{\prime },$ дефинисан тачкастим множењем, јесте карактер:

$\chi {\chi }^{\prime }(a)=\chi (a){\chi }^{\prime }(a)$   ($\chi {\chi }^{\prime }$ очигледно задовољава 1-3).

Главни карактер је идентитет:

$\chi {\chi }_0(a)=\chi (a){\chi }_0(a)=\{\begin{array}{ccc}0\times 0& =\chi (a)& \text{ако је }gcd(a,m)>1\\ \chi (a)\times 1& =\chi (a)& \text{ако је }gcd(a,m)=1.\end{array}$

9) Нека $a^{-1}$ означава инверз од $a$ у $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$. Тада је

$\chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (a{a}^{-1})=\chi (1)=1,$ па је $\chi (a^{-1})=\chi (a{)}^{-1},$ што проширује својство 6) на све целе бројеве.

Комплексни конјугат корена јединице је такође његов инверз (погледајте овде за детаље), па за $(a,m)=1$ важи

$\bar{\chi }(a)=\chi (a{)}^{-1}=\chi (a^{-1}).$   ($\bar{\chi }$ такође очигледно задовољава 1-3).

Дакле, за све целе бројеве $a$

$\chi (a)\bar{\chi }(a)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ако је }gcd(a,m)>1\\ 1& \text{ако је }gcd(a,m)=1\end{array};$   другим речима $\chi \bar{\chi }={\chi }_0$. 

10) Множење и идентитет дефинисани у 8) и инверзија дефинисана у 9) претварају скуп Дирихлеових карактера за дати модул у коначну абелову групу.

Група карактера

Постоје три различита случаја јер групе $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ имају различите структуре у зависности од тога да ли је $m$ степен 2, степен непарног простог броја, или производ степена простих бројева.

Степени непарних простих бројева

Ако је $q=p^k$ непаран број, $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }$ је циклична реда $\varphi (q)$; генератор се назива примитивни корен мод $q$. Нека је $g_q$ примитивни корен и за $(a,q)=1$ дефинишемо функцију ${\nu }_q(a)$ (индекс од $a$) са

$a\equiv g_q^{{\nu }_q(a)}(\mathrm{mod}q),$

$0\le {\nu }_q<\varphi (q).$

За $(ab,q)=1,a\equiv b(\mathrm{mod}q)$ ако и само ако је ${\nu }_q(a)={\nu }_q(b).$ Пошто је

$\chi (a)=\chi (g_q^{{\nu }_q(a)})=\chi (g_q{)}^{{\nu }_q(a)},$   $\chi$ је одређен својом вредношћу на $g_q.$

Нека је ${\omega }_q={\zeta }_{\varphi (q)}$ примитивни $\varphi (q)$-ти корен јединице. Из својства 7) изнад, могуће вредности од $\chi (g_q)$ су ${\omega }_q,{\omega }_q^2,\mathrm{...}{\omega }_q^{\varphi (q)}=1.$ Ове различите вредности дају $\varphi (q)$ Дирихлеових карактера мод $q.$ За $(r,q)=1$ дефинишемо ${\chi }_{q,r}(a)$ као

${\chi }_{q,r}(a)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ако је }gcd(a,q)>1\\ {\omega }_q^{{\nu }_q(r){\nu }_q(a)}& \text{ако је }gcd(a,q)=1.\end{array}$

Тада за $(rs,q)=1$ и све $a$ и $b$

${\chi }_{q,r}(a){\chi }_{q,r}(b)={\chi }_{q,r}(ab),$ што показује да је ${\chi }_{q,r}$ карактер, и

${\chi }_{q,r}(a){\chi }_{q,s}(a)={\chi }_{q,rs}(a),$ што даје експлицитан изоморфизам $\widehat{(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}{)}^{\times }}\cong (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}{)}^{\times }.$

Примери m = 3, 5, 7, 9

2 је примитивни корен мод 3.   ($\varphi (3)=2$)

$2^1\equiv 2,2^2\equiv 2^0\equiv 1(\mathrm{mod}3),$

па су вредности од ${\nu }_3$

$\begin{array}{ccc}a& 1& 2\\ {\nu }_3(a)& 0& 1\end{array}$.

Ненулте вредности карактера мод 3 су

$\begin{array}{ccc}& 1& 2\\ {\chi }_{3,1}& 1& 1\\ {\chi }_{3,2}& 1& -1\end{array}$

2 је примитивни корен мод 5.   ($\varphi (5)=4$)

$2^1\equiv 2,2^2\equiv 4,2^3\equiv 3,2^4\equiv 2^0\equiv 1(\mathrm{mod}5),$

па су вредности од ${\nu }_5$

$\begin{array}{ccccc}a& 1& 2& 3& 4\\ {\nu }_5(a)& 0& 1& 3& 2\end{array}$.

Ненулте вредности карактера мод 5 су

$\begin{array}{ccccc}& 1& 2& 3& 4\\ {\chi }_{5,1}& 1& 1& 1& 1\\ {\chi }_{5,2}& 1& i& -i& -1\\ {\chi }_{5,3}& 1& -i& i& -1\\ {\chi }_{5,4}& 1& -1& -1& 1\end{array}$

3 је примитивни корен мод 7.   ($\varphi (7)=6$)

$3^1\equiv 3,3^2\equiv 2,3^3\equiv 6,3^4\equiv 4,3^5\equiv 5,3^6\equiv 3^0\equiv 1(\mathrm{mod}7),$

па су вредности од ${\nu }_7$

$\begin{array}{ccccccc}a& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\nu }_7(a)& 0& 2& 1& 4& 5& 3\end{array}$.

Ненулте вредности карактера мод 7 су ($\omega ={\zeta }_6,{\omega }^3=-1$)

$\begin{array}{ccccccc}& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\chi }_{7,1}& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ {\chi }_{7,2}& 1& -\omega & {\omega }^2& {\omega }^2& -\omega & 1\\ {\chi }_{7,3}& 1& {\omega }^2& \omega & -\omega & -{\omega }^2& -1\\ {\chi }_{7,4}& 1& {\omega }^2& -\omega & -\omega & {\omega }^2& 1\\ {\chi }_{7,5}& 1& -\omega & -{\omega }^2& {\omega }^2& \omega & -1\\ {\chi }_{7,6}& 1& 1& -1& 1& -1& -1\end{array}$.

2 је примитивни корен мод 9.   ($\varphi (9)=6$)

$2^1\equiv 2,2^2\equiv 4,2^3\equiv 8,2^4\equiv 7,2^5\equiv 5,2^6\equiv 2^0\equiv 1(\mathrm{mod}9),$

па су вредности од ${\nu }_9$

$\begin{array}{ccccccc}a& 1& 2& 4& 5& 7& 8\\ {\nu }_9(a)& 0& 1& 2& 5& 4& 3\end{array}$.

Ненулте вредности карактера мод 9 су ($\omega ={\zeta }_6,{\omega }^3=-1$)

$\begin{array}{ccccccc}& 1& 2& 4& 5& 7& 8\\ {\chi }_{9,1}& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ {\chi }_{9,2}& 1& \omega & {\omega }^2& -{\omega }^2& -\omega & -1\\ {\chi }_{9,4}& 1& {\omega }^2& -\omega & -\omega & {\omega }^2& 1\\ {\chi }_{9,5}& 1& -{\omega }^2& -\omega & \omega & {\omega }^2& -1\\ {\chi }_{9,7}& 1& -\omega & {\omega }^2& {\omega }^2& -\omega & 1\\ {\chi }_{9,8}& 1& -1& 1& -1& 1& -1\end{array}$.

Степени 2

$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^{\times }$ је тривијална група са једним елементом. $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}{)}^{\times }$ је циклична група реда 2. За 8, 16 и веће степене 2, не постоји примитивни корен; степени од 5 су јединице $\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, а њихови негативи су јединице $\equiv 3(\mathrm{mod}4).$ На пример

$5^1\equiv 5,5^2\equiv 5^0\equiv 1(\mathrm{mod}8)$

$5^1\equiv 5,5^2\equiv 9,5^3\equiv 13,5^4\equiv 5^0\equiv 1(\mathrm{mod}16)$

$5^1\equiv 5,5^2\equiv 25,5^3\equiv 29,5^4\equiv 17,5^5\equiv 21,5^6\equiv 9,5^7\equiv 13,5^8\equiv 5^0\equiv 1(\mathrm{mod}32).$

Нека је $q=2^k,k\ge 3$; тада је $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }$ директан производ цикличне групе реда 2 (генерисане са −1) и цикличне групе реда $\frac{\varphi (q)}{2}$ (генерисане са 5). За непарне бројеве $a$ дефинишемо функције ${\nu }_0$ и ${\nu }_q$ са

$a\equiv (-1{)}^{{\nu }_0(a)}{5}^{{\nu }_q(a)}(\mathrm{mod}q),$

$0\le {\nu }_0<2,0\le {\nu }_q<\frac{\varphi (q)}{2}.$

За непарне $a$ и $b,a\equiv b(\mathrm{mod}q)$ ако и само ако је ${\nu }_0(a)={\nu }_0(b)$ и ${\nu }_q(a)={\nu }_q(b).$ За непаран $a$ вредност $\chi (a)$ је одређена вредностима од $\chi (-1)$ и $\chi (5).$ Нека је ${\omega }_q={\zeta }_{\frac{\varphi (q)}{2}}$ примитивни $\frac{\varphi (q)}{2}$-ти корен јединице. Могуће вредности $\chi ((-1{)}^{{\nu }_0(a)}{5}^{{\nu }_q(a)})$ су $\pm {\omega }_q,\pm {\omega }_q^2,\mathrm{...}\pm {\omega }_q^{\frac{\varphi (q)}{2}}=\pm 1.$ Ове различите вредности дају $\varphi (q)$ Дирихлеових карактера мод $q.$ За непаран $r$ дефинишемо ${\chi }_{q,r}(a)$ са

${\chi }_{q,r}(a)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ако је }a\text{ паран}\\ (-1{)}^{{\nu }_0(r){\nu }_0(a)}{\omega }_q^{{\nu }_q(r){\nu }_q(a)}& \text{ако је }a\text{ непаран}.\end{array}$

Тада за непарне $r$ и $s$ и све $a$ и $b$

${\chi }_{q,r}(a){\chi }_{q,r}(b)={\chi }_{q,r}(ab)$ што показује да је ${\chi }_{q,r}$ карактер, и

${\chi }_{q,r}(a){\chi }_{q,s}(a)={\chi }_{q,rs}(a)$ што показује да је $\widehat{(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z}{)}^{\times }}\cong (\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z}{)}^{\times }.$

Примери m = 2, 4, 8, 16

Једини карактер мод 2 је главни карактер ${\chi }_{2,1}$.

−1 је примитивни корен мод 4 ($\varphi (4)=2$)

$\begin{array}{ccc}a& 1& 3\\ {\nu }_0(a)& 0& 1\end{array}$

Ненулте вредности карактера мод 4 су

$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ {\chi }_{4,1}& 1& 1\\ {\chi }_{4,3}& 1& -1\end{array}$

−1 и 5 генеришу јединице мод 8 ($\varphi (8)=4$)

$\begin{array}{ccccc}a& 1& 3& 5& 7\\ {\nu }_0(a)& 0& 1& 0& 1\\ {\nu }_8(a)& 0& 1& 1& 0\end{array}$.

Ненулте вредности карактера мод 8 су

$\begin{array}{ccccc}& 1& 3& 5& 7\\ {\chi }_{8,1}& 1& 1& 1& 1\\ {\chi }_{8,3}& 1& 1& -1& -1\\ {\chi }_{8,5}& 1& -1& -1& 1\\ {\chi }_{8,7}& 1& -1& 1& -1\end{array}$

−1 и 5 генеришу јединице мод 16 ($\varphi (16)=8$)

$\begin{array}{ccccccccc}a& 1& 3& 5& 7& 9& 11& 13& 15\\ {\nu }_0(a)& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ {\nu }_{16}(a)& 0& 3& 1& 2& 2& 1& 3& 0\end{array}$.

Ненулте вредности карактера мод 16 су

$\begin{array}{ccccccccc}& 1& 3& 5& 7& 9& 11& 13& 15\\ {\chi }_{16,1}& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ {\chi }_{16,3}& 1& -i& -i& 1& -1& i& i& -1\\ {\chi }_{16,5}& 1& -i& i& -1& -1& i& -i& 1\\ {\chi }_{16,7}& 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1\\ {\chi }_{16,9}& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\\ {\chi }_{16,11}& 1& i& i& 1& -1& -i& -i& -1\\ {\chi }_{16,13}& 1& i& -i& -1& -1& -i& i& 1\\ {\chi }_{16,15}& 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\end{array}$.

Производи степена простих бројева

Нека је $m=p_1^{m_1}{p}_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}=q_1{q}_2\cdots q_k$ где је $p_1<p_2<\dots <p_k$ факторизација од $m$ на степене простих бројева. Група јединица мод $m$ је изоморфна директном производу група мод $q_i$:

$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}{)}^{\times }\times \dots \times (\mathbb{Z}/q_k\mathbb{Z}{)}^{\times }.$

Ово значи да 1) постоји један-на-један кореспонденција између $a\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ и $k$-торки $(a_1,a_2,\dots ,a_k)$ где је $a_i\in (\mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}{)}^{\times }$ и 2) множење мод $m$ одговара координатном множењу $k$-торки:

$ab\equiv c(\mathrm{mod}m)$ одговара

$(a_1,a_2,\dots ,a_k)\times (b_1,b_2,\dots ,b_k)=(c_1,c_2,\dots ,c_k)$ где је $c_i\equiv a_i{b}_i(\mathrm{mod}{q}_i).$

Кинеска теорема о остацима (КТО) имплицира да су $a_i$ једноставно $a_i\equiv a(\mathrm{mod}{q}_i).$ Постоје подгрупе $G_i<(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ такве да је

$G_i\cong (\mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}{)}^{\times }$ и

$G_i\equiv \{\begin{array}{cc}(\mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}{)}^{\times }& mod{q}_i\\ \{1\}& mod{q}_j,j\ne i.\end{array}$

Тада је $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong G_1\times G_2\times \mathrm{...}\times G_k$ и свако $a\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ одговара $k$-торки $(a_1,a_2,\mathrm{...}{a}_k)$ где је $a_i\in G_i$ и $a_i\equiv a(\mathrm{mod}{q}_i).$ Свако $a\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ може се јединствено факторисати као $a=a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_k.$

Ако је ${\chi }_{m,\mathrm{\_}}$ карактер мод $m,$ на подгрупи $G_i$ он мора бити идентичан неком ${\chi }_{q_i,\mathrm{\_}}$ мод $q_i$. Тада је

${\chi }_{m,\mathrm{\_}}(a)={\chi }_{m,\mathrm{\_}}(a_1{a}_2\mathrm{...})={\chi }_{m,\mathrm{\_}}(a_1){\chi }_{m,\mathrm{\_}}(a_2)\mathrm{...}={\chi }_{q_1,\mathrm{\_}}(a_1){\chi }_{q_2,\mathrm{\_}}(a_2)\mathrm{...},$

што показује да је сваки карактер мод $m$ производ карактера мод $q_i$.

За $(t,m)=1$ дефинишемо

${\chi }_{m,t}={\chi }_{q_1,t}{\chi }_{q_2,t}\mathrm{...}$

Тада за $(rs,m)=1$ и све $a$ и $b$

${\chi }_{m,r}(a){\chi }_{m,r}(b)={\chi }_{m,r}(ab),$ што показује да је ${\chi }_{m,r}$ карактер, и

${\chi }_{m,r}(a){\chi }_{m,s}(a)={\chi }_{m,rs}(a),$ што показује изоморфизам $\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }.$

Примери m = 15, 24, 40

$(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }.$

Факторизација карактера мод 15 је

$\begin{array}{ccccc}& {\chi }_{5,1}& {\chi }_{5,2}& {\chi }_{5,3}& {\chi }_{5,4}\\ {\chi }_{3,1}& {\chi }_{15,1}& {\chi }_{15,7}& {\chi }_{15,13}& {\chi }_{15,4}\\ {\chi }_{3,2}& {\chi }_{15,11}& {\chi }_{15,2}& {\chi }_{15,8}& {\chi }_{15,14}\end{array}$

Ненулте вредности карактера мод 15 су

$\begin{array}{ccccccccc}& 1& 2& 4& 7& 8& 11& 13& 14\\ {\chi }_{15,1}& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ {\chi }_{15,2}& 1& -i& -1& i& i& -1& -i& 1\\ {\chi }_{15,4}& 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\\ {\chi }_{15,7}& 1& i& -1& i& -i& 1& -i& -1\\ {\chi }_{15,8}& 1& i& -1& -i& -i& -1& i& 1\\ {\chi }_{15,11}& 1& -1& 1& 1& -1& -1& 1& -1\\ {\chi }_{15,13}& 1& -i& -1& -i& i& 1& i& -1\\ {\chi }_{15,14}& 1& 1& 1& -1& 1& -1& -1& -1\end{array}$.

$(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^{\times }.$ Факторизација карактера мод 24 је

$\begin{array}{ccccc}& {\chi }_{8,1}& {\chi }_{8,3}& {\chi }_{8,5}& {\chi }_{8,7}\\ {\chi }_{3,1}& {\chi }_{24,1}& {\chi }_{24,19}& {\chi }_{24,13}& {\chi }_{24,7}\\ {\chi }_{3,2}& {\chi }_{24,17}& {\chi }_{24,11}& {\chi }_{24,5}& {\chi }_{24,23}\end{array}$

Ненулте вредности карактера мод 24 су

$\begin{array}{ccccccccc}& 1& 5& 7& 11& 13& 17& 19& 23\\ {\chi }_{24,1}& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ {\chi }_{24,5}& 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1\\ {\chi }_{24,7}& 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1\\ {\chi }_{24,11}& 1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& 1\\ {\chi }_{24,13}& 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\\ {\chi }_{24,17}& 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\\ {\chi }_{24,19}& 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1\\ {\chi }_{24,23}& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\end{array}$.

$(\mathbb{Z}/40\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }.$ Факторизација карактера мод 40 је

$\begin{array}{ccccc}& {\chi }_{8,1}& {\chi }_{8,3}& {\chi }_{8,5}& {\chi }_{8,7}\\ {\chi }_{5,1}& {\chi }_{40,1}& {\chi }_{40,11}& {\chi }_{40,21}& {\chi }_{40,31}\\ {\chi }_{5,2}& {\chi }_{40,17}& {\chi }_{40,27}& {\chi }_{40,37}& {\chi }_{40,7}\\ {\chi }_{5,3}& {\chi }_{40,33}& {\chi }_{40,3}& {\chi }_{40,13}& {\chi }_{40,23}\\ {\chi }_{5,4}& {\chi }_{40,9}& {\chi }_{40,19}& {\chi }_{40,29}& {\chi }_{40,39}\end{array}$

Ненулте вредности карактера мод 40 су

$\begin{array}{ccccccccccccccccc}& 1& 3& 7& 9& 11& 13& 17& 19& 21& 23& 27& 29& 31& 33& 37& 39\\ {\chi }_{40,1}& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ {\chi }_{40,3}& 1& i& i& -1& 1& -i& -i& -1& -1& -i& -i& 1& -1& i& i& 1\\ {\chi }_{40,7}& 1& i& -i& -1& -1& -i& i& 1& 1& i& -i& -1& -1& -i& i& 1\\ {\chi }_{40,9}& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\\ {\chi }_{40,11}& 1& 1& -1& 1& 1& -1& 1& 1& -1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& -1\\ {\chi }_{40,13}& 1& -i& -i& -1& -1& -i& -i& 1& -1& i& i& 1& 1& i& i& -1\\ {\chi }_{40,17}& 1& -i& i& -1& 1& -i& i& -1& 1& -i& i& -1& 1& -i& i& -1\\ {\chi }_{40,19}& 1& -1& 1& 1& 1& 1& -1& 1& -1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& -1\\ {\chi }_{40,21}& 1& -1& 1& 1& -1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& 1\\ {\chi }_{40,23}& 1& -i& i& -1& -1& i& -i& 1& 1& -i& i& -1& -1& i& -i& 1\\ {\chi }_{40,27}& 1& -i& -i& -1& 1& i& i& -1& -1& i& i& 1& -1& -i& -i& 1\\ {\chi }_{40,29}& 1& 1& -1& 1& -1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& 1\\ {\chi }_{40,31}& 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1\\ {\chi }_{40,33}& 1& i& -i& -1& 1& i& -i& -1& 1& i& -i& -1& 1& i& -i& -1\\ {\chi }_{40,37}& 1& i& i& -1& -1& i& i& 1& -1& -i& -i& 1& 1& -i& -i& -1\\ {\chi }_{40,39}& 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1\end{array}$.

Резиме

Нека је $m=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots =q_1{q}_2\cdots$, $p_1<p_2<\dots$ факторизација од $m$ и претпоставимо $(rs,m)=1.$

Постоји $\varphi (m)$ Дирихлеових карактера мод $m.$ Означавају се са ${\chi }_{m,r},$ где је ${\chi }_{m,r}={\chi }_{m,s}$ еквивалентно са $r\equiv s(\mathrm{mod}m).$ Идентитет ${\chi }_{m,r}(a){\chi }_{m,s}(a)={\chi }_{m,rs}(a)$ је изоморфизам $\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }.$

Сваки карактер мод $m$ има јединствену факторизацију као производ карактера мод степена простих бројева који деле $m$:

${\chi }_{m,r}={\chi }_{q_1,r}{\chi }_{q_2,r}\mathrm{...}$

Ако је $m=m_1{m}_2,(m_1,m_2)=1$ производ ${\chi }_{m_1,r}{\chi }_{m_2,s}$ је карактер ${\chi }_{m,t}$ где је $t$ дато са $t\equiv r(\mathrm{mod}{m}_1)$ и $t\equiv s(\mathrm{mod}{m}_2).$

Такође, ${\chi }_{m,r}(s)={\chi }_{m,s}(r)$

Ортогоналност

Две релације ортогоналности су

$\sum _{a\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}\chi (a)=\{\begin{array}{cc}\varphi (m)& \text{ ако је }\chi ={\chi }_0\\ 0& \text{ ако је }\chi \ne {\chi }_0\end{array}$     и     $\sum _{\chi \in \widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}}\chi (a)=\{\begin{array}{cc}\varphi (m)& \text{ ако је }a\equiv 1(\mathrm{mod}m)\\ 0& \text{ ако је }a\equiv ̸1(\mathrm{mod}m).\end{array}$

Релације се могу написати у симетричном облику

$\sum _{a\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}{\chi }_{m,r}(a)=\{\begin{array}{cc}\varphi (m)& \text{ ако је }r\equiv 1\\ 0& \text{ ако је }r\equiv ̸1\end{array}$     и     $\sum _{r\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}{\chi }_{m,r}(a)=\{\begin{array}{cc}\varphi (m)& \text{ ако је }a\equiv 1\\ 0& \text{ ако је }a\equiv ̸1.\end{array}$

Прва релација је лака за доказивање: Ако је $\chi ={\chi }_0$ постоји $\varphi (m)$ ненултих сабирака, сваки једнак 1. Ако је $\chi \ne {\chi }_0$ постоји неко $a^{\ast },(a^{\ast },m)=1,\chi (a^{\ast })\ne 1.$  Тада је

$\chi (a^{\ast })\sum _{a\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}\chi (a)=\sum _a\chi (a^{\ast })\chi (a)=\sum _a\chi (a^{\ast }a)=\sum _a\chi (a),$   што имплицира

$(\chi (a^{\ast })-1)\sum _a\chi (a)=0.$   Дељењем са првим фактором добија се $\sum _a\chi (a)=0,$ ш.т.д. Идентитет ${\chi }_{m,r}(s)={\chi }_{m,s}(r)$ за $(rs,m)=1$ показује да су релације еквивалентне.

Друга релација се може доказати директно на исти начин, али захтева лему

За дато $a\equiv ̸1(\mathrm{mod}m),(a,m)=1,$ постоји ${\chi }^{\ast },{\chi }^{\ast }(a)\ne 1.$

Друга релација има важну последицу: ако је $(a,m)=1,$ дефинишимо функцију

$f_a(n)=\frac{1}{\varphi (m)}\sum _{\chi }\overline{\chi }(a)\chi (n).$   Тада је

$f_a(n)=\frac{1}{\varphi (m)}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)=\frac{1}{\varphi (m)}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)=\{\begin{array}{cc}1,& n\equiv a(\mathrm{mod}m)\\ 0,& n\equiv ̸a(\mathrm{mod}m),\end{array}$

то јест, $f_a={\mathrm{𝟙}}_{[a]}$ је индикаторска функција класе остатака $[a]=\{x:x\equiv a(\mathrm{mod}m)\}$. Ово је основа у доказу Дирихлеове теореме.

Класификација карактера

Кондуктор; Примитивни и индуковани карактери

Сваки карактер мод степена простог броја је такође карактер мод сваког већег степена. На пример, мод 16

$\begin{array}{ccccccccc}& 1& 3& 5& 7& 9& 11& 13& 15\\ {\chi }_{16,3}& 1& -i& -i& 1& -1& i& i& -1\\ {\chi }_{16,9}& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\\ {\chi }_{16,15}& 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\end{array}$

${\chi }_{16,3}$ има период 16, али ${\chi }_{16,9}$ има период 8, а ${\chi }_{16,15}$ има период 4:   ${\chi }_{16,9}={\chi }_{8,5}$ и  ${\chi }_{16,15}={\chi }_{8,7}={\chi }_{4,3}.$

Кажемо да карактер $\chi$ модула $q$ има квазипериод $d$ ако је $\chi (m)=\chi (n)$ за све $m$, $n$ узајамно просте са $q$ који задовољавају $m\equiv n$ мод $d$. На пример, ${\chi }_{2,1}$, једини Дирихлеов карактер модула $2$, има квазипериод $1$, али не и период $1$ (има период $2$). Најмањи позитиван цео број за који је $\chi$ квазипериодичан је кондуктор од $\chi$. Тако, на пример, ${\chi }_{2,1}$ има кондуктор $1$.

Кондуктор од ${\chi }_{16,3}$ је 16, кондуктор од ${\chi }_{16,9}$ је 8, а од ${\chi }_{16,15}$ и ${\chi }_{8,7}$ је 4. Ако су модул и кондуктор једнаки, карактер је примитиван, иначе је непримитиван. Непримитиван карактер је индукован карактером за најмањи модул: ${\chi }_{16,9}$ је индукован из ${\chi }_{8,5}$, а ${\chi }_{16,15}$ и ${\chi }_{8,7}$ су индуковани из ${\chi }_{4,3}$.

Сличан феномен се може десити са карактером мод производа простих бројева; његове ненулте вредности могу бити периодичне са мањим периодом.

На пример, мод 15,

$\begin{array}{cccccccccccccccc}& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15\\ {\chi }_{15,8}& 1& i& 0& -1& 0& 0& -i& -i& 0& 0& -1& 0& i& 1& 0\\ {\chi }_{15,11}& 1& -1& 0& 1& 0& 0& 1& -1& 0& 0& -1& 0& 1& -1& 0\\ {\chi }_{15,13}& 1& -i& 0& -1& 0& 0& -i& i& 0& 0& 1& 0& i& -1& 0\end{array}$.

Ненулте вредности ${\chi }_{15,8}$ имају период 15, док вредности ${\chi }_{15,11}$ имају период 3, а ${\chi }_{15,13}$ имају период 5. Ово је лакше видети када се упореде са карактерима мод 3 и 5:

$\begin{array}{cccccccccccccccc}& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15\\ {\chi }_{15,11}& 1& -1& 0& 1& 0& 0& 1& -1& 0& 0& -1& 0& 1& -1& 0\\ {\chi }_{3,2}& 1& -1& 0& 1& -1& 0& 1& -1& 0& 1& -1& 0& 1& -1& 0\\ {\chi }_{15,13}& 1& -i& 0& -1& 0& 0& -i& i& 0& 0& 1& 0& i& -1& 0\\ {\chi }_{5,3}& 1& -i& i& -1& 0& 1& -i& i& -1& 0& 1& -i& i& -1& 0\end{array}$.

Ако је карактер мод $m=qr,(q,r)=1,q>1,r>1$ дефинисан као

${\chi }_{m,\mathrm{\_}}(a)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ ако је }gcd(a,m)>1\\ {\chi }_{q,\mathrm{\_}}(a)& \text{ ако је }gcd(a,m)=1\end{array}$,   или еквивалентно као ${\chi }_{m,\mathrm{\_}}={\chi }_{q,\mathrm{\_}}{\chi }_{r,1},$

његове ненулте вредности су одређене карактером мод $q$ и имају период $q$.

Најмањи период ненултих вредности је кондуктор карактера. На пример, кондуктор од ${\chi }_{15,8}$ је 15, кондуктор од ${\chi }_{15,11}$ је 3, а од ${\chi }_{15,13}$ је 5.

Као и у случају степена простих бројева, ако је кондуктор једнак модулу, карактер је примитиван, иначе је непримитиван. Ако је непримитиван, он је индукован карактером са мањим модулом. На пример, ${\chi }_{15,11}$ је индукован из ${\chi }_{3,2}$, а ${\chi }_{15,13}$ из ${\chi }_{5,3}$.

Главни карактер није примитиван.

Карактер ${\chi }_{m,r}={\chi }_{q_1,r}{\chi }_{q_2,r}\mathrm{...}$ је примитиван ако и само ако је сваки од фактора примитиван.

Примитивни карактери често поједностављују (или омогућавају) формуле у теоријама L-функција и модуларних форми.

Парност

$\chi (a)$ је паран ако је $\chi (-1)=1$ и непаран ако је $\chi (-1)=-1.$

Ова разлика се појављује у функционалној једначини Дирихлеове L-функције.

Ред

Ред карактера је његов ред као елемента групе $\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}$, тј. најмањи позитиван цео број $n$ такав да је ${\chi }^n={\chi }_0.$ Због изоморфизма $\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$ ред од ${\chi }_{m,r}$ је исти као ред од $r$ у $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }.$ Главни карактер има ред 1; други реални карактери имају ред 2, а имагинарни карактери имају ред 3 или већи. По Лагранжовој теореми ред карактера дели ред од $\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }}$, што је $\varphi (m)$.

Реални карактери

$\chi (a)$ је реалан или квадратан ако су све његове вредности реалне (морају бити $0,\pm 1$); иначе је комлексан или имагинаран.

$\chi$ је реалан ако и само ако је ${\chi }^2={\chi }_0$; ${\chi }_{m,k}$ је реалан ако и само ако је $k^2\equiv 1(\mathrm{mod}m)$; посебно, ${\chi }_{m,-1}$ је реалан и није главни.

Дирихлеов оригинални доказ да је $L(1,\chi )\ne 0$ (који је важио само за просте модуле) имао је два различита облика у зависности од тога да ли је $\chi$ реалан или не. Његов каснији доказ, важећи за све модуле, био је заснован на његовој формули броја класа.

Реални карактери су Кронекерови симболи; на пример, главни карактер се може написати ${\chi }_{m,1}=\left(\frac{m^2}{\bullet }\right)$.

Реални карактери у примерима су:

Главни

Ако је $m=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\mathrm{...},p_1<p_2<\mathrm{...}$ главни карактер је ${\chi }_{m,1}=\left(\frac{p_1^2{p}_2^2\mathrm{...}}{\bullet }\right).$

${\chi }_{16,1}={\chi }_{8,1}={\chi }_{4,1}={\chi }_{2,1}=\left(\frac{4}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{9,1}={\chi }_{3,1}=\left(\frac{9}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{5,1}=\left(\frac{25}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{7,1}=\left(\frac{49}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{15,1}=\left(\frac{225}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{24,1}=\left(\frac{36}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{40,1}=\left(\frac{100}{\bullet }\right)$  

Примитивни

Ако је модул апсолутна вредност фундаменталног дискриминанта, постоји реалан примитиван карактер (постоје два ако је модул дељив са 8); иначе, ако постоје примитивни карактери они су имагинарни.

${\chi }_{3,2}=\left(\frac{-3}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{4,3}=\left(\frac{-4}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{5,4}=\left(\frac{5}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{7,6}=\left(\frac{-7}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{8,3}=\left(\frac{-8}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{8,5}=\left(\frac{8}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{15,14}=\left(\frac{-15}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{24,5}=\left(\frac{-24}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{24,11}=\left(\frac{24}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{40,19}=\left(\frac{-40}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{40,29}=\left(\frac{40}{\bullet }\right)$

Непримитивни

${\chi }_{8,7}={\chi }_{4,3}=\left(\frac{-4}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{9,8}={\chi }_{3,2}=\left(\frac{-3}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{15,4}={\chi }_{5,4}{\chi }_{3,1}=\left(\frac{45}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{15,11}={\chi }_{3,2}{\chi }_{5,1}=\left(\frac{-75}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{16,7}={\chi }_{8,3}=\left(\frac{-8}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{16,9}={\chi }_{8,5}=\left(\frac{8}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{16,15}={\chi }_{4,3}=\left(\frac{-4}{\bullet }\right)$  

${\chi }_{24,7}={\chi }_{8,7}{\chi }_{3,1}={\chi }_{4,3}{\chi }_{3,1}=\left(\frac{-36}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{24,13}={\chi }_{8,5}{\chi }_{3,1}=\left(\frac{72}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{24,17}={\chi }_{3,2}{\chi }_{8,1}=\left(\frac{-12}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{24,19}={\chi }_{8,3}{\chi }_{3,1}=\left(\frac{-72}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{24,23}={\chi }_{8,7}{\chi }_{3,2}={\chi }_{4,3}{\chi }_{3,2}=\left(\frac{12}{\bullet }\right)$  

${\chi }_{40,9}={\chi }_{5,4}{\chi }_{8,1}=\left(\frac{20}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{40,11}={\chi }_{8,3}{\chi }_{5,1}=\left(\frac{-200}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{40,21}={\chi }_{8,5}{\chi }_{5,1}=\left(\frac{200}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{40,31}={\chi }_{8,7}{\chi }_{5,1}={\chi }_{4,3}{\chi }_{5,1}=\left(\frac{-100}{\bullet }\right)$   ${\chi }_{40,39}={\chi }_{8,7}{\chi }_{5,4}={\chi }_{4,3}{\chi }_{5,4}=\left(\frac{-20}{\bullet }\right)$  

Примене

L-функције

Дирихлеова L-серија за карактер $\chi$ је

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}.$

Ова серија конвергира само за $\Re (s)>1$; може се аналитички наставити на мероморфну функцију.

Дирихле је увео $L$-функцију заједно са карактерима у свом раду из 1837. године.

Модуларне форме и функције

Шаблон:Main Дирихлеови карактери се појављују на неколико места у теорији модуларних форми и функција. Типичан пример је

Нека је $\chi \in \widehat{(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z}{)}^{\times }}$ и нека је ${\chi }_1\in \widehat{(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }}$ примитиван.

Ако је

$f(z)=\sum a_n{z}^n\in M_k(M,\chi )$

дефинишемо

$f_{{\chi }_1}(z)=\sum {\chi }_1(n)a_n{z}^n$,  

Тада је

$f_{{\chi }_1}(z)\in M_k(M{N}^2,\chi {\chi }_1^2)$. Ако је $f$ касп форма, такође је и $f_{{\chi }_1}.$

Погледати тета серију Дирихлеовог карактера за други пример.

Гаусов збир

Гаусов збир Дирихлеовог карактера модуло Шаблон:Mvar је

$G(\chi )=\sum _{a=1}^N\chi (a)e^{\frac{2\pi ia}{N}}.$

Појављује се у функционалној једначини Дирихлеове L-функције.

Јакобијев збир

Ако су $\chi$ и $\psi$ Дирихлеови карактери мод простог броја $p$, њихов Јакобијев збир је

$J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).$

Јакобијеви збирови се могу факторисати у производе Гаусових збирова.

Клостерманов збир

Ако је $\chi$ Дирихлеов карактер мод $q$ и $\zeta =e^{\frac{2\pi i}{q}}$, Клостерманов збир $K(a,b,\chi )$ је дефинисан као

$K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }}\chi (r){\zeta }^{ar+\frac{b}{r}}.$

Ако је $b=0$, то је Гаусов збир.

Довољни услови

Није неопходно установити дефинишућа својства 1) – 3) да би се показало да је функција Дирихлеов карактер.

Из Давенпортове књиге

Ако је $\mathrm{X}:\mathbb{Z}\to ℂ$ таква да је

1)   $\mathrm{X}(ab)=\mathrm{X}(a)\mathrm{X}(b),$

2)   $\mathrm{X}(a+m)=\mathrm{X}(a)$,

3)   Ако је $gcd(a,m)>1$ онда је $\mathrm{X}(a)=0$, али

4)   $\mathrm{X}(a)$ није увек 0,

онда је $\mathrm{X}(a)$ један од $\varphi (m)$ карактера мод $m$

Саркозијев услов

Дирихлеов карактер је потпуно мултипликативна функција $f:\mathbb{N}\to ℂ$ која задовољава линеарну рекурентну релацију: то јест, ако је $a_{1}f(n+b_1)+\cdots +a_{k}f(n+b_k)=0$

за све позитивне целе бројеве $n$, где $a_1,\dots ,a_k$ нису сви нула и $b_1,\dots ,b_k$ су различити, онда је $f$ Дирихлеов карактер.

Чудаковљев услов

Дирихлеов карактер је потпуно мултипликативна функција $f:\mathbb{N}\to ℂ$ која задовољава следећа три својства: а) $f$ узима само коначно много вредности; б) $f$ се поништава на само коначно много простих бројева; ц) постоји $\alpha \in ℂ$ за које је остатак

$|\sum _{n\le x}f(n)-\alpha x|$

униформно ограничен, када $x\to \mathrm{\infty }$. Ова еквивалентна дефиниција Дирихлеових карактера претпостављена је од стране Чудакова 1956. године, а доказана је 2017. од стране Клурмана и Мангерела.

Неки значајни специјални модули

• 8, најмањи модул чији Дирихлеови карактери захтевају више од једног генератора
• 13, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве $\alpha$ такве да не постоје прости бројеви p у $Z$ који су и даље прости у $Z[\alpha ]$
• 19, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве чији реални и имагинарни делови нису конструктибилни бројеви
• 24, највећи модул чији су сви Дирихлеови карактери реални (Дирихлеови карактери броја n су сви реални ако и само ако је n делитељ 24)
• 47, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве $\alpha$ такве да је број класе $h^{-}$ циклотомичног поља $Q(\alpha )$ већи од 1
• 120, најмањи модул чији Дирихлеови карактери захтевају више од три генератора
• 149, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве $\alpha$ такве да пун број класе $h^{-}\cdot h^{+}$ циклотомичног поља $Q(\alpha )$ није узајамно прост са најмањим бројем таквим да је ${\alpha }^n=1$ (повезано са ирегуларни прост број)
• 240, највећи модул чији су сви Дирихлеови карактери Гаусови цели бројеви (Дирихлеови карактери броја n су сви Гаусови цели бројеви ако и само ако је n делитељ 240)
• 383, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве $\alpha$ такве да је број класе $h^{+}$ циклотомичног поља $Q(\alpha )$ већи од 1
• 504, највећи модул чији су сви Дирихлеови карактери Ајзенштајнови цели бројеви (Дирихлеови карактери броја n су сви Ајзенштајнови цели бројеви ако и само ако је n делитељ 504)
• 840, најмањи модул чији Дирихлеови карактери захтевају више од четири генератора

Види још

• Збир карактера
• Мултипликативна група целих бројева по модулу n
• Примитивни корен по модулу n
• Мултипликативни карактер

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Енглески превод Дирихлеовог рада из 1837. о простим бројевима у аритметичким прогресијама
• LMFDB Наводи 30,397,486 Дирихлеових карактера за модул до 10,000 и њихове L-функције