Случајна матрица

У теорији вероватноће и математичкој физици, случајна матрица је случајна променљива чије су вредности матрице — односно, матрица у којој су неки или сви њени елементи случајно одабрани из расподеле вероватноће. Теорија случајних матрица проучава особине случајних матрица, често у случајевима када оне постају велике. Она пружа технике попут теорије средњег поља, дијаграмских метода, метода шупљине или метода реплика за израчунавање величина као што су трагови, спектралне густине или скаларни производи између сопствених вектора. Многи физички феномени, попут спектра језгара тешких атома, топлотне проводљивости у решетки или појаве квантног хаоса, могу се математички моделовати као проблеми који се тичу великих, случајних матрица.

Историја

Теорија случајних матрица први пут је привукла пажњу ван математичке литературе у контексту нуклеарне физике. Експерименти које су спровели Енрико Ферми и други показали су доказе да се појединачни нуклеони не могу апроксимирати тако да се крећу независно, што је навело Нилса Бора да формулише идеју о сложеном језгру. Пошто није било знања о директним интеракцијама између нуклеона, Јуџин Вигнер и Ленард Ајзенбад су апроксимирали да се нуклеарни хамилтонијан може моделовати као случајна матрица. За веће атоме, расподела енергетских сопствених вредности хамилтонијана могла се израчунати како би се апроксимирали ударни пресеци расејања позивањем на Вишартову расподелу.

Примене

Физика

У нуклеарној физици, случајне матрице је увео Јуџин Вигнер да би моделовао језгра тешких атома. Вигнер је претпоставио да размаци између линија у спектру језгра тешког атома треба да личе на размаке између сопствених вредности случајне матрице и да треба да зависе само од класе симетрије основне еволуције. У физици чврстог стања, случајне матрице моделују понашање великих неуређених хамилтонијана у апроксимацији средњег поља.

У квантном хаосу, Боигас–Ђанони–Шмитова (БГС) хипотеза тврди да се спектрална статистика квантних система чији класични пандани показују хаотично понашање описује теоријом случајних матрица.

У квантној оптици, трансформације описане случајним унитарним матрицама су кључне за демонстрацију предности квантног у односу на класично рачунарство (видети, на пример, модел бозонског узорковања). Штавише, такве случајне унитарне трансформације могу се директно имплементирати у оптичком колу мапирањем њихових параметара на компоненте оптичког кола (тј. раздвајаче зрака и мењаче фазе).

Математичка статистика и нумеричка анализа

У мултиваријационој статистици, случајне матрице је увео Џон Вишарт, који је настојао да процени матрице коваријансе великих узорака. Неједнакости типа Черновљеве, Бернштајнове и Хефдингове обично се могу појачати када се примене на максималну сопствену вредност (тј. сопствену вредност највеће магнитуде) коначног збира случајних ермитских матрица. Теорија случајних матрица се користи за проучавање спектралних својстава случајних матрица — као што су коваријансне матрице узорка — што је од посебног интереса у високодимензионалној статистици. Теорија случајних матрица је такође нашла примену у неуронским мрежама и дубоком учењу, при чему се у недавним радовима користе случајне матрице како би се показало да се подешавања хиперпараметара могу јефтино пренети између великих неуронских мрежа без потребе за поновним обучавањем.

У нумеричкој анализи, случајне матрице се користе од рада Џона фон Нојмана и Хермана Голдстина за описивање грешака у рачунању у операцијама као што је множење матрица. Иако су случајни елементи традиционално „генерички” улази за алгоритам, концентрација мере повезана са расподелама случајних матрица имплицира да случајне матрице неће тестирати велике делове улазног простора алгоритма.

Теорија бројева

У теорији бројева, расподела нула Риманове зета-функције (и других L-функција) моделује се расподелом сопствених вредности одређених случајних матрица. Везу су први открили Хју Монтгомери и Фриман Дајсон. Повезана је са Хилберт-Појином хипотезом.

Слободна вероватноћа

Однос слободне вероватноће и случајних матрица кључни је разлог за широку употребу слободне вероватноће у другим областима. Војкулеску је увео концепт слободе око 1983. године у контексту операторске алгебре; на почетку није било никакве везе са случајним матрицама. Ова веза је откривена тек касније, 1991. године, од стране Војкулескуа; он је био мотивисан чињеницом да се гранична расподела коју је пронашао у својој слободној централној граничној теореми већ појавила у Вигнеровом закону полукруга у контексту случајних матрица.

Рачунарска неуронаука

У области рачунарске неуронауке, случајне матрице се све више користе за моделовање мреже синаптичких веза између неурона у мозгу. Показано је да динамички модели неуронских мрежа са случајном матрицом повезаности показују фазни прелаз у хаос када варијанса синаптичких тежина пређе критичну вредност, на граници бесконачне величине система. Резултати о случајним матрицама такође су показали да је динамика модела случајних матрица неосетљива на средњу снагу везе. Уместо тога, стабилност флуктуација зависи од варијације снаге везе а време до синхронизације зависи од топологије мреже.

У анализи масивних података као што је fMRI, теорија случајних матрица је примењена како би се извршило смањење димензија. Када се примењује алгоритам као што је PCA, важно је моћи одабрати број значајних компоненти. Критеријуми за избор компоненти могу бити вишеструки (на основу објашњене варијансе, Кајзерове методе, сопствене вредности итд.). Теорија случајних матрица у овом контексту има свог представника у Марченко-Пастуровој расподели, која гарантује теоријске горње и доње границе сопствених вредности повезаних са коваријансном матрицом случајне променљиве. Овако израчуната матрица постаје нулта хипотеза која омогућава проналажење сопствених вредности (и њихових сопствених вектора) које одступају од теоријског случајног опсега. Тако искључене компоненте постају редуковани димензионални простор (погледати примере у fMRI ).

Оптимално управљање

У теорији оптималног управљања, еволуција n променљивих стања кроз време зависи у било ком тренутку од њихових сопствених вредности и од вредности k управљачких променљивих. Са линеарном еволуцијом, матрице коефицијената се појављују у једначини стања (једначини еволуције). У неким проблемима вредности параметара у овим матрицама нису познате са сигурношћу, у ком случају постоје случајне матрице у једначини стања и проблем је познат као проблем стохастичког управљања.Шаблон:Rp Кључни резултат у случају линеарно-квадратног управљања са стохастичким матрицама јесте да се принцип извесности еквиваленције не примењује: док се у одсуству мултипликативне несигурности (тј. са само адитивном несигурношћу) оптимална политика са квадратном функцијом губитка поклапа са оним што би се одлучило да је несигурност игнорисана, оптимална политика може се разликовати ако једначина стања садржи случајне коефицијенте.

Рачунарска механика

У рачунарској механици, епистемичке несигурности које леже у основи недостатка знања о физици моделованог система доводе до математичких оператора повезаних са рачунарским моделом, који су у одређеном смислу мањкави. Таквим операторима недостају одређена својства повезана са немоделованом физиком. Када се такви оператори дискретизују да би се извршиле рачунарске симулације, њихова тачност је ограничена физиком која недостаје. Да би се надокнадио овај недостатак математичког оператора, није довољно учинити параметре модела случајним, потребно је размотрити математички оператор који је случајан и који на тај начин може генерисати породице рачунарских модела у нади да ће један од њих обухватити физику која недостаје. Случајне матрице су коришћене у овом смислу, са применама у виброакустици, ширењу таласа, науци о материјалима, механици флуида, преносу топлоте итд.

Инжењерство

Теорија случајних матрица може се применити у истраживачким напорима у електротехници и телекомуникацијама за проучавање, моделовање и развој масивних радио-система са више улаза и више излаза (MIMO).Шаблон:Тражи се извор

Типови

Гаусови ансамбли

Шаблон:Main Најчешће проучаване расподеле вероватноће случајних матрица су Гаусови ансамбли: GOE, GUE и GSE. Често се означавају њиховим Дајсоновим индексом, β = 1 за GOE, β = 2 за GUE и β = 4 за GSE. Овај индекс броји број реалних компоненти по елементу матрице.

Дефиниције

Гаусов унитарни ансамбл $\text{GUE}(n)$ се описује Гаусовом мером са густином $$\frac{1}{Z_{\text{GUE}(n)}}{e}^{-\frac{n}{2}\mathrm{t}\mathrm{r}{H}^2}$$ на простору $n\times n$ ермитских матрица $H=(H_{ij}{)}_{i,j=1}^n$. Овде је $$Z_{\text{GUE}(n)}=2^{n/2}{\left(\frac{\pi }{n}\right)}^{\frac{1}{2}{n}^2}$$ нормализациона константа, одабрана тако да интеграл густине буде једнак један. Термин унитарни односи се на чињеницу да је расподела инваријантна под унитарном конјугацијом. Гаусов унитарни ансамбл моделује хамилтонијане којима недостаје симетрија обртања времена.

Гаусов ортогонални ансамбл $\text{GOE}(n)$ се описује Гаусовом мером са густином $$\frac{1}{Z_{\text{GOE}(n)}}{e}^{-\frac{n}{4}\mathrm{t}\mathrm{r}{H}^2}$$ на простору n × n реалних симетричних матрица H = (H_ij)_i,j=1ⁿ. Његова расподела је инваријантна под ортогоналном конјугацијом и моделује хамилтонијане са симетријом обртања времена. Еквивалентно, генерише га $H=(G+G^T)/\sqrt{2n}$, где је $G$ матрица димензија $n\times n$ са независним и идентично расподељеним (ИИД) узорцима из стандардне нормалне расподеле.

Гаусов симплектички ансамбл $\text{GSE}(n)$ се описује Гаусовом мером са густином $$\frac{1}{Z_{\text{GSE}(n)}}{e}^{-n\mathrm{t}\mathrm{r}{H}^2}$$ на простору n × n ермитских кватернионских матрица, нпр. симетричних квадратних матрица састављених од кватерниона, H = (H_ij)_i,j=1ⁿ. Његова расподела је инваријантна под конјугацијом симплектичком групом и моделује хамилтонијане са симетријом обртања времена али без ротационе симетрије.

Основна својства

Тачкасте корелационе функције Ансамбли како су овде дефинисани имају Гаусовски расподељене елементе матрице са средњом вредношћу ⟨H_ij⟩ = 0 и корелацијама у две тачке датим са $$⟨H_{ij}{H}_{mn}^{\ast }⟩=⟨H_{ij}{H}_{nm}⟩=\frac{1}{n}{\delta }_{im}{\delta }_{jn}+\frac{2-\beta }{n\beta }{\delta }_{in}{\delta }_{jm},$$из којих следе све више корелације према Исерлисовој теореми.

Функција генератриса момената за GOE је$$E[e^{tr(VH)}]=e^{\frac{1}{4N}\Vert V+V^T{\Vert }_F^2}$$где је $\Vert \cdot {\Vert }_F$ Фробенијусова норма.

Спектрална расподела

Спектрална густина GOE/GUE/GSE, за $N=2^0,2^1,\mathrm{...},2^5$. Оне су нормализоване тако да дистрибуције конвергирају ка полукружној расподели. Број „грба” једнак је N.

Заједничка функција густине вероватноће за сопствене вредности λ₁, λ₂, ..., λ_n за GUE/GOE/GSE дата је са Шаблон:NumBlk где је Z_β,n нормализациона константа која се може експлицитно израчунати, погледати Селбергов интеграл. У случају GUE (β = 2), формула (1) описује процес детерминантних тачака. Сопствене вредности се одбијају јер заједничка густина вероватноће има нулу ($\beta$-тог реда) за подударне сопствене вредности ${\lambda }_j={\lambda }_i$, и $Z_{2,n}=(2\pi {)}^{n/2}\prod _{k=1}^{n}k!$.

Сажетије, $$\frac{1}{Z_{\beta ,n}}{e}^{-\frac{\beta }{4}\Vert \lambda {\Vert }_2^2}|{\mathrm{\Delta }}_n(\lambda ){|}^{\beta }$$где је ${\mathrm{\Delta }}_n$ Вандермондова детерминанта.

Расподеле највеће сопствене вредности за GOE и GUE су експлицитно решиве. Оне конвергирају ка Трејси-Видомовој расподели након одговарајућег померања и скалирања.

Спектар, подељен са $\sqrt{N{\sigma }^2}$, конвергира у расподели ка полукружној расподели на интервалу $[-2,+2]$: $\rho (x)=\frac{1}{2\pi }\sqrt{4-x^2}$. Овде је ${\sigma }^2$ варијанса вандијагоналних елемената. Варијанса дијагоналних елемената није битна.

Вишартове матрице

Вишартове матрице су случајне матрице димензија n × n облика H = X X^*, где је X случајна матрица димензија n × m (m ≥ n) са независним елементима, а X^* њен конјуговано транспонована матрица. У важном специјалном случају који је разматрао Вишарт, елементи матрице X су идентично расподељене Гаусове случајне променљиве (реалне или комплексне).

Границу емпиријске спектралне мере Вишартових матрица пронашли су Владимир Марченко и Леонид Пастур.

Расподела највеће и најмање сопствене вредности за Вишартове и двоструке Вишартове (мултиваријацијске бета) матрице експлицитно су решиве. Показано је да за Вишартов ансамбл, GOE и GUE, вероватноћа да се све сопствене вредности налазе унутар граничне спектралне подршке (дате Марченко-Пастуровим или Вигнеровим полукружним законима) тежи за велике димензије ка универзалним вредностима 0,6921 и 0,9397 за реални и комплексни случај, респективно.

Матрица случајног опсега

Шаблон:Main Матрице случајног опсега су случајне матрице са својством да су сви елементи изван одређеног опсега (траке) једнаки нули. Могу се користити за грубо моделовање система честица у интеракцији распоређених приближно у мрежу тако да свакој честици буде дозвољено да интерагује само са својим суседима, што је побољшање модела средњег поља.

У једној димензији, ово значи да је $H_{ij}=0$ ако је $|i-j|>W$, где је W ширина опсега. Физички гледано, ово значи да је износ за који честице i и j интерагују једнак 0 ако њихово раздвајање премашује W. У више од једне димензије, i и j више нису цели бројеви већ n-димензионални вектори са целобројним компонентама, а $H_{ij}=0$ ако $|i-j{|}_{L^1}>W$, где $|\cdot {|}_{L^1}$ означава раздаљину таксија (Менхетн растојање) између две локације. $H_{ij}=H_{ji}$ за све i,j и ненулте вредности од $H_{ij}$ имају варијансе ${\sigma }_{ij}^2$ истог реда величине, нормализоване тако да је ${\sum }_j{\sigma }_{ij}^2=1$ за сваку вредност j.

Спектрална теорија

Спектрална теорија случајних матрица проучава расподелу сопствених вредности када величина матрице тежи бесконачности.

Емпиријска спектрална мера

Емпиријска спектрална мера ${\mu }_H$ за $H$ дефинисана је са$${\mu }_H(A)=\frac{1}{n}\mathrm{\#}\left\{\text{сопствене вредности }H\text{ у }A\right\}=N_{1_A,H},A\subset ℝ.$$ или сажетије, ако су ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ сопствене вредности од $H$ $${\mu }_H(d\lambda )=\frac{1}{n}\sum _i{\delta }_{{\lambda }_i}(d\lambda ).$$

Обично је граница ${\mu }_H$ детерминистичка мера; ово је посебан случај самоусредњавања. Кумулативна функција расподеле граничне мере назива се интегрисана густина стања и означава се са N(λ). Ако је интегрисана густина стања диференцијабилна, њен извод се назива густина стања и означава се са ρ(λ).

Врсте конвергенције

С обзиром на матрични ансамбл, кажемо да његове спектралне мере конвергирају слабо ка $\rho$ ако и само ако за сваки мерљиви скуп $A$, просек ансамбла конвергира:$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{𝔼}_H[{\mu }_H(A)]=\rho (A)$$Конвергенција слабо скоро сигурно: Ако узоркујемо $H_1,H_2,H_3,\dots$ независно из ансамбла, тада са вероватноћом 1,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mu }_{H_n}(A)=\rho (A)$$за сваки мерљиви скуп $A$.

У другом смислу, слаба скоро сигурна конвергенција значи да узоркујемо $H_1,H_2,H_3,\dots$, не независно, већ "растом" (стохастички процес), онда са вероватноћом 1, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mu }_{H_n}(A)=\rho (A)$ за сваки мерљиви скуп $A$.

На пример, можемо да „узгајамо” (повећавамо) низ матрица из Гаусовог ансамбла на следећи начин:

• Узорковати бесконачан двоструко бесконачан низ стандардних случајних променљивих $\{G_{i,j}{\}}_{i,j=1,2,3,\dots }$.
• Дефинисати сваку $H_n=(G_n+G_n^T)/\sqrt{2n}$ где је $G_n$ матрица састављена од елемената $\{G_{i,j}{\}}_{i,j=1,2,\dots ,n}$.

Имајте на уму да генерички матрични ансамбли не дозвољавају раст, али већина уобичајених, попут три Гаусова ансамбла, то дозвољавају.

Глобални режим

У глобалном режиму, занима нас расподела линеарне статистике облика $N_{f,H}=n^{-1}\text{tr}f(H)$.

Границу емпиријске спектралне мере за Вигнерове матрице описао је Јуџин Вигнер; видети Вигнерова расподела полукруга и Вигнерова претпоставка. Што се тиче коваријансних матрица узорака, теорију су развили Марченко и Пастур.

Граница емпиријске спектралне мере инваријантних матричних ансамбала описана је одређеном интегралном једначином која произилази из теорије потенцијала.

Флуктуације

За линеарне статистике N_f,H = n⁻¹ Σ f(λ_j), такође смо заинтересовани за флуктуације око ∫ f(λ) dN(λ). За многе класе случајних матрица позната је централна гранична теорема облика $$\frac{N_{f,H}-\int f(\lambda )dN(\lambda )}{{\sigma }_{f,n}}\stackrel{D}{⟶}N(0,1)$$.

Варијациони проблем за унитарне ансамбле

Размотримо меру

$\mathrm{d}{\mu }_N(\mu )=\frac{1}{{\tilde{Z}}_N}{e}^{-H_N(\lambda )}\mathrm{d}\lambda ,H_N(\lambda )=-\sum _{j\ne k}\ln |{\lambda }_j-{\lambda }_k|+N\sum _{j=1}^{N}Q({\lambda }_j),$

где је $Q(M)$ потенцијал ансамбла и нека је $\nu$ емпиријска спектрална мера.

Можемо поново написати $H_N(\lambda )$ помоћу $\nu$ као

$H_N(\lambda )=N^2[-\int {\int }_{x\ne y}\ln |x-y|\mathrm{d}\nu (x)\mathrm{d}\nu (y)+\int Q(x)\mathrm{d}\nu (x)],$

вероватноћна мера сада има облик

$\mathrm{d}{\mu }_N(\mu )=\frac{1}{{\tilde{Z}}_N}{e}^{-N^2{I}_Q(\nu )}\mathrm{d}\lambda ,$

где је $I_Q(\nu )$ горњи функционал унутар средњих заграда.

Нека сада буде

$M_1(ℝ)=\{\nu :\nu \ge 0,{\int }_{ℝ}\mathrm{d}\nu =1\}$

простор једнодимензионалних вероватноћних мера и размотримо минимизатор

$E_Q=\underset{\nu \in M_1(ℝ)}{inf}-\int {\int }_{x\ne y}\ln |x-y|\mathrm{d}\nu (x)\mathrm{d}\nu (y)+\int Q(x)\mathrm{d}\nu (x).$

За $E_Q$ постоји јединствена равнотежна мера ${\nu }_Q$ кроз Ојлер-Лагранжове варијационе услове за неку реалну константу $l$

$2{\int }_{ℝ}\log |x-y|\mathrm{d}\nu (y)-Q(x)=l,x\in J$

$2{\int }_{ℝ}\log |x-y|\mathrm{d}\nu (y)-Q(x)\le l,x\in ℝ\setminus J$

где је $J=\bigcup _{j=1}^q[a_j,b_j]$ носач мере и дефинисано

$q(x)=-{\left(\frac{Q^{\prime }(x)}{2}\right)}^2+\int \frac{Q^{\prime }(x)-Q^{\prime }(y)}{x-y}\mathrm{d}{\nu }_Q(y)$.

Равнотежна мера ${\nu }_Q$ има следећу Радон-Никодимову густину

$\frac{\mathrm{d}{\nu }_Q(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\pi }\sqrt{q(x)}.$

Мезоскопски режим

Типичан исказ Вигнеровог полукружног закона еквивалентан је следећем исказу: За сваки фиксни интервал $[{\lambda }_0-\mathrm{\Delta }\lambda ,{\lambda }_0+\mathrm{\Delta }\lambda ]$ центриран у тачки ${\lambda }_0$, како $N$, број димензија Гаусовог ансамбла расте, пропорција сопствених вредности које спадају унутар интервала конвергира ка ${\int }_{[{\lambda }_0-\mathrm{\Delta }\lambda ,{\lambda }_0+\mathrm{\Delta }\lambda ]}\rho (t)dt$, где је $\rho (t)$ густина полукружне расподеле.

Ако се $\mathrm{\Delta }\lambda$ може смањити како се $N$ повећава, тада добијамо стриктно јаче теореме, назване "локални закони" или "мезоскопски режим".

Мезоскопски режим је прелаз између локалног и глобалног. У мезоскопском режиму, занима нас гранична расподела сопствених вредности у скупу који се смањује ка нули, али довољно споро да број сопствених вредности унутар њега тежи у $\to \mathrm{\infty }$.

На пример, Жинибров ансамбл има мезоскопски закон: За било који низ смањујућих дискова површине $u$ унутар јединичног диска, ако дискови имају површину $A_n=O(n^{-1+ϵ})$, условна расподела спектра унутар дискова такође конвергира ка униформној расподели. Односно, ако исечемо смањујуће дискове заједно са спектром који пада унутар дискова, а затим скалирамо дискове до јединичне површине, видели бисмо како спектар конвергира ка равној расподели у дисковима.

Локални режим

У локалном режиму, занима нас гранична расподела сопствених вредности у скупу који се толико брзо смањује да број сопствених вредности остаје $O(1)$.

Ово обично подразумева проучавање размака између сопствених вредности, и генералније, заједничке расподеле сопствених вредности у интервалу дужине реда 1/n. Прави се разлика између статистике целине, која се односи на интервале унутар носача граничне спектралне мере, и статистике ивице, која се односи на интервале близу границе носача.

Статистика целине

Формално, фиксирајмо ${\lambda }_0$ у унутрашњости носача $N(\lambda )$. Тада размотримо процес тачака $$\mathrm{\Xi }({\lambda }_0)=\sum _j\delta (\cdot -n\rho ({\lambda }_0)({\lambda }_j-{\lambda }_0)),$$ где су ${\lambda }_j$ сопствене вредности случајне матрице.

Процес тачака $\mathrm{\Xi }({\lambda }_0)$ обухвата статистичка својства сопствених вредности у близини ${\lambda }_0$. За Гаусове ансамбле, граница $\mathrm{\Xi }({\lambda }_0)$ је позната; стога, за GUE је то процес детерминантних тачака са језгром $$K(x,y)=\frac{\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}$$ (синусно језгро).

Принцип универзалности постулира да граница $\mathrm{\Xi }({\lambda }_0)$ када $n\to \mathrm{\infty }$ треба да зависи само од класе симетрије случајне матрице (и нити од специфичног модела случајних матрица нити од ${\lambda }_0$). Ригорозни докази универзалности познати су за инваријантне матричне ансамбле и Вигнерове матрице.

Статистика ивице

Шаблон:Main Један пример статистике ивице је Трејси-Видомова расподела.

Као још један пример, размотримо Жинибров ансамбл. Може бити реални или комплексни. Реални Жинибров ансамбл има независне и идентично расподељене (ИИД) стандардне Гаусове елементе $𝒩(0,1)$, а комплексни Жинибров ансамбл има ИИД стандардне комплексне Гаусове елементе $𝒩(0,1/2)+i𝒩(0,1/2)$.

Сада нека се $G_n$ узоркује из реалног или комплексног ансамбла, и нека $\rho (G_n)$ буде апсолутна вредност његове максималне сопствене вредности:$$\rho (G_n):=\underset{j}{max}|{\lambda }_j|$$Имамо следећу теорему за статистику ивице:

Теорема (Статистика ивице Жинибровог ансамбла). За $G_n$ и $\rho \left(G_n\right)$ као горе, са вероватноћом један, $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n}}\rho \left(G_n\right)=1$$

Штавише, ако је ${\gamma }_n=\log \left(\frac{n}{2\pi }\right)-2\log (\log (n))$ и $$Y_n:=\sqrt{4n{\gamma }_n}(\frac{1}{\sqrt{n}}\rho \left(G_n\right)-1-\sqrt{\frac{{\gamma }_n}{4n}}),$$ онда $Y_n$ конвергира у расподели ка Гамбеловом закону, тј. мери вероватноће на $ℝ$ са кумулативном функцијом расподеле $F_{\mathrm{G}\mathrm{u}\mathrm{m}}(x)=e^{-e^{-x}}$.

Ова теорема побољшава кружни закон Жинибровог ансамбла. Речима, кружни закон каже да спектар $\frac{1}{\sqrt{n}}{G}_n$ скоро сигурно пада равномерно на јединични диск, а теорема статистике ивице наводи да је полупречник скоро-јединичног диска око $1-\sqrt{\frac{{\gamma }_n}{4n}}$, и флуктуира на скали од $\frac{1}{\sqrt{4n{\gamma }_n}}$, према Гамбеловом закону.

Спектрална крутост

Феномен спектралне крутости наводи да сопствене вредности из најчешће коришћених ансамбала матрица имају тенденцију да буду равномерније распоређене него што би биле да су узорковане независно насумично. Односно, оне се мање групишу заједно у односу на чисто Поасонов процес тачака. То се такође назива крутост сопствених вредности или одбијање нивоа.

Квантитативније, претпоставимо да матрични ансамбл има граничну меру густине спектра $\mu$. Фиксирајмо неки подскуп $S$ такав да је $0<\mu (S)<1$. Ово је пропорција сопствених вредности која спада унутар $S$ на граници великог $N$, тако да је очекивани број сопствених вредности који спадају унутар $S$ једнак $N\mu (S)$. Сада, чисто Поасонов процес тачака би значио да је стварни број $N\mu (S)+O(\sqrt{N\mu (S)(1-\mu (S))})$, пошто је $\sqrt{N\mu (S)(1-\mu (S))}$ стандардна девијација броја тачака које спадају унутар $S$ када су тачке потпуно независне једна од друге. Насупрот томе, ако су тачке потпуно круте, тада би стварни број био једнак $N\mu (S)$ без флуктуације. Сада, испоставља се да је у многим матричним ансамблима број тачака који спада унутар $S$ једнак $N\mu (S)+O(\sqrt{\ln N})$, тј. није потпуно крут, али је веома близу тога. Спектрална крутост је нумерички примећена у нулама Риманове зета-функције.

Корелационе функције

Заједничка густина вероватноће сопствених вредности случајних ермитских матрица димензија $n\times n$, $M\in {𝐇}^{n\times n}$, са партиционим функцијама облика $$Z_n={\int }_{M\in {𝐇}^{n\times n}}d{\mu }_0(M)e^{\text{tr}(V(M))}$$ где је $$V(x):=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_j{x}^j$$ и $d{\mu }_0(M)$ је стандардна Лебегова мера на простору ${𝐇}^{n\times n}$ ермитских $n\times n$ матрица, дата је са $$p_{n,V}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{Z_{n,V}}\prod _{i<j}(x_i-x_j{)}^2{e}^{-\sum _{i}V(x_i)}.$$ $k$-тачкасте корелационе функције (или маргиналне расподеле) дефинишу се као $$R_{n,V}^{(k)}(x_1,\dots ,x_k)=\frac{n!}{(n-k)!}{\int }_{ℝ}d{x}_{k+1}\cdots {\int }_{ℝ}d{x}_n{p}_{n,V}(x_1,x_2,\dots ,x_n),$$ које су косо-симетричне функције својих променљивих. Конкретно, корелациона функција у једној тачки, или густина стања, је $$R_{n,V}^{(1)}(x_1)=n{\int }_{ℝ}d{x}_2\cdots {\int }_{ℝ}d{x}_n{p}_{n,V}(x_1,x_2,\dots ,x_n).$$ Њен интеграл над Бореловим скупом $B\subset ℝ$ даје очекивани број сопствених вредности садржаних у $B$: $${\int }_B{R}_{n,V}^{(1)}(x)dx=𝐄(\mathrm{\#}\{\text{сопствене вредности у }B\}).$$

Следећи резултат изражава ове корелационе функције као детерминанте матрица формираних од евалуације одговарајућег интегралног језгра у паровима $(x_i,x_j)$ тачака које се појављују унутар корелатора.

Теорема [Дајсон-Мехта] За свако $k$, $1\le k\le n$, $k$-тачкаста корелациона функција $R_{n,V}^{(k)}$ може се записати као детерминанта $$R_{n,V}^{(k)}(x_1,x_2,\dots ,x_k)=\underset{1\le i,j\le k}{det}(K_{n,V}(x_i,x_j)),$$ где је $K_{n,V}(x,y)$ $n$-то Кристофел-Дарбуово језгро $$K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}{\psi }_k(x){\psi }_k(y),$$ повезано са $V$, написано преко квазиполинома $${\psi }_k(x)=\frac{1}{\sqrt{h_k}}{p}_k(z)e^{-V(z)/2},$$ где је $\{p_k(x){\}}_{k\in 𝐍}$ комплетан низ моничних полинома, назначених степена, који задовољавају услове ортогоналности $${\int }_{ℝ}{\psi }_j(x){\psi }_k(x)dx={\delta }_{jk}.$$

Уопштавања

Вигнерове матрице су случајне ермитске матрице $H_n=(H_n(i,j){)}_{i,j=1}^n$ такве да су елементи $$\{H_n(i,j),1\le i\le j\le n\}$$ изнад главне дијагонале независне случајне променљиве са нултом средњом вредношћу и имају идентичне друге моменте.

Гаусови ансамбли се могу проширити за $\beta \ne 1,2,4$ коришћењем Думитрију-Еделмановог тридијагоналног трика. Они се називају бета ансамблима.

Инваријантни матрични ансамбли су случајне ермитске матрице са густином на простору реалних симетричних/ермитских/кватернионских ермитских матрица, која је облика $\frac{1}{Z_n}{e}^{-nV(\mathrm{t}\mathrm{r}(H))},$ где се функција V назива потенцијал.

Гаусови ансамбли су једини уобичајени специјални случајеви ове две класе случајних матрица. Ово је последица Портер-Розенцвајгове теореме.

Расподеле тешког репа се уопштавају на случајне матрице као матрични ансамбли тешког репа.

Литература

Књиге

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Прегледни чланци

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite journal

Историјски радови

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite web