Кошијева интегрална формула

Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области. Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лоранов ред, методама контурне интеграције итд.

Кошијева интегрална теорема

Нека скуп $D$ има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција $f$ холоморфна на области $D$ и непрекидна на $\bar{D}$, ($f\in H(D),f\in C(\bar{D})$), тада за произвољну тачку $z\in D$ важи једнакост:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$

Заправо, шире, важи формула:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =\{\begin{array}{cc}f(z)& z\in D\\ 0& z\in ̸D\end{array}$

Доказ

Површина стварног дела функције Шаблон:Math и њене сингуларности, са контурама описаним у тексту.

Први случај: нека $z\in ̸D$.

Означимо функцију $g(\xi )=\frac{f(\xi )}{\xi -z}$. Ова функција је холоморфна над $D$, јер је $f\in H(D)$ и јер је $\xi -z≠0(z\in ̸D)$. Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције $g$ по $\partial D$ једнак нули, тј.:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }g(\xi )d\xi =0$

Други случај: нека $z\in D$.

Покушајмо из области $D$ да исијечемо мали круг $K=K[z,r]⊊D$ (компактни подскуп од $D$) око тачке $z$ и означимо новонасталу област са $G=G\setminus K$. Сада је јасно да се граница скупа $G$ састоји од границе $D$ и границе новог круга $K$, тј. прецизније $\partial G=\partial D\cup \partial K^{-}$. ($D$ је оријентисана граница, те границу $\partial K^{-}$ такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција $g(\xi )=\frac{f(\xi )}{\xi -z}$ холоморфна над $G$, јер је $f(\xi )$ холоморфна над $D$, дакле и над $G$, а $\xi -z≠0$, јер $z\in ̸G$. Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:

$0=\underset{\partial G}{\int }g(\xi )d\xi =\underset{\partial D\cup \partial K^{-}}{\int }g(\xi )d\xi =\underset{\partial D\cup \partial K^{-}}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi +\underset{\partial K^{-}}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi -\underset{\partial K}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =0$

Одавде се испоставља да је: $\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =\underset{\partial K}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi \Rightarrow \frac{1}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial K}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$

Сада треба доказати да је:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial K}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =f(z)$

Пошто смо изабрали полупречник $r$ произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник $r$ такав да је $K[z,r]⊊D$. Зато ћемо показати да је $\underset{r\to 0}{lim}\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial K}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =f(z)$. Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало $r$ изједначити):

$A=|\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z|=r}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi -f(z)|=|\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z|=r}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi -\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z|=r}{\int }\frac{f(z)}{\xi -z}d\xi |=$

(Ово последње слиједи из чињенице да је $\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z|=r}{\int }\frac{1}{\xi -z}d\xi =\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{r{e}^{i\theta }i}{z+r{e}^{i\theta }-z}d\theta =\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta =\frac{1}{2\pi }2\pi =1$)

$=|\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z|=r}{\int }\frac{f(\xi )-f(z)}{\xi -z}d\xi |=|\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{f(z+r{e}^{i\theta })-f(z)}{z+r{e}^{i\theta }-z}r{e}^{i\theta }id\theta |=|\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(z+r{e}^{i\theta })-f(z)d\theta |\le \frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z+r{e}^{i\theta })-f(z)|d\theta$

Због непрекидности функције знамо да се $f(z+r{e}^{i\theta })$ може довести произвољно близу $f(z)$ за довољно мало $r$, тј. прецизније:

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }\theta )(\mathrm{\forall }r)(0<r<\delta \Rightarrow |f(z+r{e}^{i\theta })-f(z)|<ϵ)$

Одавде слиједи да за произвољно мало $ϵ$ можемо наћи довољно мало $r$ да буде:

$A<\frac{1}{2\pi }ϵ{\int }_0^{2\pi }d\theta =ϵ\Rightarrow \underset{r\to 0}{lim}\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial K}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =f(z)$

Тиме је теорема доказана.

Генерализација

Верзија Кошијеве интегралне формуле је Коши-Помпејова формула и важи и за глатке функције, пошто је заснована на Стоксовој теореми. Нека је Шаблон:Math диск у Шаблон:Math и претпоставимо да је Шаблон:Math функција комплексне вредности Шаблон:Math на затварању Шаблон:Math. Тада

$f(\zeta )=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\partial D}\frac{f(z)dz}{z-\zeta }-\frac{1}{\pi }{\iint }_D\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z)\frac{dx\wedge dy}{z-\zeta }.$

Ова репрезентациона формул се може користити за решавање нехомогених Коши-Риманових једначина у Шаблон:Math. Заиста, ако је Шаблон:Math функција у Шаблон:Math, онда је одређено решење Шаблон:Math једначине холоморфна функција изван носача Шаблон:Math. Штавише, ако је у отвореном скупу D,

$d\mu =\frac{1}{2\pi i}\phi dz\wedge d\overline{z}$

за неко Шаблон:Math (где је Шаблон:Math), онда је Шаблон:Math такође у Шаблон:Math и задовољава једначину

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\phi (z,\overline{z}).$

Први закључак је, сажето, да је конволуција Шаблон:Math компактно подржане мере са Кошијевим језгром

$k(z)=\mathrm{p.v.}\frac{1}{z}$

холоморфна функција ван носача Шаблон:Math. Овде Шаблон:Math означава главну вредност. Други закључак тврди да је Кошијево језгро фундаментално решење Коши-Риманове једначине. Треба имати на уму да за глатке функције комплексне вредности Шаблон:Math компактног носача на Шаблон:Math генерализована Кошијева интегрална формула се поједностављује на

$f(\zeta )=\frac{1}{2\pi i}\iint \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\frac{dz\wedge d\overline{z}}{z-\zeta },$

и представља понављање чињенице да је, посматрано као расподела, Шаблон:Math је фундаментално решење Коши-Римановог оператора Шаблон:Math. Генерализована Кошијева интегрална формула се може извести за било коју ограничену отворену област Шаблон:Math са Шаблон:Math границом Шаблон:Math из овог резултата и формуле за дистрибуциони извод карактеристичне функције Шаблон:Math од Шаблон:Math:

$\frac{\partial {\chi }_X}{\partial \overline{z}}=\frac{i}{2}{\oint }_{\partial X}dz,$

где расподела на десној страни означава контурну интеграцију дуж Шаблон:Math.

Види још

• Кошијева интегрална теорема

Литература

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
• Stephen D. Fisher, Complex Variables, 2 ed. (Dover, 1999).
• Carathéodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.]
• Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10 ed., Ch. 13–18 (Wiley, 2011).
• Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
• Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3 ed. (Freeman, 1999).
• Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
• Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables – with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
• Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003).
• Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Шаблон:MathWorld