Извод сложене функције

Извод сложене функције $f^{\prime }(g(x))$ користи се за функције компоноване од више елементарних функција (нпр. $\sin x^2$ или $e^{\sin x}$). Извод сложене функције не може се добити преко таблице извода елементарних функција, већ се он рачуна према формуле изведене из теореме:

Теорема

За сложену функцију $y=f(g(x))$ каже се да постоји извод у тачки $x$, ако функција $g(x)$ има извод у тачки $x$ и ако функција $f(g(x))$ има извод у тачки $u=g(x)$, а рачуна се према формули:

$y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$

односно, користећи Лајбницове ознаке, формула се може написати на следећи начин:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Пример: Извод функције $y=\sin x^3$

Ако ставимо да је $y=f(g(x))$, где је:

$f(u)=\sin u$,

док је:

$u=g(x)=x^3$,

онда је применом формуле за извод:

$y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$,

односно, заменом функције $u$ у формули:

$y^{\prime }=(\sin u{)}^{\prime }\cdot (x^3{)}^{\prime }$

Применом таблице извода за елементарне функције за случај $\sin u$ добија се:

$y^{\prime }=\cos u\cdot 3x^2$,

односно:

$y^{\prime }=3x^2\cdot \cos x^3$.

Правило степена

Извод функције: $y=(g(x){)}^n$

Задата функција је композиција две елементарне функције $y=f(u)$, где је $u$ елементарна функција: $u=g(x{)}^n$, па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

$y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }$ .... $(1)$

извод елементарне функције $u$ према таблици извода износи:

$u^{\prime }(x)=n\cdot g(x{)}^{n-1}$ ... $(2)$

па се заменом (2) у (1) добија:

$f^{\prime }(x)=n\cdot (g(x){)}^{n-1}\cdot g^{\prime }(x)$

Правило експонента

Извод функције : $y=(e^{g(x)})$

Задата функција је композиција две елементарне функције $y=f(u)$, где је $f$ елементарна функција: $f(u)=e^u$, па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

$y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }$,

$y^{\prime }=(e^u{)}^{\prime }\cdot u^{\prime }$,

с обзиром да је према таблици извода:

$(e^u{)}^{\prime }=e^u$,

извод задате сложене функције износи:

$y^{\prime }=e^u\cdot u^{\prime }$

или

$y^{\prime }=g^{\prime }(x)\cdot e^{g(x)}$

Извод сложене функције са два аргумента

Постоје и сложенији случајеви. Тако, ако је

$z=f(x,y)$ а $x=g(t)$ и $y=h(t)$,

тада је

$\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dt}$

Општи случај

У општем случају, нека су дата два сета функција y и u, тако да је

$y_1=f_1(u_1\dots u_p)$

$⋮$

$y_m=f_m(u_1\dots u_p)$

и

$u_1=g_1(x_1\dots x_n)$

$⋮$

$u_p=g_p(x_1\dots x_n)$

тада се парцијални извод $\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$ рачуна као

$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}=\sum _{k=1}^p\frac{\partial y_i}{\partial u_k}\cdot \frac{\partial u_k}{\partial x_j}$,

док диференцијал $d{y}_i;i=1\dots m$ износи

$d{y}_i=\sum _{j=1}^n(\sum _{k=1}^p\frac{\partial y_i}{\partial u_k}\cdot \frac{\partial u_x}{\partial x_i})d{x}_j$.

Види још

• Извод инверзне функције