−1

Извор: testwiki
Пређи на навигацију Пређи на претрагу

Шаблон:Infobox number-lat

−1

U matematici, −1 je aditivno inverzna vrednost od 1.[1][2] Drugim rečima, to je broj koji kad se doda na 1 daje element aditivne identičnosti, 0. On je negativni ceo broj veći od negativne dvojke (−2) i manji od 0.[3]

Negativna jedinica je povezana sa Ojlerovim identitetom jer je -{eШаблон:Sup = −1}-.[4][5][6]

U razvoju softvera, −1 se često koristi kao inicijalna vrednost za cele brojeve i da bi se pokazalo da promenljiva ne sadrži korisne informacije.

Negativno jedan ima neka slična, ali malo drugačija svojstva kao pozitivne jedinice.[7]

Algebarska svojstva

Množenje broja sa −1 je ekvivalentno sa promenom znaka broja. To se može dokazati koristeći zakon distributivnosti i aksiom da je 1 multiplikativni identitet: za -{x}- koje je realni broj važi

x+(−1)⋅x=1⋅x+(−1)⋅x=(1+(−1))⋅x=0⋅x=0

gde se koristi činjenica da je svako realno -{x}- puta nula 0 jednako 0, što proizilazi iz jednačine putem poništavanja

0⋅x=(0+0)⋅x=0⋅x+0⋅x
0, 1, −1, -{i}-, i -{−i}- u kompleksnoj ili kartezijanskoj ravni

Drugim rečima,

x+(−1)⋅x=0

tako da je (−1) · -{x}-, ili −-{x}-, aritmetička inverzija od -{x}-.

Kvadrat od −1

Kvadrat od −1, tj. −1 pomnoženo sa −1, jednako je 1. Konsekventno, proizvod dva negativna realna broja je pozitivan.

Za algebarski dokaz ovog rezultata, može se započeti jednačinom

0=−1⋅0=−1⋅[1+(−1)]

Prva jednakost proizilazi iz gornjeg rezultata. Druga sledi iz definicije −1 kao aditivna inverzna vrednost od 1: upravo taj broj kada se doda na 1 daje 0. Sada, koristeći zakon distribucije, može se videti da

0=−1⋅[1+(−1)]=−1⋅1+(−1)⋅(−1)=−1+(−1)⋅(−1)

Druga jednakost sledi iz činjenice da je 1 multiplikativni identitet. Međutim, sada dodavanje 1 na obe strane ove poslednje jednačine podrazumeva

(−1)⋅(−1)=1

Gornji argumenti važe za bilo koji prsten, koncept apstraktne algebre kojim se generalizuju celi brojevi i realni brojevi.

Kvadratni koren od −1

Iako nema realnih kvadratnih korena od −1, kompleksni broj -{i}- zadovoljava -{i}-2 = −1, i kao takav se može smatrati kvadratnim korenom od −1. Jedini drugi kompleksni broj čiji je kvadrat −1 je -{−i}-.[8] U algebri kvaterniona, koja sadrži kompleksnu ravan, jednačina -{x}-2 = −1 ima beskonačno mnogo rešenja.

Eksponencijacija do negativnih celih brojeva

Eksponencijacija nenultog realnog broja se može proširiti na negativne cele brojeve. Prema definiciji -{x−1 = Шаблон:Sfrac,}- znači da podizanje broja na −1 stepen ima isti efekat kao izračunavanje njegove recipročne vrednosti. Ova definicija se zatim proširuje na negativne cele brojeve, očuvavajući eksponencijalni zakon -{xaxb = x(a + b)}- za realne brojeve -{a}- i -{b}-.

Eksponencijacija na negativne cele brojeve se može proširiti do invertabilnih elemenata prstena, putem definisanja -{x}-−1 kao multiplikativne inverzne vrednosti od -{x}-.

−1 koje se javlja pored funkcija ili matrica ne označava njihovo podizanje na stepen −1, već njihove inverzne funkcije ili inverzne matrice. Na primer, -{f−1(x)}- je inverzna funkcija od -{f(x)}-, ili -{sin}-−1(-{x}-) je notacija za -{arcsin}- funkciju.

Računarska reprezentacija

Шаблон:Main-lat

Većina računarskih sistema predstavlja negativne celobrojne brojeve koristeći komplement dvojke. U takvim sistemima, −1 je predstavljen pomoću obrasca bitova sa svim jedinicama. Na primer, 8-bitni ceo broj sa znakom koji koristi komplement dvojke predstavljaće −1 kao binarni niz „11111111” ili „-{FF}-” u heksadecimalnom obliku (baza 16). Ako se protumači kao ceo broj bez znaka, ista niz biteva od -{n}- jedinica predstavlja 2-{n}- − 1, najveću moguću vrednost koju -{n}- bitova može da drži. Na primer, 8-bitni niz „11111111” iznad predstavlja 28 − 1 = 255.

Programski jezici

U nekim programskim jezicima, kada se koristi za indeksiranje nekih tipova podataka (kao što je niz), −1 se može koristiti za identifikaciju poslednje (ili druge zadnje) stavke, u zavisnosti da li 0 ili 1 predstavlja prvu stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 0, tada −1 označava zadnju stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 1, tada −1 identifikuje predzadnju stavku.

Vidi još

Reference

Шаблон:Reflist

Literatura

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Spoljašnje veze

Шаблон:Podnožje

  1. ↑ -{Шаблон:Latinize}-
  2. ↑ Шаблон:Cite book-lat
  3. ↑ Шаблон:Cite web-lat
  4. ↑ Шаблон:Cite encyclopedia-lat
  5. ↑ -{Шаблон:Latinize}-
  6. ↑ Шаблон:Cite web-lat
  7. ↑ Шаблон:Cite book-lat
  8. ↑ Шаблон:Cite web-lat
Преузето из „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=−1&oldid=7096”