Успонска функција

График успонске функције

Успонска функција (или рампа функција) је унарна функција над пољем реалних бројева. Дефинише се као просек улазне променљиве и њене апсолутне вредности.

Ова функција се доста користи у инжењерству (нпр. у теорији обраде сигнала). Име је добила због изгледа њеног графика.

Дефиниције

Успонска функција ($R(x):ℝ\to ℝ$) се аналитички може дефинисати на више начина. Неке од дефиниција су:

• Преко система једначина:

  $R(x):=\{\begin{array}{cc}x,& x\ge 0;\\ 0,& x<0\end{array}$

• Преко функције максимума:

  $R(x):=\max (x,0)$

• Као просек улазне променљиве и њене апсолутне вредности:

  $R(x):=\frac{x+|x|}{2}$

до чега се може доћи и гледајући дефиницију функције $\max (a,b)$,

$\max (a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}$

за $a=x$ и $b=0$

• Множењем улазне променљиве са :

  $R\left(x\right):=xH\left(x\right)$

• Конволуцијом Хевисајдове функције са самом собом:

  $R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)$

• Интеграцијом Хевисајдове функције:

  $R(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(\xi )\mathrm{d}\xi$

Аналитичка својства

Ненегативност

Успонска функција је ненегативна на целом њеном домену, па јој је апсолутна вредност једнака самој себи.

$\mathrm{\forall }x\in ℝ:R(x)⩾0$

и

$\left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)$

Извод

Извод успонске функције је Хевисајдова функција:

$R^{\prime }(x)=H(x)$ за $x\ne 0$

Други извод

Успонска функција $R(x)$ задовољава следећу диференцијалну једначину:

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}R(x-x_0)=\delta (x-x_0),$

где је $\delta (x)$ Диракова делта функција. Ово значи да је успонска функција $R(x)$ заправо Гринова функција за оператор другог извода. То значи да свака непрекидна функција $f(x)$, са другим изводом $f^{″}(x)$, задовољава једначину:

$f(x)=f(a)+(x-a)f^{\prime }(a)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}R(x-x_0)f^{″}(x_0)\mathrm{d}{x}_0,$

за $a<x<b$.

Фуријеова трансформација

$ℱ\{R(x)\}(f)$ $=$ $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}R(x)e^{-2\pi ifx}dx$ $=$ $\frac{i{\delta }^{\prime }(f)}{4\pi }-\frac{1}{4{\pi }^2{f}^2},$

где је $\delta (x)$ Диракова делта функција (у једначини изнад се појављује њен извод).

Лапласова трансформација

Једнострана Лапласова трансформација успонске функције $R(x)$ је дата као:

$ℒ\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}R(x)dx=\frac{1}{s^2}.$

Види још

• Хевисајдова функција
• Диракова делта функција

Спољашње везе

• Чланак о успонској функцији на сајту -{Mathworld}- Шаблон:En