Максвел–Болцманова дистрибуција

У физици (посебно у статистичкој механици), Максвел-Болцманова расподела је посебна дистрибуција вероватноће названа по Џејмсу Клерку Максвелу и Лудвигу Болцману.

Прво је дефинисана и коришћена за описивање брзина честица у идеалним гасовима, где се честице слободно крећу унутар непокретног контејнера без међусобне интеракције, изузев врло кратких судара у којима међусобно или са својим окружењем размењују енергију и моментум. Термин „честица“ у овом контексту односи се само на гасовите честице ( атоме или молекуле), а претпоставља се да је систем честица достигао термодинамичку равнотежу . ^[1] Енергије таквих честица прате оно што је познато као Максвел-Болцманова статистика, а статистичка расподела брзина изведена је изједначавањем енергија честица са кинетичком енергијом .

Математички, Максвел-Болцманова расподела је хи дистрибуција са три степена слободе (компоненте вектора брзине у Еуклидовом простору), са параметром скале који мери брзине у јединицама пропорционалним квадратном корену од $T / m$ (однос температуре и масе честица). ^[2]

Максвел-Болцманова расподела резултат је кинетичке теорије гасова, која пружа поједностављено објашњење многих основних гасних својстава, укључујући притисак и дифузију . ^[3] Максвел-Болцманова расподела се у основи примењује на брзине честица у три димензије, али се испоставило да зависи само од брзине ( износа брзине) честица. Расподела вероватноће брзине честице указује на то које су брзине вероватније: честица ће имати брзину случајно одабрану из расподеле и већа је вероватноћа да ће бити унутар једног опсега брзина од другог. Кинетичка теорија гасова односи се на класични идеалан гас, који је идеализација стварних гасова. У стварним гасовима постоје различити ефекти (нпр. Ван дер Валсове интеракције, вртложни ток, релативистичка ограничења брзине и интеракције квантне размене ) који могу учинити њихову расподелу брзине другачијом од Максвел-Болцмановог модела. Међутим, разређени гасови на уобичајеним температурама понашају се готово као идеалан гас и Максвелова расподела брзине је одлична апроксимација за такве гасове. Идеалне плазме, које су јонизовани гасови са довољно малом густином, често имају и расподелу честица која је делимично или у потпуности максвеловска. ^[4]

Дистрибуцију је први извео Максвел 1860. године на хеуристичким основама. ^[5] Болцман је касније, 1870-их, спровео значајна истраживања физичког порекла ове дистрибуције.

Дистрибуција се може извести на основу тога што максимализује ентропију система. Списак извода су:

Максимална расподела вероватноће ентропије у фазном простору, са ограничењем очувања просечне енергије $⟨ H ⟩ = E$ ;
Канонски ансамбл .

Функција дистрибуције

Под претпоставком да систем од интереса садржи велики број честица, удео честица унутар бесконачно малог елемента тродимензионалног простора брзине, $d^{3} v$ , центриран на вектор брзине величине $v$ , је $f (v) d^{3} v$ , у којима

f (v) d^{3} v = {(\frac{m}{2 π k T})}^{3 / 2} e^{- \frac{m v^{2}}{2 k T}} d^{3} v,

где је $m$ маса честица и $k T$ је производ Болцманове константне и термодинамичке температуре .

Елемент простора брзине можемо записати као d $^{3} v$ = d $v_{x}$ d $v_{y}$ d $v_{z}$ , за брзине у стандардном картезијанском координатном систему или као d $^{3} v$ = $v^{2}$ д $v$ d $Ω$ у стандардном сферном координатном систему, где d $Ω$ је елемент пуног угла. У овом случају, $f (v)$ је дата као функција расподеле вероватноће, правилно нормализована тако да $\int f (v)$ d $^{3} v$ преко свих брзина једнака је један. У физици плазме, расподела вероватноће се често помножи са густином честица, тако да је интеграл резултујуће функције расподеле једнак густини.

Максвелова функција расподеле за честице које се крећу само у једном смеру, ако је овај правац $x$ , је

f (v_{x}) d v_{x} = {(\frac{m}{2 π k T})}^{1 / 2} e^{- \frac{m v_{x}^{2}}{2 k T}} d v_{x},

који се могу добити интегрисањем тродимензионалне форме дане изнад $v_{y}$ и $v_{z}$ .

Препознавши симетрију $f (v)$ , може се интегрисати преко пуног угла и написати расподела вероватноће брзина као функција

f (v) d v = {(\frac{m}{2 π k T})}^{3 / 2} 4 π v^{2} e^{- \frac{m v^{2}}{2 k T}} d v,

Ова функција густине вероватноће даје вероватноћу, по јединици брзине, налажења честице брзином близу $v$ . Ова једначина је једноставно Максвел-Болцманова расподела (дата у инфо кутији) са параметром расподеле $a = \sqrt{k T / m}$ . Максвел-Болцманова расподела еквивалентна је хи дистрибуцији са три степена слободе и параметром скале $a = \sqrt{k T / m}$ .

Најједноставнија обична диференцијална једначина коју задовољава расподела је:

k T v f^{'} (v) + f (v) (m v^{2} - 2 k T) = 0,

f (1) = \sqrt{\frac{2}{π}} e^{- \frac{m}{2 k T}} {(\frac{m}{k T})}^{3 / 2}

или представљено без јединице:

a^{2} x f^{'} (x) + (x^{2} - 2 a^{2}) f (x) = 0,

f (1) = \frac{\sqrt{\frac{2}{π}} e^{- \frac{1}{2 a^{2}}}}{a^{3}} .

Дарвин-Фовлер-овом методом средњих вредности добија се Максвел-Болцманова расподела као тачан резултат.

Однос према 2D Максвел-Болцмановој расподели

За честице ограничене да се крећу у равни, расподела брзине је дата са

$P (s < | \vec{v} | < s + d s) = \frac{m s}{k T} \exp (- \frac{m s^{2}}{2 k T}) d s$

Ова расподела се користи за опис система у равнотежи. Међутим, већина система не започиње у равнотежном стању. Еволуцијом система ка његовом равнотежном стању управља Болцманова једначина . Једначина предвиђа да ће за интеракције кратког домета равнотежна расподела брзине следити Максвел-Болцманову расподелу. Десно је симулација молекуларне динамике (МД) у којој је 900 честица тврде сфере ограничено да се креће у правоугаонику. Они комуницирају помоћу савршено еластичних судара. Систем се покреће из равнотеже, али расподела брзине (у плавој боји) брзо конвергира у 2D Максвел-Болцман расподелу (у наранџастој боји).

Типичне брзине

Средња брзина $⟨ v ⟩$ , највероватнија брзина ( режим) Шаблон:Mvar и средња квадратна брзина $\sqrt{⟨ v^{2} ⟩}$ могу се добити из својстава Максвелове расподеле.

Ово добро функционише за готово идеалне, монатомске гасове попут хелијума, али и за молекуларне гасове попут двоатомског кисеоника . То је зато што, упркос већем топлотном капацитету (већој унутрашњој енергији при истој температури) због већег броја степени слободе, њихова транслациона кинетичка енергија (а самим тим и брзина) остаје непромењена. ^[6]

= {(4 π {(\frac{b}{π})}^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} v^{4} e^{- b v^{2}} d v)}^{1 / 2}

= {(4 π {(\frac{b}{π})}^{\frac{3}{2}} \frac{3}{8} \sqrt{\frac{π}{b^{5}}})}^{1 / 2} = {(\frac{3}{2 b})}^{1 / 2}

= \sqrt{\frac{3 k T}{m}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}} = \sqrt{\frac{3}{2}} v_{p}

}}-->Укратко, типичне брзине су повезане на следећи начин:

v_{p} \approx 88.6 % ⟨ v ⟩ < ⟨ v ⟩ < 108.5 % ⟨ v ⟩ \approx v_{r m s} .

Средња квадратна брзина директно је повезана са брзином звука Шаблон:Mvar у гасу, за

c = \sqrt{\frac{γ}{3}} v_{r m s} = \sqrt{\frac{f + 2}{3 f}} v_{r m s} = \sqrt{\frac{f + 2}{2 f}} v_{p},

где $γ = 1 + \frac{2}{f}$ је адијабатски индекс, Шаблон:Mvar је број степена слободе појединачног молекула гаса. За горњи пример, двоатомни азот (приближни ваздух) на Шаблон:Val, $f = 5$ ^[7] и

c = \sqrt{\frac{7}{15}} v_{r m s} \approx 68 % v_{r m s} \approx 84 % v_{p} \approx 353 m / s,

права вредност ваздуха се може апроксимализовати коришћењем просечне моларне тежине ваздуха ( Шаблон:Val ), дајући Шаблон:Val на Шаблон:Val (корекције за променљиву влажност ваздуха су реда од 0,1% до 0,6%).

Просечна релативна брзина

v_{r e l} \equiv ⟨ | {\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2} | ⟩ = \int d^{3} v_{1} d^{3} v_{2} | {\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2} | f ({\vec{v}}_{1}) f ({\vec{v}}_{2}) = \frac{4}{\sqrt{π}} \sqrt{\frac{k T}{m}} = \sqrt{2} ⟨ v ⟩

где је тродимензионална расподела брзине

f (\vec{v}) \equiv \frac{1}{(2 π k T / m)^{3 / 2}} e^{- \frac{1}{2} m {\vec{v}}^{2} / k T} .

Интеграл се лако може извршити променом на координате $\vec{u} = {\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2}$ и $\vec{U} = \frac{{\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2}}{2} .$

Извођење и сродне дистрибуције

Максвел – Болцман статистика

Првобитно извођење из 1860. године Џејмса Клерка Максвела био је аргумент заснован на молекуларним сударима кинетичке теорије гасова као и одређеним симетријама у функцији расподеле брзине; Максвел је такође дао рани аргумент да ови молекуларни судари имају тенденцију ка равнотежи. ^[5] ^[8] После Максвела, Лудвиг Болцман је 1872. године ^[9] такође извео расподелу на механичким основама и тврдио да би гасови временом требало да теже ка тој расподели, услед судара (види Х-теорему ). Касније (1877) ^[10] је поново извео расподелу у оквиру статистичке термодинамике . Изводи у овом одељку су у складу са Болцмановим извођењем из 1877. године, почев од резултата познатог као Максвел -Болцман статистика (из статистичке термодинамике). Максвел -Болцманова статистика даје просечан број честица пронађених у датом једночестичном микростању. Под одређеним претпоставкама, логаритам фракције честица у датом микростању сразмеран је односу енергије тог стања и температуре система:

- \log (\frac{N_{i}}{N}) \propto \frac{E_{i}}{T} .

Претпоставке ове једначине су да честице не интерагују међусобно и да су класичне; то значи да се стање сваке честице може сматрати независно од стања осталих честица. Поред тога, претпоставља се да су честице у топлотној равнотежи. ^[1] ^[11]

Ова веза се може написати као једначина увођењем нормализујућег фактора:Шаблон:NumBlkгде:

Шаблон:Mvar је очекивани број честица у једночестичном микростању Шаблон:Mvar,
Шаблон:Mvar је укупан број честица у систему,
Шаблон:Mvar је енергија микростања Шаблон:Mvar,
збир над индексом Шаблон:Mvar узима у обзир сва микростања,
Шаблон:Mvar је равнотежна температура система,
Шаблон:Mvar је Болцманова константа .

Деноминатор у једначини ( 1 ) је једноставно нормализујући фактор тако да односи $N_{i} : N$ доприносе јединству- другим речима, то је нека врста партицијске функције (за једнопартицијски систем, а не уобичајена партицијска функција читавог система).

Будући да су брзина и велоцитет повезани са енергијом, једначина ( 1 ) се може користити за добијање односа између температуре и брзине честица гаса. Све што је потребно је открити густину микростања у енергији, која се одређује поделом простора импулса на регионе једнаке величине.

Расподела вектора импулса

За потенцијалну енергију се узима нула, тако да је сва енергија у облику кинетичке енергије. Однос између кинетичке енергије и импулса за масивне нерелативистичке честице јеШаблон:NumBlkгде је п ² квадрат импулсног вектора p = [ п _к, п _и, п _з ]. Стога једначину ( 1 ) можемо преписати као:Шаблон:NumBlkгде је З партицијска функција, која одговара деноминатору у једначини ( 1 ). Овде је m молекулска маса гаса, Т термодинамичка температура и k Болцманова константа . Ова дистрибуција $N_{i} : N$ је пропорционалан функцији густине вероватноће f _п за проналажење молекула са овим вредностима компоненти импулса, па:Шаблон:NumBlkНормализујућа константа може се одредити препознавањем да вероватноћа молекула има одређени замах мора бити 1. Интегрисањем експоненцијала у ( 4 ) по свим p_k,p _y и pz добија се фактор од

∭_{- \infty}^{+ \infty} \exp [- \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2 m k T}] d p_{x} d p_{y} d p_{z} = (\sqrt{π} \sqrt{2 m k T})^{3}

Тако да је нормализована функција расподеле:

$z = r e^{i ϕ} = x + i y$

Сматра се да је расподела производ три независне нормално дистрибуиране променљиве

p_{x}

,

p_{y}

, и

p_{z}

, са одступањем

m k T

. Поред тога, може се видети да ће величина моментума бити распоређена као Максвел-Болцманова расподела, са

a = \sqrt{m k T}

. Максвел-Болцманова расподела за импулс (или једнако за брзине) може се темељније добити помоћу Х-теореме у равнотежи у оквиру кинетичке теорије гасних оквира.

Расподела енергије

Расподела енергије је импозантнаШаблон:NumBlkгде $d^{3} 𝐩$ је бесконачно мали запремински простор импулса фазног простора који одговара енергетском интервалу $d E$ . Користећи сферну симетрију односа дисперзије енергије и импулса $E = | 𝐩 |^{2} / 2 m$ , ово се може изразити у $d E$ на следећи начин :Шаблон:NumBlkКористећи тада ( 8 ) у ( 7 ) и изражавајући све у смислу енергије $E$ , добијамо

f_{E} (E) d E = \frac{1}{(2 π m k T)^{3 / 2}} e^{- E / k T} 4 π m \sqrt{2 m E} d E = 2 \sqrt{\frac{E}{π}} {(\frac{1}{k T})}^{3 / 2} \exp (\frac{- E}{k T}) d E

$z = r e^{i ϕ} = x + i y$

Будући да је енергија пропорционална збиру квадрата три нормално распоређене компоненте импулса, ова расподела енергије може се записати еквивалентно гама расподели, користећи параметар облика,

k_{s h a p e} = 3 / 2

и параметар скале,

θ_{s c a l e} = k T

.

Користећи теорему о равнотежи, с обзиром да је енергија равномерно распоређена између сва три степена слободе у равнотежи, такође можемо поделити $f_{E} (E) d E$ у скуп хи-квадрат дистрибуција, где енергија по степену слободе, $ϵ$ , дистрибуира се као хи-квадрат дистрибуција са једним степеном слободе, ^[12]

f_{ϵ} (ϵ) d ϵ = \sqrt{\frac{1}{π ϵ k T}} \exp [\frac{- ϵ}{k T}] d ϵ

У равнотежи, ова расподела ће важити за било који број степени слободе. На пример, ако су честице ригидни масени диполи фиксног диполног момента, имаће три транслациона степена слободе и два додатна ротациона степена слободе. Енергија у сваком степену слободе биће описана према горњој хи-квадрат расподели са једним степеном слободе, а укупна енергија биће распоређена према хи-квадрат дистрибуцији са пет степена слободе. То има импликације у теорији специфичне топлоте гаса.

Максвел-Болцман-ова расподела се такође може добити узимајући у обзир да је гас врста квантног гаса за који се може извршити апроксимација ε >> к Т.

Расподела за вектор брзине

Схватајући да је густина вероватноће брзине f _v пропорционална функцији густине вероватноће импулса за

f_{𝐯} d^{3} v = f_{𝐩} {(\frac{d p}{d v})}^{3} d^{3} v

и користећи p = m v добијамо

$f_{𝐯} (v_{x}, v_{y}, v_{z}) = {(\frac{m}{2 π k T})}^{3 / 2} \exp [- \frac{m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2})}{2 k T}]$

што је Максвел-Болцманова расподела брзине. Вероватноћа проналаска честице брзином у бесконачно малом елементу [ dv _k, dv _y, dv _z ] о брзини v = [ v_k, v _y, v z] је

f_{𝐯} (v_{x}, v_{y}, v_{z}) d v_{x} d v_{y} d v_{z} .

Као и моментум, и за ову расподелу се види да је производ три независне нормално дистрибуиране променљиве $v_{x}$ , $v_{y}$ , и $v_{z}$ , али са одступањем $\frac{k T}{m}$ . Такође се може видети да је Максвел-Болцманова расподела брзине за векторску брзину [v _k, v _y, _vz ] је умножак расподеле за сваки од три правца:

f_{𝐯} (v_{x}, v_{y}, v_{z}) = f_{v} (v_{x}) f_{v} (v_{y}) f_{v} (v_{z})

где је расподела за један правац

f_{v} (v_{i}) = \sqrt{\frac{m}{2 π k T}} \exp [\frac{- m v_{i}^{2}}{2 k T}] .

Свака компонента вектора брзине има нормалну расподелу са средњом вредношћу $μ_{v_{x}} = μ_{v_{y}} = μ_{v_{z}} = 0$ и стандардна девијација $σ_{v_{x}} = σ_{v_{y}} = σ_{v_{z}} = \sqrt{\frac{k T}{m}}$ , тако да вектор има тродимензионалну нормалну расподелу, одређену врсту мултиваријантне нормалне расподеле, са средњом вредности $μ_{𝐯} = 𝟎$ и коваријанција $Σ_{𝐯} = (\frac{k T}{m}) I$ , где $I$ је $3 \times 3$ идентитет матрица.

Расподела брзине

Максвел-Болцманова расподела брзине следи непосредно из расподеле вектора брзине, горе. Имајте на уму да је брзина

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}

а елемент запремине у сферним координатама

d v_{x} d v_{y} d v_{z} = v^{2} \sin θ d v d θ d ϕ = v^{2} d v d Ω

где $ϕ$ и $θ$ су сферни координатни углови вектора брзине. Интеграција функције густине вероватноће брзине преко пуних углова $d Ω$ даје додатни фактор од $4 π$ . Расподела брзине са заменом брзине за збир квадрата векторских компонената:

$f (v) = {(\frac{2}{π})}^{1 / 2} {(\frac{m}{k T})}^{3 / 2} v^{2} \exp [- \frac{m v^{2}}{2 k T}] .$

У n -димензионалном простору

У n- димензионалном простору Максвел-Болцманова расподела постаје:

$f (v) d^{n} v = {(\frac{m}{2 π k T})}^{n / 2} e^{- \frac{m | v |^{2}}{2 k T}} d^{n} v$

Дистрибуција брзине постаје:

$f (v) d v = const. \times e^{- \frac{m v^{2}}{2 k T}} \times v^{n - 1} d v$

Следећи интегрални резултат је користан:

$\begin{matrix} \int_{0}^{+ \infty} v^{a} e^{- \frac{m v^{2}}{2 k T}} d v & = {[\frac{2 k T}{m}]}^{(a + 1) / 2} \int_{0}^{+ \infty} e^{- x} x^{\frac{a}{2}} d x^{\frac{1}{2}} \\ = {[\frac{2 k T}{m}]}^{(a + 1) / 2} \int_{0}^{+ \infty} e^{- x} x^{\frac{a}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} d x \\ = {[\frac{2 k T}{m}]}^{(a + 1) / 2} \frac{Γ (\frac{a + 1}{2})}{2} \end{matrix}$

где $Γ (z)$ је функција Гама . Овај резултат се може користити за израчунавање тренутака функције расподеле брзине:

$\begin{matrix} ⟨ v ⟩ & = \frac{\int_{0}^{+ \infty} v \cdot v^{n - 1} e^{- \frac{m v^{2}}{2 k T}} d v}{\int_{0}^{+ \infty} v^{n - 1} e^{- \frac{m v^{2}}{2 k T}} d v} \\ = {[\frac{2 k T}{m}]}^{1 / 2} \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})} \end{matrix}$

која је сама средња брзина $v_{avg} = ⟨ v ⟩ = {[\frac{2 k T}{m}]}^{1 / 2} \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})}$ .

$\begin{matrix} ⟨ v^{2} ⟩ & = \frac{\int_{0}^{+ \infty} v^{2} \cdot v^{n - 1} e^{- \frac{m v^{2}}{2 k T}} d v}{\int_{0}^{+ \infty} v^{n - 1} e^{- \frac{m v^{2}}{2 k T}} d v} \\ = [\frac{2 k T}{m}] \frac{Γ (\frac{n + 2}{2})}{Γ (\frac{n}{2})} \\ = [\frac{2 k T}{m}] \frac{n}{2} = \frac{n k T}{m} \end{matrix}$

Извод функције расподеле брзине:

$\frac{d f (v)}{d v} = const. \times e^{- \frac{m v^{2}}{2 k T}} (- \frac{m v}{k T} v^{n - 1} + (n - 1) v^{n - 2}) = 0$

Види још

Квантна Болцманова једначина
Максвел – Болцман статистика
Максвел-Јуттнерова расподела
Болцманова расподела
Болцманов фактор
Раилеигх дистрибуција
Кинетичка теорија гасова

Референце

Шаблон:Референце

Додатна литература

Физика за научнике и инжењере - са савременом физиком (6. издање), ПА Типлер, Г. Мосца, Фрееман, (2008) Шаблон:ISBN
Термодинамика, од концепата до примене (друго издање), А. Схавит, Ц. Гутфингер, ЦРЦ Press (Таилор и Францис Гроуп, САД), (2009) Шаблон:ISBN
Хемијска термодинамика, ДЈГ Ивес, Универзитетска хемија, Мацдоналд Тецхницал анд Сциентифиц, (1971) Шаблон:ISBN
Елементи статистичке термодинамике (друго издање), ЛК Насх, Принциплес оф Цхемистри, Аддисон-Веслеи, (1974) Шаблон:ISBN
Вард, ЦА и Фанг, Г 1999, „Израз за предвиђање флукса испаравања течности: Приступ статистичкој брзини теорије“, Пхисицал Ревиев Е, вол. 59, бр. 1, стр. 429–40.
Рахими, П & Вард, ЦА 2005, „Кинетика испаравања: приступ теорији статистичке брзине“, Међународни часопис за термодинамику, вол. 8, бр. 9, стр. 1–14.

Шаблон:Commonscat

Спољашње везе

"Расподела брзине Максвел" из пројекта Волфрам Демонстратионс на Матхворлд-у

Шаблон:Подножје

↑ ^1,0 ^1,1 Шаблон:Cite book (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, (2008)
↑ University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (Original edition), Addison-Wesley (Pearson International), 1st Edition: 1949, 12th Edition: (2008) Шаблон:ISBN
↑ Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, (1991) Шаблон:ISBN (Verlagsgesellschaft), Шаблон:ISBN (VHC Inc.)
↑ N.A. Krall and A.W. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, San Francisco Press, Inc., 1986, among many other texts on basic plasma physics
↑ ^5,0 ^5,1 See:
↑ Шаблон:Cite book
↑ Nitrogen at room temperature is considered a "rigid" diatomic gas, with two rotational degrees of freedom additional to the three translational ones, and the vibrational degree of freedom not accessible.
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Boltzmann, L., Шаблон:Cite journal,
↑ Boltzmann, L., "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. Abt. II, 76, 1877, pp. 373–435. Reprinted in Wissenschaftliche Abhandlungen, Vol. II, pp. 164–223, Leipzig: Barth, 1909. Translation available at: -{R|http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf}- Шаблон:Wayback
↑ McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, (1994) Шаблон:ISBN
↑ Шаблон:Cite book, Appendix N, page 434

[StatisticalPhysics-1] 1,0 ^1,1 Шаблон:Cite book (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, (2008)

[2] University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (Original edition), Addison-Wesley (Pearson International), 1st Edition: 1949, 12th Edition: (2008) Шаблон:ISBN

[3] Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, (1991) Шаблон:ISBN (Verlagsgesellschaft), Шаблон:ISBN (VHC Inc.)

[4] N.A. Krall and A.W. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, San Francisco Press, Inc., 1986, among many other texts on basic plasma physics

[Maxwell-5] 5,0 ^5,1 See:

[6] Шаблон:Cite book

[7] Nitrogen at room temperature is considered a "rigid" diatomic gas, with two rotational degrees of freedom additional to the three translational ones, and the vibrational degree of freedom not accessible.

[8] Шаблон:Cite journal

[9] Boltzmann, L., Шаблон:Cite journal,

[10] Boltzmann, L., "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. Abt. II, 76, 1877, pp. 373–435. Reprinted in Wissenschaftliche Abhandlungen, Vol. II, pp. 164–223, Leipzig: Barth, 1909. Translation available at: -{R|http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf}- Шаблон:Wayback

[11] McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, (1994) Шаблон:ISBN

[12] Шаблон:Cite book, Appendix N, page 434

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Максвел–Болцманова дистрибуција

Садржај

Функција дистрибуције

Однос према 2D Максвел-Болцмановој расподели

Типичне брзине

Извођење и сродне дистрибуције

Максвел – Болцман статистика

Расподела вектора импулса

Расподела енергије

Расподела за вектор брзине

Расподела брзине

У n -димензионалном простору

Види још

Референце

Додатна литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Максвел–Болцманова дистрибуција

Функција дистрибуције

Однос према 2D Максвел-Болцмановој расподели

Типичне брзине

Извођење и сродне дистрибуције

Максвел – Болцман статистика

Расподела вектора импулса

Расподела енергије

Расподела за вектор брзине

Расподела брзине

У n -димензионалном простору

Види још

Референце

Додатна литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Претрага