Multivarijantna normalna raspodela

U teoriji verovatnoće i statistici, multivarijantna normalna raspodela, multivarijantna Gausova raspodela, ili zajednička normalna raspodela je generalizacija jednodimenzionalne (univarijantne) normalne distribucije na više dimenzija. Jedna definicija je da se randomni vektor smatra k-varijantno normalno distribuiranim ako svaka linearna kombinacija njegovih -{k}- komponenata ima univarijantnu normalnu distribuciju. Njen značaj proističe uglavnom iz multivarijantne centralne granične teoreme. Multivarijantna normalna distribucija često se koristi za opisivanje, barem približno, bilo kojeg skupa (mogućih) korelisanih realno-vrednosnih radomnih promenljivih, od kojih se svaka grupiše oko srednje vrednosti.

Notacija i parametrizacija

Multivarijantna normalna distribucija -{k}--dimenzionalnog randomnog vektora $𝐗=(X_1,\dots ,X_k)$ može se zapisati na sledeći način:

$𝐗\sim 𝒩(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma }),$

ili da se naglasi da je X -{k}--dimenziono,

$𝐗\sim {𝒩}_k(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma }),$

sa -{k}--dimenzionim srednjim vektorom

$\mathit{\mu }=\mathrm{E}[𝐗]=(\mathrm{E}[X_1],\mathrm{E}[X_2],\dots ,\mathrm{E}[X_k]),$

i $k\times k$ kovarijantnom matricom

${\mathrm{\Sigma }}_{i,j}:=\mathrm{E}[(X_i-{\mu }_i)(X_j-{\mu }_j)]=\mathrm{Cov}[X_i,X_j]$

takvom da $1\le i,j\le k.$ Inverzna matrica kovarijantne matrice se zove matrica preciznosti i označava se sa $𝑸={\mathrm{\Sigma }}^{-1}$.

Definicije

Standardni normalni randomni vektor

Realni randomni vektor $𝐗=(X_1,\dots ,X_k{)}^{\mathrm{T}}$ se zove standardni normalni randomni vektor ako su sve njegove komponente $X_n$ nezavisne i svaka je normalno distribuirana randomna promenljiva sa nultom srednjom vrednosti i jediničnom varijansom, i.e. ako $X_n\sim 𝒩(0,1)$ za svako $n$.Шаблон:Rp

Centrirani normalni randomni vektor

Realni randomni vektor $𝐗=(X_1,\dots ,X_k{)}^{\mathrm{T}}$ se zove centrirani normalni randomni vektor ako postoji deterministička $k\times \ell$ matrica $𝑨$ takva da $𝑨𝐙$ ima istu distribuciju kao $𝐗$ gde je $𝐙$ standardni normalni randomni vektor sa $\ell$ komponenata.Шаблон:Rp

Normalni randomni vektor

Realni randomni vektor $𝐗=(X_1,\dots ,X_k{)}^{\mathrm{T}}$ se zove normalni randomni vektor ako postoji randomni $\ell$-vektor $𝐙$, koji je standardni normalni randomni vektor, $k$-vektor $\mathit{\mu }$, i $k\times \ell$ matrica $𝑨$, takva da je $𝐗=𝑨𝐙+\mathit{\mu }$.Шаблон:RpШаблон:Rp

Formalno:

$𝐗\sim 𝒩(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })⟺\text{postoji }\mathit{\mu }\in {ℝ}^k,𝑨\in {ℝ}^{k\times \ell }\text{ takvo da je }𝐗=𝑨𝐙+\mathit{\mu }\text{ za }{Z}_n\sim 𝒩(0,1),\text{i.i.d.}$

Kovarijantna matrica je $\mathrm{\Sigma }=𝑨{𝑨}^{\mathrm{T}}$.

U degenerativnom slučaju gde je kovarijantna matrica singularna, korespondirajuća distribucija nema gustinu. Ovaj slučaj se često pojavljuje u statistici; na primer, u raspodeli vektora reziduala u regresiji običnih najmanjih kvadrata. Takođe treba imati na umu da $X_i$ uglavnom nisu nezavisni; oni se mogu videti kao rezultat primene matrice $𝑨$ na kolekciju nezavisnih Gausovih promenljivih $𝐙$.

Ekvivalentne definicije

Sledeće definicije su ekvivalentne sa gornjom definicijom. Randomni vektor $𝐗=(X_1,\dots ,X_k{)}^T$ ima multivarijatnu normalnu distribuciju ako zadovoljava jedan od sledećih uslova.

• Svaka linearna kombinacija $Y=a_1{X}_1+\cdots +a_k{X}_k$ njegovih komponenti je normalno distribuirana. Drugim rečima, za svaki konstantni vektor $𝐚\in {ℝ}^k$, randomna promenljiva $Y={𝐚}^{\mathrm{T}}𝐗$ ima univarijatnu normalnu distribuciju, gde je univarijatna normalna distribucija sa nultom varijansom tačka mase na svojoj srednjoj vrednosti.
• Postoji -{k}--vektor $\mathit{\mu }$ i simetrična, pozitivna poludefinitivna $k\times k$ matrica $\mathrm{\Sigma }$, takva da karakteristična funkcija od $𝐗$ je

${\phi }_{𝐗}(𝐮)=\exp (i{𝐮}^T\mathit{\mu }-\frac{1}{2}{𝐮}^T\mathrm{\Sigma }𝐮).$

Sferina normalna distribucija može da bude karakterisana kao jedinstvena distribucija, pri čemu su komponente nezavisne u svakom ortogonalnom koordinatnom sistemu.

Literatura

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Wollschlaeger, Daniel. "ShotGroups." Hoyt. RDocumentation, n.d. Web. -{R|https://www.rdocumentation.org/packages/shotGroups/versions/0.7.1/topics/Hoyt}-.
• Gallager, Robert G (2008). "Circularly-Symmetric Gaussian Random Vectors." (n.d.): n. pag. Pre-print. Web. 9 -{R|http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf}-Шаблон:Мртва веза.
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite conference
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal