Количничка група

Количничка група или фактор група је математичка група која се добија груписањем сличних елемената веће групе коришћењем релације еквиваленције која чува део структуре групе (остатак структуре се „факторише”). На пример, циклична група сабирања по модулу n може се добити из групе целих бројева са операцијом сабирања тако што се идентификују елементи који се разликују за умножак од $n$ и дефинише структура групе која оперише на свакој таквој класи (познатој као класа конгруенције) као на јединственом ентитету. Ово је део математичке области познате као теорија група.

За релацију конгруенције на групи, класа еквиваленције неутрала је увек нормална подгрупа оригиналне групе, а остале класе еквиваленције су управо косети те нормалне подгрупе. Резултујући количник се записује као Шаблон:Tmath, где је $G$ оригинална група, а $N$ нормална подгрупа. Ово се чита као „Шаблон:Tmath”, где је $\text{mod}$ скраћеница за модул. (Ознаку Шаблон:Tmath треба тумачити с опрезом, јер је неки аутори (нпр. Винберг) користе за представљање левих косета од $H$ у $G$ за било коју подгрупу $H$, иако ови косети не формирају групу ако $H$ није нормална у Шаблон:Tmath. Други (нпр. Дамит и Фут) користе ову нотацију да се односи само на количничку групу, при чему појава ове нотације имплицира да је $H$ нормална у Шаблон:Tmath.)

Велики део значаја количничких група произилази из њихове везе са хомоморфизмима. Прва теорема о изоморфизму каже да је слика било које групе $G$ под хомоморфизмом увек изоморфна количнику од Шаблон:Tmath. Конкретно, слика $G$ под хомоморфизмом $\phi :G\to H$ је изоморфна $G/\ker (\phi )$, где $\ker (\phi )$ означава језгро од Шаблон:Tmath.

Дуални појам количничке групе је подгрупа, што су два основна начина формирања мање групе из веће. Свака нормална подгрупа има одговарајућу количничку групу, формирану из веће групе елиминисањем разлике између елемената подгрупе. У теорији категорија, количничке групе су примери количничких објеката, који су дуални подобјектима.

Дефиниција и илустрација

За дату групу $G$ и подгрупу Шаблон:Tmath, и фиксиран елемент $a\in G$, може се разматрати одговарајући леви косет: Шаблон:Tmath. Косети су природна класа подскупова групе; на пример, размотримо Абелову групу $G$ целих бројева, са операцијом дефинисаном уобичајеним сабирањем, и подгрупу $H$ парних целих бројева. Тада postoje тачно два косета: Шаблон:Tmath, што су парни цели бројеви, и Шаблон:Tmath, што су непарни цели бројеви (овде користимо адитивну нотацију за бинарну операцију уместо мултипликативне).

За општу подгрупу Шаблон:Tmath, пожељно је дефинисати компатибилну операцију групе на скупу свих могућих косета, Шаблон:Tmath. Ово је могуће тачно када је $H$ нормална подгрупа, што је објашњено у наставку. Подгрупа $N$ групе $G$ је нормална акко једнакост косета $aN=Na$ важи за све Шаблон:Tmath. Нормална подгрупа групе $G$ означава се са Шаблон:Tmath.

Дефиниција

Нека је $N$ нормална подгрупа групе Шаблон:Tmath. Дефинишимо скуп $G/N$ као скуп свих левих косета од $N$ у Шаблон:Tmath. Дакле, Шаблон:Tmath.

Пошто је неутрал Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath. Дефинишимо бинарну операцију на скупу косета, Шаблон:Tmath, на следећи начин. За свако $aN$ и $bN$ у Шаблон:Tmath, производ $aN$ и Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, је Шаблон:Tmath. Ово функционише само зато што $(ab)N$ не зависи од избора представника, $a$ и Шаблон:Tmath, сваког левог косета, $aN$ и Шаблон:Tmath. Да бисмо ово доказали, претпоставимо $xN=aN$ и $yN=bN$ за неке Шаблон:Tmath. Тада је

$(ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N.$

Ово зависи од чињенице да је Шаблон:Tmath нормална подгрупа. Остаје још да се покаже да овај услов није само довољан, већ и неопходан за дефинисање операције на Шаблон:Tmath.

Да бисмо показали да је неопходан, узмимо да нам је за подгрупу $N$ од Шаблон:Tmath дато да је операција добро дефинисана. То јест, за све $xN=aN$ и Шаблон:Tmath за Шаблон:Tmath.

Нека је $n\in N$ и Шаблон:Tmath. Пошто је Шаблон:Tmath, имамо Шаблон:Tmath.

Сада, $gN=(ng)N\iff N=(g^{-1}ng)N\iff g^{-1}ng\in N,\mathrm{\forall }n\in N$ и Шаблон:Tmath.

Дакле, $N$ је нормална подгрупа од Шаблон:Tmath.

Може се такође проверити да је ова операција на $G/N$ увек асоцијативна, $G/N$ има неутрал Шаблон:Tmath, а инверз елемента $aN$ се увек може представити са Шаблон:Tmath. Стога, скуп $G/N$ заједно са операцијом дефинисаном као $(aN)(bN)=(ab)N$ формира групу, количничку групу од $G$ по Шаблон:Tmath.

Због нормалности Шаблон:Tmath, леви косети и десни косети од $N$ у $G$ су исти, па се $G/N$ могао дефинисати и као скуп десних косета од $N$ у Шаблон:Tmath.

Пример: Сабирање по модулу 6

На пример, размотримо групу са сабирањем по модулу 6: Шаблон:Tmath. Размотримо подгрупу Шаблон:Tmath, која је нормална јер је $G$ Абелова. Тада скуп (левих) косета има величину три:

$G/N=\{a+N:a\in G\}=\{\{0,3\},\{1,4\},\{2,5\}\}=\{0+N,1+N,2+N\}.$

Горе дефинисана бинарна операција чини овај скуп групом, познатом као количничка група, која је у овом случају изоморфна цикличној групи реда 3.

Мотивација за назив „количник”

Количничка група $G/N$ може се упоредити са дељењем целих бројева. Када се 12 дели са 3, добија се резултат 4 јер се 12 објеката може прегруписати у 4 подскупа од по 3 објекта. Количничка група је иста идеја, иако се на крају добија група као коначан одговор уместо броја, јер групе имају више структуре од произвољног скупа објеката: у количнику Шаблон:Tmath, структура групе се користи за формирање природног „прегруписавања”. То су косети од $N$ у Шаблон:Tmath. Будући да смо почели са групом и нормалном подгрупом, коначни количник садржи више информација од самог броја косета (што је оно што обично дељење даје), већ има и сопствену структуру групе.

Примери

Парни и непарни цели бројеви

Размотримо групу целих бројева $\mathbb{Z}$ (са операцијом сабирања) и подгрупу $2\mathbb{Z}$ која се састоји од свих парних целих бројева. Ово је нормална подгрупа, јер је $\mathbb{Z}$ Абелова. Постоје само два косета: скуп парних целих бројева и скуп непарних целих бројева, па је стога количничка група $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ циклична група са два елемента. Ова количничка група је изоморфна скупу $\{0,1\}$ са сабирањем по модулу 2; неформално се понекад каже да је $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ једнако скупу $\{0,1\}$ са сабирањем по модулу 2.

Детаљније објашњење примера...

Нека је $\gamma (m)$ остатак при дељењу $m\in \mathbb{Z}$ са Шаблон:Tmath. Тада је $\gamma (m)=0$ када је $m$ парно и $\gamma (m)=1$ када је $m$ непарно.

По дефиницији Шаблон:Tmath, језгро од Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, је скуп свих парних целих бројева.

Нека је Шаблон:Tmath. Тада је $H$ подгрупа, јер је неутрал у Шаблон:Tmath, а то је Шаблон:Tmath, у Шаблон:Tmath; збир два парна цела броја је паран, па ако су $m$ и $n$ у Шаблон:Tmath, и $m+n$ је у $H$ (затвореност); и ако је $m$ парно, $-m$ је такође парно, па $H$ садржи своје инверзе.

Дефинишимо $\mu :\mathbb{Z}/H\to {\mathrm{Z}}_2$ као $\mu (aH)=\gamma (a)$ за $a\in \mathbb{Z}$, где је $\mathbb{Z}/H$ количничка група левих косета; Шаблон:Tmath.

Приметимо да смо дефинисали Шаблон:Tmath тако да је $\mu (aH)$ једнако $1$ ако је $a$ непарно, и $0$ ако је $a$ парно.

Дакле, $\mu$ је изоморфизам из $\mathbb{Z}/H$ у Шаблон:Tmath.

Остаци при целобројном дељењу

Блага генерализација претходног примера. Поново размотримо групу целих бројева $\mathbb{Z}$ са операцијом сабирања. Нека је Шаблон:Tmath било који позитиван цео број. Размотрићемо подгрупу $n\mathbb{Z}$ од $\mathbb{Z}$ која се састоји од свих умножака Шаблон:Tmath. Поново је $n\mathbb{Z}$ нормална у $\mathbb{Z}$ јер је $\mathbb{Z}$ Абелова. Косети су скуп Шаблон:Tmath. Цео број $k$ припада косету Шаблон:Tmath, где је $r$ остатак при дељењу $k$ са Шаблон:Tmath. Количник $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ може се посматрати као група „остатака” по модулу Шаблон:Tmath. Ово је циклична група реда Шаблон:Tmath.

Комплексни целобројни корени јединице

Косети четвртих корена јединице N у дванаестим коренима јединице G.

Дванаести корени јединице, који су тачке на комплексној јединичној кружници, формирају мултипликативну Абелову групу Шаблон:Tmath, приказану на слици десно као обојене куглице, где број на свакој тачки означава њен комплексни аргумент. Размотримо њену подгрупу $N$ коју чине четврти корени јединице, приказани као црвене куглице. Ова нормална подгрупа дели групу на три косета, приказана црвеном, зеленом и плавом бојом. Може се проверити да косети формирају групу од три елемента (производ црвеног и плавог елемента је плав, инверз плавог елемента је зелен, итд.). Дакле, количничка група $G/N$ је група три боје, што се испоставља да је циклична група са три елемента.

Реални бројеви по модулу целих бројева

Размотримо групу реалних бројева $ℝ$ са операцијом сабирања, и подгрупу $\mathbb{Z}$ целих бројева. Сваки косет од $\mathbb{Z}$ у $ℝ$ је скуп облика Шаблон:Tmath, где је $a$ реалан број. Пошто су $a_1+\mathbb{Z}$ и $a_2+\mathbb{Z}$ идентични скупови када су не-целобројни делови од $a_1$ и $a_2$ једнаки, може се увести ограничење $0\le a<1$ без промене значења. Сабирање таквих косета се врши сабирањем одговарајућих реалних бројева, и одузимањем 1 ако је резултат већи или једнак 1. Количничка група $ℝ/\mathbb{Z}$ је изоморфна кружној групи, групи комплексних бројева апсолутне вредности 1 са операцијом множења, или, еквивалентно, групи ротација у 2D око координатног почетка, то јест, специјалној ортогоналној групи Шаблон:Tmath. Изоморфизам је дат са $f(a+\mathbb{Z})=\exp (2\pi ia)$ (видети Ојлеров идентитет).

Матрице реалних бројева

Ако је $G$ група инвертибилних $3\times 3$ реалних матрица, а $N$ је подгрупа $3\times 3$ реалних матрица са детерминантом 1, онда је $N$ нормална у $G$ (пошто је то језгро детерминантног хомоморфизма групе). Косети од $N$ су скупови матрица са датом детерминантом, па је стога $G/N$ изоморфна мултипликативној групи ненултих реалних бројева. Група $N$ је позната као специјална линеарна група Шаблон:Tmath.

Целобројна модуларна аритметика

Размотримо Абелову групу ${\mathrm{Z}}_4=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ (то јест, скуп $\{0,1,2,3\}$ са сабирањем по модулу 4), и њену подгрупу Шаблон:Tmath. Количничка група ${\mathrm{Z}}_4/\{0,2\}$ је Шаблон:Tmath. Ово је група са неутралом Шаблон:Tmath, и операцијама групе као што је Шаблон:Tmath. И подгрупа $\{0,2\}$ и количничка група $\{\{0,2\},\{1,3\}\}$ су изоморфне са Шаблон:Tmath.

Целобројно множење

Размотримо мултипликативну групу Шаблон:Tmath. Скуп $N$ Шаблон:Tmath-тих остатака је мултипликативна подгрупа изоморфна са Шаблон:Tmath. Тада је $N$ нормална у $G$ и фактор група $G/N$ има косете Шаблон:Tmath. Пајеов криптосистем је заснован на претпоставци да је тешко одредити косет случајног елемента из $G$ без познавања факторизације од Шаблон:Tmath.

Својства

Количничка група $G/G$ је изоморфна тривијалној групи (групи са једним елементом), а $G/\left\{e\right\}$ је изоморфна Шаблон:Tmath.

Ред од Шаблон:Tmath, по дефиницији број елемената, једнак је Шаблон:Tmath, индексу од $N$ у Шаблон:Tmath. Ако је $G$ коначна, индекс је такође једнак реду од $G$ подељеном са редом од Шаблон:Tmath. Скуп $G/N$ може бити коначан, иако су и $G$ и $N$ бесконачни (на пример, Шаблон:Tmath).

Постоји „природни” сурјективни хомоморфизам групе Шаблон:Tmath, који сваки елемент $g$ из $G$ пресликава у косет од $N$ којем $g$ припада, то јест: Шаблон:Tmath. Пресликавање $\pi$ се понекад назива канонска пројекција $G$ на Шаблон:Tmath. Његово језгро је Шаблон:Tmath.

Постоји бијективна кореспонденција између подгрупа од $G$ које садрже $N$ и подгрупа од Шаблон:Tmath; ако је $H$ подгрупа од $G$ која садржи Шаблон:Tmath, тада је одговарајућа подгрупа од $G/N$ једнака Шаблон:Tmath. Ова кореспонденција важи и за нормалне подгрупе од $G$ и $G/N$, и формализована је у теореми о решетки.

Неколико важних својстава количничких група забележено је у основној теореми о хомоморфизмима и теоремама о изоморфизму.

Ако је $G$ Абелова, нилпотентна, решива, циклична или коначно генерисана, онда је и Шаблон:Tmath таква.

Ако је $H$ подгрупа у коначној групи Шаблон:Tmath, а ред од $H$ је половина реда од Шаблон:Tmath, онда је загарантовано да је $H$ нормална подгрупа, па $G/H$ постоји и изоморфна је са Шаблон:Tmath. Овај резултат се такође може навести као „свака подгрупа индекса 2 је нормална”, и у овом облику се примењује и на бесконачне групе. Штавише, ако је $p$ најмањи прост број који дели ред коначне групе, Шаблон:Tmath, онда ако $G/H$ има ред Шаблон:Tmath, $H$ мора бити нормална подгрупа од Шаблон:Tmath.

За дату групу $G$ и нормалну подгрупу Шаблон:Tmath, $G$ је проширење групе $G/N$ са Шаблон:Tmath. Може се поставити питање да ли је ово проширење тривијално или дељиво; другим речима, може се питати да ли је $G$ директан производ или полудиректан производ од $N$ и Шаблон:Tmath. Ово је посебан случај проблема проширења. Пример где проширење није дељиво је следећи: Нека је Шаблон:Tmath, и Шаблон:Tmath, што је изоморфно са Шаблон:Tmath. Тада је $G/N$ такође изоморфно са Шаблон:Tmath. Али ${\mathrm{Z}}_2$ има само тривијални аутоморфизам, па је једини полудиректни производ од $N$ и $G/N$ директан производ. Пошто је ${\mathrm{Z}}_4$ различито од Шаблон:Tmath, закључујемо да $G$ није полудиректни производ од $N$ и Шаблон:Tmath.

Количници Лијевих група

Ако је $G$ Лијева група и $N$ је нормална и затворена (у тополошком, а не алгебарском смислу речи) Лијева подгрупа од Шаблон:Tmath, количник $G/N$ је такође Лијева група. У овом случају, оригинална група $G$ има структуру влакнастог снопа (конкретно, [[главни сноп|главног Шаблон:Tmath-снопа]]), са базним простором $G/N$ и влакном Шаблон:Tmath. Димензија $G/N$ једнака је Шаблон:Tmath.

Приметимо да је услов да је $N$ затворена неопходан. Заиста, ако $N$ није затворена, количнички простор није Т1-простор (пошто постоји косет у количнику који се не може одвојити از идентитета отвореним скупом), па стога није ни Хаусдорфов простор.

За не-нормалну Лијеву подгрупу Шаблон:Tmath, простор $G/N$ левих косета није група, већ једноставно диференцијабилна многострукост на којој $G$ делује. Резултат је познат као хомоген простор.

Види још

• Проширење групе
• Количничка категорија
• Кратки тачан низ

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation