Циклична група

У теорији група, циклична група или моногена група је група која може бити генерисана само од једног свог елемента, у смислу да је да група има елемент -{g}- („генератор“ групе) такав да, када се запише мултипликативно, сваки елемент групе је степен од -{g}- (умножак од -{g}- у случају адитивне нотације).

Дефиниција

Група -{G}- се назива цикличном ако постоји елемент -{g}- у -{G}-, такав да -{G = <g> = { gⁿ}- за сваки цео број -{n}- }. Како је свака група генерисана елементом групе подгрупа те групе, показивањем да је једина подгрупа групе -{G}- која садржи -{g}- сама -{G}-, показује се да је -{G}- циклична.

На пример, ако је -{G = { e, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ }}-, онда је -{G}- циклична, и -{G}- је у суштини иста као (до на изоморфизам) група { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } са сабирањем по модулу 6. То јест 1 + 2 -{mod}- 6 = 3, 2 + 5 -{mod}- 6 = 1, и тако даље. Може се користити изоморфизам φ дефинисан као φ(-{g}-) = 1.

За сваки позитиван цео број -{n}- постоји тачно једна циклична група (до на изоморфизам) чији ред је -{n}-, и постоји тачно једна бесконачна циклична група (цели бројеви у односу на сабирање). Стога су цикличне групе најједноставније групе.

Име 'циклична' може да доведе у забуну: могуће је генерисати бесконачно много елемената и не направити ниједан циклус; то јест, свако $g^{n}$ може бити различито. Група генерисана на овај начин је бесконачна циклична група, која је изоморфна адитивној групи целих бројева -{Z}-.

Групе се обично означавају адитивно на следећи начин: -{Z/n}- или -{Z/nZ}-. Мултипликативно, означавају се као -{C_n}-. (На пример, -{g³g⁴ = g² у C₅}-, где је 3 + 4 = 2 (-{mod}- 5) у -{Z}-/5.)

Све коначне цикличне групе су периодичне групе.

Својства

Свака циклична група је изоморфна групи { 0, 1, 2, ..., -{n}- − 1 } у односу на сабирање по модулу -{n}-, или -{Z}-, адитивној групи свих целих бројева. Због тога су циклична групе најједноставније групе за изучавање и имају бројна згодна својства. Дата је циклична група -{G}- реда -{n}- (-{n}- може бити бесконачно). За свако -{g}- из -{G}-,

-{G}- је Абелова група; то јест, операција групе је комутативна: -{gh = hg}-. Ово важи, јер је -{g + h mod n = h + g mod n}-.
Ако је -{n}- бесконачно, тада $g^{n} = e$ јер -{n mod n = 0}-.
Ако је -{n}- = ∞, тада постоје тачно два генератора: 1 и −1 за -{Z}-, а сви остали се пресликавају у њих под изоморфизмом у другим цикличним групама.
Ако је -{n}- коначно, тада постоји тачно φ(-{n}-) генератора, где је φ() Ојлерова фи функција
Свака подгрупа од -{G}- је циклична. Заиста, свака коначна подгрупа од -{G}- је група { 0, 1, 2, 3, ... -{m}- − 1} у односу на сабирање по модулу -{m}-. А свака бесконачна подгрупа од -{G}- је -{mZ'}- за неко -{m}-, које је бијективно (изоморфно) са -{Z}-'.
-{C_n}- је изоморфно са -{Z/n}-, јер -{Z/n = {0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ, ..., n − 1 + nZ}}- $≅$ { 0, 1, 2, 3, 4, ..., -{n}- − 1} у односу на сабирање по модулу -{n}-.

Генератори -{'Z'/n}- су класе остатака целих бројева који су узајамно прости са -{n}-; број тих генератора је познат као φ(-{n}-), где је φ Ојлерова фи функција.

Општије, ако -{d}- дели -{n}-, тада је број елемената у -{'Z'/n}-, који су реда -{d}- једнак φ(-{d}-). Ред класе остатка од -{m}- је -{n}- / НЗД-{(n,m)}-.

Ако је -{p}- прост број, тада је једина група (до на изоморфизам) са -{p}- елемената циклична група -{C_p}- или -{Z/p}-.

Директан производ две цикличне групе -{'Z/n}- и -{'Z/m}- је цикличан ако и само ако су -{n}- и -{m}- узајамно прости. Стога, на пример -{Z}-/12 је директан производ -{Z}-/3 и -{Z}-/4, али није директан производ -{Z}-/6 и -{Z}-/2.

Дефиниција имплицира да цикличне групе имају врло једноставну презентацију групе -{C_n = < x | xⁿ >}-.

Структурна теорема за коначне Абелове групе каже да је свака коначно генерисана Абелова група директан производ коначно много цикличних група.

-{'Z/n}- и -{Z}- су такође комутативни прстени. Ако је -{p}- прост, онда је -{'Z/p}- коначно поље, што се такође означава са -{F_p}- или -{GF(p)}-. Свако поље са -{p}- елемената је изоморфно овом пољу.

Јединице прстена -{'Z'/n}- су бројеви узајамно прости са -{n}-. Они граде групу у односу на множење по модулу -{n}- са φ(-{n}-) елемената. То се записује као -{(Z/n)^×}-. на пример, добијамо -{(Z/n)^× = {1, 5}}- када је -{n}- = 6, и -{(Z/n)^×}- = {1, 3, 5, 7} када је -{n}- = 8.

Познато је да је -{(Z/n)^×}- циклична ако и само ако је -{n}- једнако 2 или 4 или -{p^k}- или 2 -{p^k}- за прост број већи од два -{p}- и -{k}- ≥ 1, у ком случају се сваки генератор -{Z_n^×}- назива примитивним кореном по модулу -{n}-. Стога, -{(Z/n)^×}- је циклично за -{n}- = 6, али не за -{n}- = 8, када је изоморфно Клајновој четворној групи.

Група -{(Z/p)^×}- је циклична са -{p}- − 1 елемената за свако просто -{p}-, што се записује и као -{(Z/p)^*}- јер се састоји од не-нула елемената. Општије, свака коначна подгрупа мултипликативне групе било ког поља је циклична.

Примери

У две и три димензије симетрија групе за n-пута ротациону симетрију је -{C_n}-, апстрактног типа групе -{Z_n}-. У три димензије постоје и друге симетрије групе које су алгебарски исте.

Треба имати у виду да група -{S¹}- свих ротација круга (кружна група) није циклична, јер није ни пребројива.

-{n}-^ти Де Моавров број гради цикличну групу реда -{n}- у односу на множење, на пример, $0 = z^{3} - 1 = (z - s^{0}) (z - s^{1}) (z - s^{2})$ где је $s^{i} = e^{2 π i / 3}$ и група ${s^{0}, s^{1}, s^{2}}$ у односу на множење је циклична.

Представљање

Циклични графови коначних цикличних група су сви -{n}--тострани полигони. Црна тачка у цикличном графу представља неутрал, а остали чворови су елементи групе. Цикл се састоји од узастопних степена било ког елемента повезаног са неутралом.