Историја логике

Извор: testwiki
Пређи на навигацију Пређи на претрагу

Шаблон:Филозофија бочна трака Историја логике бави се проучавањем развоја науке о ваљаном закључивању (логици). Формалне логике су се развиле у древна времена у Индији, Кини и Грчкој. Грчке методе, посебно Аристотеловска логика (или логика термина) каква се налази у делу Органон, нашле су широку примену и прихватање у западној науци и математици миленијумима.[1] Стоици, нарочито Хрисип, започели су развој предикатске логике.

Хришћански и исламски филозофи, као што су Боеције (умро 524), Авицена (умро 1037), Тома Аквински (умро 1274) и Вилијам Окамски (умро 1347), даље су развијали Аристотелову логику у средњем веку, достигавши врхунац средином четрнаестог века, са Жаном Бириданом. Период од четрнаестог века до почетка деветнаестог века углавном је обележен опадањем и занемаривањем, а најмање један историчар логике овај период сматра јаловим.[2] Емпиријске методе су преовладавале, о чему сведочи дело сер Франсиса Бејкона Нови органон из 1620. године.

Логика је оживела средином деветнаестог века, на почетку револуционарног периода када се ова дисциплина развила у ригорозну и формалну науку која је за узор узела егзактну методу доказа која се користи у математици, ослањајући се на грчку традицију.[3] Развој модерне „симболичке” или „математичке” логике током овог периода, захваљујући научницима као што су Бул, Фреге, Расел и Пеано, представља најзначајнији догађај у двомиленијумској историји логике и вероватно један од најважнијих и најистакнутијих догађаја у људској интелектуалној историји.[4]

Напредак у математичкој логици у првим деценијама двадесетог века, посебно онај који произилази из рада Гедела и Тарског, значајно је утицао на аналитичку филозофију и филозофску логику, нарочито од педесетих година 20. века па надаље, у областима као што су модална логика, темпорална логика, деонтичка логика и релевантна логика.

Логика у Индији

Шаблон:Main

Хиндуистичка логика

Порекло

Насадија сукта из Ригведе (РВ 10.129) садржи онтолошке спекулације у виду различитих логичких подела које су касније формално преобликоване у четири круга чатушкоти: „А”, „не А”, „А и 'не А'”, и „ни А ни не А”. Шаблон:Rquote Логика се независно појавила у древној Индији и наставила да се развија до раног модерног доба без икаквог познатог утицаја грчке логике.[5]

Пре Гаутаме

Иако порекло јавне дебате (pariṣad), једног облика рационалног истраживања, у Индији није јасно, знамо да су јавне дебате биле уобичајене у преткласичној Индији, јер се често помињу у разним упанишадама и у раној будистичкој литератури. Јавна дебата није једини облик јавне расправе у преткласичној Индији. Скупштине (pariṣad или sabhā) различитих врста, састављене од релевантних стручњака, редовно су се сазивале ради расправе о разним питањима, укључујући административна, правна и верска питања.[6]

Дататреја

За филозофа по имену Дататреја у Бхагавата пурани се наводи да је подучавао Ањвикшики Аиарку, Прахладу и друге. Из Маркандеја пуране се чини да се Ањвикшики-видја коју је он изложио састојала од пуке расправе о души у складу са јога филозофијом. Дататреја је изложио филозофску страну Ањвикшики, а не њен логички аспект.[7][8]

Медхатити Гаутама

Док су се раније поменути учитељи бавили неким посебним темама Ањвикшики, заслуга за оснивање Ањвикшики у њеном посебном смислу науке приписује се Медхатити Гаутами (око 6. века п. н. е.). Гаутама је основао Ањвикшики школу логике.[9] Махабхарата (12.173.45), око 5. века п. н. е., помиње анвикшики и тарка школе логике.

Панини

Шаблон:IAST (око 5. века п. н. е.) развио је облик логике (са којим Булова логика има извесне сличности) за своју формулацију санскртске граматике. Логику описује Чанакја (око 350–283. п. н. е.) у својој Артхашастри као независно поље истраживања.[10]

Нјаја-Ваишешика

Две од шест индијских школа мишљења баве се логиком: Нјаја и Ваишешика. Њаја сутре од Акшапада Гаутаме (око 2. века н. е.) чине основне текстове школе Нјаја, једне од шест ортодоксних школа хиндуистичке филозофије. Ова реалистичка школа развила је ригидну пето-члану шему закључивања која укључује почетну премису, разлог, пример, примену и закључак.[11] Идеалистичка будистичка филозофија постала је главни противник Наијаикама.

Џаинистичка логика

Умасвати (2. век н. е.), аутор првог џаинистичког дела на санскрту, Татвартхасутре, која излаже џаинистичку филозофију на најсистематизованији начин прихватљив за све секте џаинизма

Џаини су дали свој јединствени допринос овом главном току развоја логике бавећи се такође основним епистемолошким питањима, наиме, онима која се тичу природе знања, како се знање стиче и на који начин се за знање може рећи да је поуздано.

Џаини имају доктрине релативности које се користе за логику и расуђивање:

  • Анекантавада – теорија релативног плурализма или вишеструкости;
  • Сјадвада – теорија условљене предикације и;
  • Најавада – теорија делимичних становишта.

Ови концепти у џаинистичкој филозофији дали су важан допринос мишљењу, посебно у областима скептицизма и релативности. [1][12]

Будистичка логика

Нагарђуна

Нагарђуна (око 150–250. н. е.), оснивач Мадхјамаке („Средњи пут”) развио је анализу познату као чатушкоти (санскрт), „четвороугаони” систем аргументације који укључује систематско испитивање и одбацивање сваке од четири могућности пропозиције, P:

  1. P; то јест, биће.
  2. не-P; то јест, небиће.
  3. Слика Нагарђуне из Шингон Хасозо, серије свитака аутора Шингон школе будизма. Јапан, Камакура период (13–14. век)
    P и не-P; то јест, биће и небиће.
  4. не (P или не-P); то јест, ни биће ни небиће.Шаблон:Paragraph breakПрема исказној логици, Де Морганови закони би подразумевали да је четврти случај еквивалентан трећем случају, па би стога био излишан, са само 3 стварна случаја за разматрање.

Дигнага

Међутим, за Дигнагу (око 480–540. н. е.) се понекад каже да је развио формални силогизам,[13] и захваљујући њему и његовом наследнику, Дармакиртију, будистичка логика је достигла свој врхунац; спорно је да ли њихова анализа заиста чини формални силогистички систем. Посебно, њихова анализа се усредсредила на дефиницију релације која оправдава закључивање, „вјапти”, такође познате као непроменљива конкомитантност или прожетост.[14] У том циљу, развијена је доктрина позната као „апоха” или диференцијација.[15] То је подразумевало оно што би се могло назвати укључивањем и искључивањем дефинишућих својстава.

Чувени Дигнагин „точак разлога” (Хетучакра) је метод показивања када се једна ствар (попут дима) може узети као непроменљив знак друге ствари (попут ватре), али закључивање је често индуктивно и засновано на прошлом посматрању. Матилал примећује да је Дигнагина анализа веома слична Џон Стјуарт Миловој Удруженој методи слагања и разлике, која је индуктивна.[16]

Логика у Кини

Шаблон:Main У Кини, савременик Конфучија, Мо Ци, „Учитељ Мо”, заслужан је за оснивање моистичке школе, чији су се канони бавили питањима ваљаног закључивања и условима исправних закључака. Посебно, једној од школа која је проистекла из моизма, Логичарима, неки научници приписују заслуге за рано истраживање формалне логике. Због сурове владавине легализма током касније династије Ћин, ова линија истраживања је нестала у Кини све до увођења индијске филозофије од стране будиста.

Логика у античком Медитерану

Преисторија логике

Ваљано закључивање је примењивано у свим периодима људске историје. Међутим, логика проучава принципе ваљаног закључивања, извођења закључака и демонстрације. Вероватно је да се идеја о демонстрирању закључка прво појавила у вези са геометријом, која је првобитно значила исто што и „мерење земљишта”.[17] Стари Египћани су открили геометрију, укључујући формулу за запремину зарубљене пирамиде.[18] Древни Вавилон је такође био вешт у математици. Есагил-кин-аплијев медицински Дијагностички приручник из 11. века п. н. е. заснивао се на логичком скупу аксиома и претпоставки,[19] док су вавилонски астрономи у 8. и 7. веку п. н. е. користили интерну логику унутар својих предиктивних планетарних система, што је важан допринос филозофији науке.[20]

Античка Грчка пре Аристотела

Док су стари Египћани емпиријски открили неке истине геометрије, велико достигнуће старих Грка било је да замене емпиријске методе демонстративним доказом. Чинило се да су и Талес и Питагора из редова пресократовских филозофа били свесни геометријских метода.

Фрагменти раних доказа сачувани су у делима Платона и Аристотела,[21] а идеја дедуктивног система вероватно је била позната у Питагорејској школи и Платоновој академији.[18] Докази Еуклида Александријског су парадигма грчке геометрије. Три основна принципа геометрије су следећа:

  • Извесне пропозиције морају бити прихваћене као тачне без доказивања; таква пропозиција је позната као аксиом геометрије.
  • Свака пропозиција која није аксиом геометрије мора бити демонстрирана тако што следи из аксиома геометрије; таква демонстрација је позната као доказ или „извођење” пропозиције.
  • Доказ мора бити формалан; то јест, извођење пропозиције мора бити независно од конкретног предмета о коме се ради.[18]

Даљи доказ да су се рани грчки мислиоци бавили принципима расуђивања налази се у фрагменту названом дисои логои, вероватно написаном почетком четвртог века пре нове ере. Ово је део дуготрајне дебате о истини и лажи.[22] У случају класичних грчких градова-држава, интересовање за аргументацију је такође било подстакнуто активностима реторичара или оратора и софиста, који су користили аргументе да бране или нападају тезу, како у правном, тако и у политичком контексту.[23]

Талесова теорема

Талес

Каже се да је Талес, који се најчешће сматра првим филозофом у грчкој традицији,[24][25] измерио висину пирамида помоћу њихових сенки у тренутку када је његова сопствена сенка била једнака његовој висини. Прича се да је Талес принео жртву славећи откриће Талесове теореме баш као што је Питагора имао Питагорину теорему.[26]

Талес је први познати појединац који је користио дедуктивно закључивање примењено на геометрију, изводећи четири королара из своје теореме, и први познати појединац коме је приписано математичко откриће.[27] Индијски и вавилонски математичари знали су његову теорему за специјалне случајеве пре него што ју је он доказао.[28] Верује се да је Талес научио да је угао уписан у полукруг прав угао током својих путовања у Вавилон.[29]

Питагора

Доказ Питагорине теореме у Еуклидовим Елементима

Пре 520. п. н. е, на једној од својих посета Египту или Грчкој, Питагора је можда срео око 54 године старијег Талеса.[30] Чини се да је систематско проучавање доказа започело са Питагорином школом (тј. Питагорејцима) крајем шестог века п. н. е.[18] Заиста, Питагорејци, верујући да је све број, први су филозофи који су нагласили форму пре него материју.[31]

Хераклит и Парменид

Списи Хераклита (око 535 – око 475. п. н. е.) били су прво место где је реч логос добила посебну пажњу у античкој грчкој филозофији.[32] Хераклит је сматрао да се све мења и да је све ватра и сукобљене супротности, наизглед уједињене само овим Логосом. Познат је по својим нејасним изрекама. Шаблон:Blockquote

За Парменида се каже да је открио логику.

За разлику од Хераклита, Парменид је сматрао да је све једно и да се ништа не мења. Можда је био дисидентски Питагорејац, не слажући се с тим да Једно (број) производи мноштво.[33] „Икс не постоји” мора увек бити лажно или бесмислено. Оно што постоји ни на који начин не може не постојати. Наша чулна перцепција са својим запажањем настанка и пропадања је у тешкој заблуди. Уместо чулне перцепције, Парменид је заговарао логос као средство за достизање Истине. Назван је проналазачем логике.[34][35]

Шаблон:Blockquote

Зенон из Елеје, Парменидов ученик, имао је идеју о стандардном обрасцу аргументације који се налази у методи доказа познатој као редукција ад апсурдум. Ово је техника извођења очигледно лажног (то јест, „апсурдног”) закључка из претпоставке, чиме се показује да је претпоставка лажна.[36] Стога се Зенон и његов учитељ сматрају првима који су применили вештину логике.[37] Платонов дијалог Парменид приказује Зенона како тврди да је написао књигу бранећи монизам Парменида показујући апсурдне последице претпоставке да постоји плуралитет. Зенон је чувено користио ову методу да развије своје парадоксе у аргументима против кретања. Такво дијалектичко расуђивање је касније постало популарно. Чланови ове школе називани су „дијалектичари” (од грчке речи која значи „расправљати”).

Платон

Шаблон:Blockquote

Мозаик: седам мушкараца стоји испод дрвета
Мозаик Платонове академије

Ниједно од сачуваних дела великог филозофа четвртог века Платона (428–347. п. н. е.) не укључује формалну логику,[38] али укључују важне доприносе пољу филозофске логике. Платон поставља три питања:

  • Шта је то што се исправно може назвати истинитим или лажним?
  • Каква је природа везе између претпоставки ваљаног аргумента и његовог закључка?
  • Каква је природа дефиниције?

Прво питање се поставља у дијалогу Теетет, где Платон поистовећује мисао или мишљење са говором или дискурсом (логос).[39] Друго питање је резултат Платонове теорије идеја. Идеје нису ствари у обичном смислу, нити строго идеје у уму, већ одговарају ономе што су филозофи касније назвали универзалије, наиме апстрактни ентитет заједнички сваком скупу ствари које имају исто име. И у Држави и у Софисту, Платон сугерише да нужна веза између претпоставки ваљаног аргумента и његовог закључка одговара нужној вези између „идеја”.[40] Треће питање се тиче дефиниције. Многи Платонови дијалози баве се трагањем за дефиницијом неког важног појма (правда, истина, Добро), и вероватно је да је Платон био импресиониран значајем дефиниције у математици.[41] Оно што лежи у основи сваке дефиниције је Платонска идеја, заједничка природа присутна у различитим појединачним стварима. Дакле, дефиниција одражава крајњи објекат разумевања и представља основу сваког ваљаног закључивања. Ово је имало велики утицај на Платоновог ученика Аристотела, посебно на Аристотелово поимање суштине ствари.[42]

Аристотел

Шаблон:Главни чланак

Аристотел

Логика Аристотела, а посебно његова теорија силогизма, имала је огроман утицај на историју логике и западне мисли уопште.[43] Аристотел је био први логичар који је покушао систематску анализу логичке синтаксе, именице (или термина), и глагола. Био је први формални логичар, утолико што је демонстрирао принципе расуђивања користећи променљиве да покаже основну логичку форму аргумента.[44] Тражио је односе зависности који карактеришу нужно закључивање, и разликовао је ваљаност ових односа, од истинитости премиса. Први је експлицитно расправљао о принципима непротивречности и искљученог трећег.[45]

Насловна страна књиге, са насловом "Aristotelis Logica", и илустрацијом орла на змији
Аристотелова логика је још увек била утицајна у ренесанси.

Органон

Његова логичка дела, названа Органон, су најранија формална студија логике која је дошла до модерних времена. Иако је тешко одредити датуме, вероватни редослед писања Аристотелових логичких дела је:

Овај дијаграм показује контрадикторне односе између категоричких пропозиција у квадрату опозиције Аристотеловске логике.

Категорије утичу на његово дело Метафизика, које је и само имало дубок утицај на западну мисао; предмет метафизике носи име по њему.

Аристотел је такође развио теорију неформалне логике (тј., теорију логичких грешака), која је представљена у Топици и Софистичким оповргавањима.[45]

О тумачењу садржи свеобухватну обраду појмова опозиције и конверзије; поглавље 7 је извор квадрата опозиције (или логичког квадрата); поглавље 9 садржи почетак модалне логике и чувени аргумент о поморској бици.

Прва аналитика садржи његово излагање силогизма, где су по први пут у историји остварена три важна напретка: употреба променљивих, чисто формални третман и употреба аксиоматског система.

Стоици

Шаблон:Главни Друга велика школа грчке логике је стоичка.[46] Стоичка логика вуче корене од филозофа с краја 5. века п. н. е. Еуклида из Мегаре, ученика Сократа и нешто старијег Платоновог савременика, вероватно следећи традицију Парменида и Зенона. Његови ученици и наследници називани су „Мегаранима”, или „Еристичарима”, а касније „Дијалектичарима”. Два најважнија дијалектичара мегарске школе били су Диодор Крон и Филон, који су били активни крајем 4. века п. н. е.

Камена биста брадатог, озбиљног човека
Хрисип из Сола

Стоици су прихватили мегарску логику и систематизовали је. Најважнији члан школе био је Хрисип (око 278 – око 206. п. н. е.), који је био њен трећи поглавар и који је формализовао велики део стоичке доктрине. Претпоставља се да је написао преко 700 дела, укључујући најмање 300 о логици, од којих готово ниједно није сачувано.[47][48] За разлику од Аристотела, немамо комплетна дела Мегарана или раних стоика, и морамо се углавном ослањати на извештаје (понекад непријатељске) каснијих извора, укључујући истакнуто Диогена Лаертија, Секста Емпирика, Галена, Аула Гелија, Александра из Афродизијаде и Цицерона.[49]

Три значајна доприноса стоичке школе била су (i) њихово објашњење модалитета, (ii) њихова теорија материјалне импликације, и (iii) њихово објашњење значења и истине.[50]

  • Модалитет. Према Аристотелу, Мегарани његовог времена тврдили су да нема разлике између потенције и акта.[51] Диодор Крон је дефинисао могуће као оно што или јесте или ће бити, немогуће као оно што неће бити истинито, а контингентно као оно што или већ јесте, или ће бити лажно.[52] Диодор је такође познат по ономе што је познато као његов главни аргумент, који каже да је сваки пар од следеће 3 пропозиције у контрадикцији са трећом пропозицијом:
  • Све што је прошло је истинито и нужно.
  • Немогуће не следи из могућег.
  • Оно што нити јесте нити ће бити је могуће.
Диодор је користио плаузибилност прве две да докаже да ништа није могуће ако нити јесте нити ће бити истинито.[53] Хрисип је, насупрот томе, порицао другу премису и рекао да немогуће може следити из могућег.[54]
  • Кондиционални искази. Први логичари који су расправљали о кондиционалним исказима били су Диодор и његов ученик Филон из Мегаре. Секст Емпирик три пута помиње дебату између Диодора и Филона. Филон је сматрао да је кондиционал истинит осим ако нема и истинит антецедент и лажан консеквент. Прецизније, нека T0 и T1 буду истинити искази, а F0 и F1 лажни искази; тада је, према Филону, сваки од следећих кондиционала истинит исказ, јер није случај да је консеквент лажан док је антецедент истинит (није случај да се тврди да лажни исказ следи из истинитог):
  • Ако T0, онда T1
  • Ако F0, онда T0
  • Ако F0, онда F1
Следећи кондиционал не испуњава овај захтев, и стога је, према Филону, лажан исказ:
  • Ако T0, онда F0
Заиста, Секст каже: „Према [Филону], постоје три начина на која кондиционал може бити истинит, и један на који може бити лажан.”[55] Филонов критеријум истине је оно што би се данас назвало истиносном функцијском дефиницијом „ако ... онда”; то је дефиниција која се користи у модерној логици.
Насупрот томе, Диодор је дозвољавао ваљаност кондиционала само када антецедентна клаузула никада не би могла довести до неистинитог закључка.[55][56][57]
  • Значење и истина. Најважнија и најупадљивија разлика између мегарско-стоичке логике и аристотеловске логике је у томе што се мегарско-стоичка логика бави пропозицијама, а не терминима, и стога је ближа модерној исказној логици.[58] Стоици су разликовали изговор (phone), који може бити шум, говор (lexis), који је артикулисан али може бити бесмислен, и дискурс (logos), који је смислени исказ. Најоригиналнији део њихове теорије је идеја да је оно што је изражено реченицом, названо лектон, нешто стварно; ово одговара ономе што се сада назива пропозицијом. Секст каже да су, према стоицима, три ствари повезане: оно што означава, оно што је означено, и објекат; на пример, оно што означава је реч Дион, а оно што је означено је оно што Грци разумеју, а варвари не, а објекат је сам Дион.[59]

Средњовековна логика

Логика на Блиском истоку

Шаблон:Main Шаблон:See also

Арапски текст у розе и плавој боји
Текст Авицене, оснивача авиценске логике

Дела Ал-Киндија, Ал-Фарабија, Авицене, Ал-Газалија, Авероеса и других муслиманских логичара била су заснована на аристотеловској логици и била су важна у преношењу идеја античког света на средњовековни Запад.[60] Ал-Фараби (Алфараби) (873–950) био је аристотеловски логичар који је расправљао о темама будућих контингената, броју и односу категорија, односу између логике и граматике, и неаристотеловским облицима закључивања.[61] Ал-Фараби је такође разматрао теорије хипотетичких силогизама и аналогног закључивања, које су биле део стоичке традиције логике, а не аристотеловске.[62]

Мајмонид (1138–1204) написао је Расправу о логици (арапски: Maqala Fi-Sinat Al-Mantiq), позивајући се на Ал-Фарабија као на „другог учитеља”, при чему је први Аристотел.

Ибн Сина (Авицена) (980–1037) био је оснивач авиценске логике, која је заменила аристотеловску логику као доминантни систем логике у исламском свету,[63] и такође је имала важан утицај на западне средњовековне писце као што је Алберт Велики.[64]Шаблон:Rp Авицена је писао о хипотетичком силогизму[65] и о исказном рачуну, који су обоје били део стоичке логичке традиције.[66] Развио је оригиналну „временски модализовану” силогистичку теорију, укључујући темпоралну логику и модалну логику.[61] Такође је користио индуктивну логику, као што су методе слагања, разлике и конкомитантне варијације које су кључне за научни метод.[65] Једна од Авицениних идеја имала је посебно важан утицај на западне логичаре попут Вилијама Окамског: Авиценина реч за значење или појам (ma'na) била је преведена од стране схоластичких логичара као латинско intentio; у средњовековној логици и епистемологији, ово је знак у уму који природно представља ствар.[67] Ово је било кључно за развој Окамовог концептуализма: Универзални термин (нпр., „човек”) не означава ствар која постоји у стварности, већ знак у уму (intentio in intellectu) који представља многе ствари у стварности; Окам цитира Авиценин коментар на Метафизику V у прилог овом гледишту.[68]

Факр ал-Дин ал-Рази (р. 1149) критиковао је Аристотелову „прву фигуру” и формулисао рани систем индуктивне логике, наговештавајући систем индуктивне логике који је развио Џон Стјуарт Мил (1806–1873).[69] Ал-Разијево дело су каснији исламски научници видели као означавање новог правца за исламску логику, ка пост-авиценској логици. Ово је даље разрадио његов студент Афдаладдин ал-Кунаџи (ум. 1249), који је развио облик логике усредсређен на предметну материју концепата и пристанака. Као одговор на ову традицију, Насир ал-Дин ал-Туси (1201–1274) започео је традицију неоавиценске логике која је остала верна Авиценином делу и постојала је као алтернатива доминантнијој пост-авиценској школи током наредних векова.[70]

Илуминативну школу основао је Шахаб ал-Дин Сухраварди (1155–1191), који је развио идеју „одлучујуће нужности”, која се односи на свођење свих модалитета (нужност, могућност, контингенција и немогућност) на један модус нужности.[71] Ибн ал-Нафис (1213–1288) написао је књигу о авиценској логици, која је била коментар Авицениних дела Al-Isharat (Знаци) и Al-Hidayah (Водич).[72] Ибн Тајмија (1263–1328), написао је Ар-Рад 'ала ал-Мантикијин, где се залагао против корисности, мада не и ваљаности, силогизма[73] и у корист индуктивног закључивања.[69] Ибн Тајмија је такође аргументовао против извесности силогистичких аргумената и у корист аналогије; његов аргумент је да концепти засновани на индукцији сами по себи нису извесни већ само вероватни, и стога силогизам заснован на таквим концептима није ништа извеснији од аргумента заснованог на аналогији. Даље је тврдио да је сама индукција заснована на процесу аналогије. Његов модел аналогног закључивања био је заснован на моделу правних аргумената.[74][75] Овај модел аналогије коришћен је у недавном раду Џона Ф. Сове.[75]

Шарх ал-такмил фи'л-мантик коју је написао Мухамед ибн Фајд Аллах ибн Мухамед Амин ал-Шарвани у 15. веку је последње велико арапско дело из логике које је проучавано.[76] Међутим, „хиљаде и хиљаде страница” о логици написано је између 14. и 19. века, мада су историчари проучили само делић текстова написаних током овог периода, те се мало зна о оригиналном раду на исламској логици насталом током овог каснијег периода.[70]

Логика у средњовековној Европи

Горњи леви угао раног штампаног текста, са илуминираним словом S, којим почиње "Sicut dicit philosophus"
Бритонова питања о Старој логици

„Средњовековна логика” (такође позната као „схоластичка логика”) генерално означава облик аристотеловске логике развијен у средњовековној Европи отприлике у периоду 1200–1600.[1] Вековима након што је формулисана стоичка логика, она је била доминантан систем логике у класичном свету. Када је проучавање логике настављено након мрачног века, главни извор био је рад хришћанског филозофа Боеција, који је био упознат са делом Аристотелове логике, али готово нимало са радом стоика.[77] До дванаестог века, једина Аристотелова дела доступна на Западу биле су Категорије, О тумачењу и Боецијев превод Исагоге од Порфирија (коментар на Категорије). Ова дела су била позната као „Стара логика” (Logica Vetus или Ars Vetus). Важно дело у овој традицији била је Logica Ingredientibus Пјера Абелара (1079–1142). Његов директан утицај био је мали,[78] али његов утицај преко ученика као што је Јован од Солсберија био је велики, и његова метода примене ригорозне логичке анализе на теологију обликовала је начин на који се теолошка критика развијала у периоду који је уследио.[79] Доказ за принцип експлозије, такође познат као принцип Псеудо-Скотус, закон према којем се свака пропозиција може доказати из контрадикције (укључујући и њену негацију), први је дао француски логичар из 12. века Вилијам од Соасона.

До раног тринаестог века, преостала дела Аристотеловог Органона, укључујући Прву аналитику, Другу аналитику и Софистичка оповргавања (колективно позната као Logica Nova или „Нова логика”), поново су откривена на Западу.[80] Логички рад до тада био је углавном парафраза или коментар на Аристотелово дело.[81] Период од средине тринаестог до средине четрнаестог века био је један од значајних развоја у логици, посебно у три области које су биле оригиналне, са мало основа у аристотеловској традицији која им је претходила. То су биле:[82]

  • Теорија супозиције. Теорија супозиције бави се начином на који предикати (нпр., 'човек') обухватају домен индивидуа (нпр., сви људи).[83] У пропозицији 'сваки човек је животиња', да ли термин 'човек' обухвата или 'супонира за' људе који постоје само у садашњости, или обухвата и прошле и будуће људе? Може ли термин супонирати за непостојећу индивидуу? Неки медиевисти су тврдили да је ова идеја претеча модерне логике првог реда.[84] „Теорија супозиције са придруженим теоријама copulatio (способност означавања адјективских термина), ampliatio (ширење референцијалног домена), и distributio чини једно од најоригиналнијих достигнућа западне средњовековне логике”.[85]
  • Теорија синкатегоремата. Синкатегоремате су термини неопходни за логику, али који, за разлику од категорематских термина, не означавају сами по себи, већ 'ко-означују' са другим речима. Примери синкатегоремата су 'и', 'не', 'сваки', 'ако', итд.
  • Теорија консеквенци. Консеквенца је хипотетичка, кондиционална пропозиција: две пропозиције повезане терминима 'ако ... онда'. На пример, 'ако човек трчи, онда Бог постоји' (Si homo currit, Deus est).[86] Потпуно развијена теорија консеквенци дата је у Књизи III дела Вилијама Окамског Summa Logicae. Тамо, Окам прави разлику између 'материјалних' и 'формалних' консеквенци, које су отприлике еквивалентне модерној материјалној импликацији и логичкој импликацији. Сличне приказе дају Жан Биридан и Алберт од Саксоније.

Последња велика дела у овој традицији су Логика Џона Појнсота (1589–1644, познатог као Јован од Светог Томе), Метафизичке диспутације Франсиска Суареза (1548–1617) и Logica Demonstrativa Ђованија Ђиролама Сакерија (1667–1733).

Традиционална логика

Традиција уџбеника

Насловна страна, са насловом који почиње "The Artes of Logike and Rethorike, plainlie set foorth in the English tounge, easie to be learned and practised".
Уметност логике (1584) Дадлија Фенера

Традиционална логика генерално означава традицију уџбеника која почиње са делом Логика, или Уметност мишљења Антоана Арноа и Пјера Никола, познатијим као Логика из Порт-Ројала.[87] Објављена 1662. године, била је најутицајније дело о логици после Аристотела до деветнаестог века.[88] Књига представља лабаво картезијанску доктрину (да је пропозиција комбиновање идеја, а не термина, на пример) унутар оквира који је у великој мери изведен из аристотеловске и средњовековне логике термина. Између 1664. и 1700. године, било је осам издања, и књига је после тога имала значајан утицај.[88] Порт-Ројал уводи концепте екстензије и интензије. Приказ пропозиција који Лок даје у Есеју је у суштини онај из Порт-Ројала: „Вербалне пропозиције, које су речи, [су] знаци наших идеја, спојених или раздвојених у афирмативне или негативне реченице. Тако да се пропозиција састоји у спајању или раздвајању ових знакова, према томе да ли се ствари за које они стоје слажу или не слажу.”[89]

Дадли Фенер је помогао у популаризацији рамистичке логике, реакције против Аристотела. Још једно утицајно дело био је Нови органон Франсиса Бејкона, објављен 1620. године. Наслов се преводи као „нови инструмент”. Ово је референца на Аристотелово дело познато као Органон. У овом делу, Бејкон одбацује силогистичку методу Аристотела у корист алтернативне процедуре „која спорим и верним трудом прикупља информације из ствари и уноси их у разумевање”.[90] Ова метода је позната као индуктивно закључивање, метода која полази од емпиријског посматрања и наставља до нижих аксиома или пропозиција; из ових нижих аксиома могу се индуковати општији. На пример, у проналажењу узрока феноменалне природе као што је топлота, треба конструисати три листе:

  • Листа присуства: листа сваке ситуације где се топлота налази.
  • Листа одсуства: листа сваке ситуације која је слична бар једној од оних на листи присуства, осим због недостатка топлоте.
  • Листа варијабилности: листа сваке ситуације где топлота може да варира.

Затим, форма природа (или узрок) топлоте може се дефинисати као оно што је заједничко свакој ситуацији са листе присуства, а што недостаје у свакој ситуацији са листе одсуства, и што варира по степену у свакој ситуацији са листе варијабилности.

Друга дела у традицији уџбеника укључују Logick: Or, the Right Use of Reason (1725) Исака Вотса, Логику (1826) Ричарда Вотлија и Систем логике (1843) Џона Стјуарта Мила. Иако је ово последње било једно од последњих великих дела у овој традицији, Милово гледиште да основи логике леже у интроспекцији[91] утицало је на схватање да се логика најбоље разуме као грана психологије, гледиште које је доминирало наредних педесет година њеног развоја, посебно у Немачкој.[92]

Логика у Хегеловој филозофији

Георг Вилхелм Фридрих Хегел

Г.В.Ф. Хегел је указао на важност логике за свој филозофски систем када је сажео своју обимну Науку логике у краће дело објављено 1817. као први том своје Енциклопедије филозофских наука. „Краћа” или „Енциклопедијска” Логика, како је често називају, излаже низ прелаза који воде од најпразнијих и најапстрактнијих категорија – Хегел почиње са „Чистим бићем” и „Чистим ништа” – до „Апсолута”, категорије која садржи и разрешава све категорије које су јој претходиле. Упркос наслову, Хегелова Логика заправо није допринос науци о ваљаном закључивању. Уместо да изводи закључке о концептима ваљаним закључивањем из премиса, Хегел настоји да покаже да размишљање о једном концепту приморава на размишљање о другом концепту (не може се, тврди он, поседовати концепт „Квалитета” без концепта „Квантитета”); ова принуда, наводно, није ствар индивидуалне психологије, јер настаје готово органски из садржаја самих концепата. Његова сврха је да покаже рационалну структуру „Апсолута” – заправо саме рационалности. Метода којом се мисао покреће од једног концепта ка његовој супротности, а затим ка даљим концептима, позната је као Хегелова дијалектика.

Иако је Хегелова Логика имала мали утицај на главне токове проучавања логике, њен утицај се може видети на другом месту:

Логика и психологија

Између Миловог и Фрегеовог рада протезало се пола века током којег је логика била нашироко третирана као дескриптивна наука, емпиријска студија структуре расуђивања, и стога у суштини као грана психологије.[94] Немачки психолог Вилхелм Вунт, на пример, расправљао је о извођењу „логичког из психолошких закона мишљења”, наглашавајући да је „психолошко мишљење увек свеобухватнији облик мишљења.”[95] Ово гледиште је било широко распрострањено међу немачким филозофима тог периода:

  • Теодор Липс је описао логику као „специфичну дисциплину психологије”.[96]
  • Кристоф фон Сигварт је разумео логичку нужност као утемељену у принуди појединца да мисли на одређени начин.[97]
  • Бено Ердман је тврдио да „логички закони важе само унутар граница нашег мишљења”.[98]

Такво је било доминантно гледиште на логику у годинама након Миловог рада.[99] Овај психолошки приступ логици одбацио је Готлоб Фреге. Такође је био подвргнут опсежној и деструктивној критици Едмунда Хусерла у првом тому његових Logical Investigations (1900), нападу који је описан као „надмоћан”.[100] Хусерл је снажно аргументовао да утемељење логике у психолошким опсервацијама имплицира да све логичке истине остају недоказане, и да су скептицизам и релативизам неизбежне последице.

Такве критике нису одмах искорениле оно што се назива „психологизам”. На пример, амерички филозоф Џосаја Ројс, иако признајући снагу Хусерлове критике, остао је „неспособан да сумња” да ће напредак у психологији бити праћен напретком у логици, и обрнуто.[101]

Настанак модерне логике

Период од четрнаестог века до почетка деветнаестог века у великој мери је био период опадања и занемаривања, и историчари логике га генерално сматрају јаловим.[2] Оживљавање логике догодило се средином деветнаестог века, на почетку револуционарног периода када се ова дисциплина развила у ригорозну и формалистичку науку чији је узор била егзактна метода доказа коришћена у математици. Развој модерне „симболичке” или „математичке” логике током овог периода је најзначајнији у 2000-годишњој историји логике, и вероватно један од најважнијих и најистакнутијих догађаја у људској интелектуалној историји.[4]

Известан број карактеристика разликује модерну логику од старе аристотеловске или традиционалне логике, од којих су најважније следеће:[102] Модерна логика је у основи рачун чија су правила операције одређена само обликом, а не значењем симбола које користи, као у математици. Многи логичари су били импресионирани „успехом” математике, у смислу да није било дуготрајних спорова око неког истински математичког резултата. Ч. С. Пирс је приметио[103] да иако је грешка у процени одређеног интеграла од стране Лапласа довела до грешке у вези са Месечевом орбитом која је трајала скоро 50 година, грешка је, једном уочена, исправљена без икакве озбиљне расправе. Пирс је ово упоредио са спорењима и несигурношћу која окружује традиционалну логику, а посебно расуђивање у метафизици. Тврдио је да би истински „егзактна” логика зависила од математичке, тј. „дијаграмске” или „иконичке” мисли. „Они који следе такве методе ће ... избећи све грешке осим оних које ће бити брзо исправљене чим се једном посумња у њих”. Модерна логика је такође „конструктивна” а не „апстрактивна”; тј. уместо да апстрахује и формализује теореме изведене из обичног језика (или из психолошких интуиција о ваљаности), она конструише теореме формалним методама, а затим тражи интерпретацију у обичном језику. Потпуно је симболичка, што значи да су чак и логичке константе (које су средњовековни логичари називали „синкатегорематама”) и категорички термини изражени симболима.

Модерна логика

Шаблон:See also

Развој модерне логике отприлике се може поделити на пет периода:[104]

Ембрионални период

Лајбниц

Идеја да се закључивање може представити чисто механичким процесом налази се још код Рајмунда Лулија, који је предложио (донекле ексцентричну) методу извођења закључака помоћу система концентричних прстенова. Рад логичара попут Оксфордских калкулатора[106] довео је до методе коришћења слова уместо исписивања логичких прорачуна (calculationes) речима, методе која се користи, на пример, у Logica magna од Павла из Венеције. Триста година након Лулија, енглески филозоф и логичар Томас Хобс је сугерисао да се сва логика и расуђивање могу свести на математичке операције сабирања и одузимања.[107] Иста идеја се налази у раду Лајбница, који је читао и Лулија и Хобса, и који је тврдио да се логика може представити кроз комбинаторни процес или рачун. Али, попут Лулија и Хобса, није успео да развије детаљан или свеобухватан систем, а његов рад на ову тему објављен је тек дуго након његове смрти. Лајбниц каже да су обични језици подложни „безбројним двосмисленостима” и неприкладни за рачун, чији је задатак да разоткрије грешке у закључивању које произилазе из облика и структуре речи;[108] стога је предложио да се идентификује азбука људске мисли која обухвата фундаменталне концепте који се могу комбиновати да би се изразиле сложене идеје,[109] и створи calculus ratiocinator који би све аргументе учинио „опипљивим попут оних математичара, тако да можемо пронаћи своју грешку на први поглед, а када дође до спорова међу особама, можемо једноставно рећи: Хајде да израчунамо.”[110]

Жергон (1816) је рекао да расуђивање не мора да буде о објектима о којима имамо савршено јасне идеје, јер се алгебарске операције могу изводити без икакве идеје о значењу укључених симбола.[111] Болцано је антиципирао фундаменталну идеју модерне теорије доказа када је дефинисао логичку последицу или „изводљивост” у терминима променљивих:[112]

Стога кажем да су пропозиције M, N, O,... изводљиве из пропозиција A, B, C, D,... у односу на променљиве делове i, j,..., ако свака класа идеја чија замена за i, j,... чини све A, B, C, D,... истинитим, такође чини све M, N, O,... истинитим. Повремено, како је уобичајено, рећи ћу да пропозиције M, N, O,... следе, или се могу инферрирати или деривирати, из A, B, C, D,.... Пропозиције A, B, C, D,... назваћу премисама, а M, N, O,... закључцима.

Ово је данас познато као семантичка ваљаност.

Алгебарски период

Џорџ Бул

Модерна логика почиње оним што је познато као „алгебарска школа”, почевши од Була и укључујући Пирса, Џевонса, Шредера и Вена.[113] Њихов циљ је био да развију рачун за формализовање расуђивања у области класа, пропозиција и вероватноћа. Школа почиње Буловим утицајним делом Mathematical Analysis of Logic које се појавило 1847. године, иако му је Де Морган (1847) непосредни претходник.[114] Основна идеја Буловог система је да се алгебарске формуле могу користити за изражавање логичких релација. Ова идеја је пала на памет Булу у тинејџерским годинама, док је радио као помоћник у приватној школи у Линколну.[115] На пример, нека x и y означавају класе, нека симбол = означава да класе имају исте чланове, xy означава класу која садржи све и само чланове x и y и тако даље. Бул их назива елективним симболима, тј. симболима који бирају одређене објекте за разматрање.[116] Израз у коме се користе елективни симболи назива се елективна функција, а једначина чији су чланови елективне функције је елективна једначина.[117] Теорија елективних функција и њиховог „развоја” је у суштини модерна идеја истиносних функција и њиховог изражавања у дизјунктивној нормалној форми.[116]

Булов систем допушта две интерпретације, у логици класа и исказној логици. Бул је правио разлику између „примарних пропозиција” које су предмет силогистичке теорије, и „секундарних пропозиција”, које су предмет исказне логике, и показао како под различитим „интерпретацијама” исти алгебарски систем може представити обе. Пример примарне пропозиције је „Сви становници су или Европљани или Азијати.” Пример секундарне пропозиције је „Или су сви становници Европљани или су сви Азијати.”[118] Оне се лако разликују у модерној предикатској логици, где је такође могуће показати да прва следи из друге, али је значајан недостатак што не постоји начин да се ово представи у Буловом систему.[119]

У својој Симболичкој логици (1881), Џон Вен је користио дијаграме преклапајућих области да изрази Булове релације између класа или истиносних услова пропозиција. Године 1869. Џевонс је схватио да се Булове методе могу механизовати и конструисао је „логичку машину” коју је показао Краљевском друштву следеће године.[116] Године 1885. Алан Маркванд је предложио електричну верзију машине која и данас постоји (слика у библиотеци Фајерстон).

Чарлс Сандерс Пирс

Недостатке у Буловом систему (као што је употреба слова v за егзистенцијалне пропозиције) отклонили су његови следбеници. Џевонс је објавио Чисту логику, или Логику квалитета одвојену од квантитета 1864. године, где је предложио симбол за ексклузивно или, што је омогућило да се Булов систем значајно поједностави.[120] Ово је корисно искористио Шредер када је излагао теореме у паралелним колонама у својим Предавањима (1890–1905). Пирс (1880) је показао како се све Булове елективне функције могу изразити употребом једне примитивне бинарне операције, „ни ... ни ...” и исто тако „ни оба ... и ...”,[121] међутим, као и многе Пирсове иновације, ово је остало непознато или незапажено све док га Шефер није поново открио 1913.[122] Буловом раном раду такође недостаје идеја логичке суме која потиче од Пирса (1867), Шредера (1877) и Џевонса (1890),[123] и концепт укључења, који је први предложио Жергон (1816) и јасно артикулисао Пирс (1870).

Колорни дијаграм са 4 скупа који се преклапају
Булови скупови

Успех Буловог алгебарског система сугерисао је да сва логика мора бити подобна за алгебарско представљање, и било је покушаја да се логика релација изрази у таквом облику, од којих је најамбициозније било Шредерово монументално дело Vorlesungen über die Algebra der Logik („Предавања о алгебри логике”, том iii 1895), иако је оригиналну идеју опет антиципирао Пирс.[124]

Булово непоколебљиво прихватање Аристотелове логике нагласио је историчар логике Џон Коркоран у приступачном уводу у Законе мишљења.[125] Коркоран је такође написао поређење Прве аналитике и Закона мишљења тачку по тачку.[126] Према Коркорану, Бул је потпуно прихватио и подржао Аристотелову логику. Булови циљеви су били да „иде испод, преко и изван” Аристотелове логике тако што ће 1) обезбедити јој математичке основе које укључују једначине, 2) проширити класу проблема којима се може бавити—са процене ваљаности на решавање једначина—и 3) проширити опсег примена којима се може бавити—нпр. од пропозиција са само два термина на оне са произвољно много.

Конкретније, Бул се слагао са оним што је Аристотел рекао; Булова 'неслагања', ако се тако могу назвати, тичу се онога што Аристотел није рекао. Прво, у области основа, Бул је свео четири облика пропозиција аристотеловске логике на формуле у облику једначина—сама по себи револуционарна идеја. Друго, у области проблема логике, Булово додавање решавања једначина логици—још једна револуционарна идеја—укључивало је Булову доктрину да Аристотелова правила закључивања („савршени силогизми”) морају бити допуњена правилима за решавање једначина. Треће, у области примена, Булов систем је могао да обрађује пропозиције и аргументе са више термина, док је Аристотел могао да обрађује само субјекатско-предикатске пропозиције и аргументе са два термина. На пример, Аристотелов систем није могао да изведе „Ниједан четвороугао који је квадрат није правоугаоник који је ромб” из „Ниједан квадрат који је четвороугао није ромб који је правоугаоник” или из „Ниједан ромб који је правоугаоник није квадрат који је четвороугао”.

Логицистички период

Готлоб Фреге

После Була, следећи велики напредак направио је немачки математичар Готлоб Фреге. Фрегеов циљ је био програм логицизма, тј. доказивање да је аритметика идентична са логиком.[127] Фреге је отишао много даље од било ког свог претходника у свом ригорозном и формалном приступу логици, а његов рачун или појмовно писмо је важно.[127] Фреге је такође покушао да покаже да се концепт броја може дефинисати чисто логичким средствима, тако да (ако је био у праву) логика укључује аритметику и све гране математике које се могу свести на аритметику. Није био први писац који је то сугерисао. У свом пионирском делу Шаблон:Lang (Основи аритметике), одељци 15–17, он признаје напоре Лајбница, Џ. С. Мила као и Џевонса, цитирајући тврдњу овог другог да је „алгебра високо развијена логика, а број само логичка дискриминација.”[128]

Фрегеово прво дело, Begriffsschrift („појмовно писмо”) је ригорозно аксиоматизовани систем исказне логике, ослањајући се на само два везника (негацију и кондиционал), два правила закључивања (modus ponens и супституцију) и шест аксиома. Фреге је говорио о „потпуности” овог система, али то није могао да докаже.[129] Најзначајнија иновација, међутим, било је његово објашњење квантификатора у терминима математичких функција. Традиционална логика сматра реченицу „Цезар је човек” фундаментално истог облика као „сви људи су смртни”. Реченице са субјектом властитог имена сматране су универзалним по карактеру, интерпретабилним као „сваки Цезар је човек”.[130] На самом почетку Фреге напушта традиционалне „концепте субјекат и предикат”, замењујући их аргументом и функцијом респективно, за које верује да ће „издржати тест времена”. Затим каже да је „лако видети како посматрање садржаја као функције аргумента доводи до формирања концепата. Осим тога, демонстрација везе између значења речи ако, и, не, или, постоји, неки, сви, и тако даље, заслужује пажњу”.[131] Фреге је тврдио да квантификаторски израз „сви људи” нема исти логички или семантички облик као „сви људи”, и да је универзална пропозиција „свако А је B” сложена пропозиција која укључује две функције, наиме ' – је А' и ' – је B' такве да оно што задовољава прву, задовољава и другу. У модерној нотацији, ово би се изразило као

∀x(A(x)→B(x))

На српском, „за свако x, ако Ax онда Bx”. Дакле, само сингуларне пропозиције су субјекатско-предикатске форме, и оне су несводиво сингуларне, тј. нису сводиве на општу пропозицију. Универзалне и партикуларне пропозиције, насупрот томе, уопште нису једноставне субјекатско-предикатске форме. Када би „сви сисари” били логички субјекат реченице „сви сисари су становници копна”, онда бисмо да негирамо целу реченицу морали да негирамо предикат и добијемо „сви сисари нису становници копна”. Али то није случај.[132] Ова функционална анализа реченица обичног језика касније је имала велики утицај на филозофију и лингвистику.

То значи да се у Фрегеовом рачуну, Булове „примарне” пропозиције могу представити на другачији начин од „секундарних” пропозиција. „Сви становници су или мушкарци или жене” је

Права линија са кривином; текст "x" изнад кривине; текст "F(x)" десно од линије.
Фрегеово „Појмовно писмо”
∀x(I(x)→(M(x)∨W(x)))

док је „Сви становници су мушкарци или сви становници су жене”

∀x(I(x)→M(x))∨∀x(I(x)→W(x))

Као што је Фреге приметио у критици Буловог рачуна:

„Права разлика је у томе што ја избегавам [Булову] поделу на два дела ... и дајем хомогену презентацију целине. Код Була два дела теку један поред другог, тако да је један као слика у огледалу другог, али управо из тог разлога не стоји у органској вези с њим.”[133]

Осим што је обезбедио јединствен и свеобухватан систем логике, Фрегеов рачун је такође разрешио древни проблем вишеструке општости. Двосмисленост израза „свака девојка је пољубила дечака” тешко је изразити у традиционалној логици, али Фрегеова логика то решава различитим опсегом квантификатора. Тако

∀x(G(x)→∃y(B(y)∧K(x,y)))
Пеано

значи да свакој девојци одговара неки дечак (било који) кога је девојка пољубила. Али

∃x(B(x)∧∀y(G(y)→K(y,x)))

значи да постоји неки одређени дечак кога је свака девојка пољубила. Без овог средства, пројекат логицизма био би сумњив или немогућ. Користећи га, Фреге је дао дефиницију предачке релације, релације један-према-више и математичке индукције.[134]

Ернст Цермело

Овај период се преклапа са радом онога што је познато као „математичка школа”, која је укључивала Дедекинда, Паша, Пеана, Хилберта, Цермела, Хантингтона, Веблена и Хејтинга. Њихов циљ је био аксиоматизација грана математике попут геометрије, аритметике, анализе и теорије скупова. Најпознатији је био Хилбертов програм, који је настојао да утемељи целокупну математику на коначном скупу аксиома, доказујући њену конзистентност „финитистичким” средствима и обезбеђујући процедуру која би одлучивала о истинитости или лажности било ког математичког исказа. Стандардна аксиоматизација природних бројева названа је Пеанови аксиоми истоимено. Пеано је одржавао јасну разлику између математичких и логичких симбола. Иако није био упознат са Фрегеовим радом, независно је поново створио његов логички апарат заснован на раду Була и Шредера.[135]

Логицистички пројекат је претрпео готово фаталан ударац открићем парадокса 1901. године од стране Бертрана Расела. Ово је показало да Фрегеова наивна теорија скупова води у контрадикцију. Фрегеова теорија је садржала аксиом да за било који формални критеријум, постоји скуп свих објеката који испуњавају тај критеријум. Расел је показао да би скуп који садржи тачно оне скупове који нису чланови сами себе противречио сопственој дефиницији (ако није члан самог себе, онда је члан самог себе, а ако је члан самог себе, онда није).[136] Ова контрадикција је сада позната као Раселов парадокс. Један важан метод решавања овог парадокса предложио је Ернст Цермело.[137] Цермело теорија скупова била је прва аксиоматска теорија скупова. Развијена је у данас канонску Цермело-Френкел теорију скупова (ZF). Раселов парадокс симболички је следећи:

Нека R={x∣x∉x}, тада R∈R⟺R∉R

Монументално дело Principia Mathematica, трoтомно дело о основама математике, које су написали Расел и Алфред Норт Вајтхед и објављено 1910–1913, такође је укључивало покушај решавања парадокса, помоћу разрађене теорије типова: скуп елемената је различитог типа од сваког његовог елемента (скуп није елемент; један елемент није скуп) и не може се говорити о „скупу свих скупова”. Принципија је био покушај да се све математичке истине изведу из добро дефинисаног скупа аксиома и правила закључивања у симболичкој логици.

Метаматематички период

Курт Гедел

Имена Гедела и Тарског доминирају 1930-им,[138] кључним периодом у развоју метаматематике—проучавања математике коришћењем математичких метода за продукцију метатеорија, или математичких теорија о другим математичким теоријама. Рана истраживања у метаматематици била су вођена Хилбертовим програмом. Рад на метаматематици кулминирао је у раду Гедела, који је 1929. показао да је дата реченица првог реда изводљива ако и само ако је логички валидна—тј. истинита је у свакој структури за њен језик. Ово је познато као Геделова теорема о потпуности. Годину дана касније, доказао је две важне теореме, које су показале да је Хилбертов програм неостварив у свом оригиналном облику. Прва је да ниједан конзистентан систем аксиома чије теореме могу бити наведене неком ефективном процедуром попут алгоритма или компјутерског програма није способан да докаже све чињенице о природним бројевима. За сваки такав систем, увек ће постојати искази о природним бројевима који су тачни, али недоказиви унутар система. Друга је да ако је такав систем такође способан да докаже извесне основне чињенице о природним бројевима, онда систем не може доказати конзистентност самог система. Ова два резултата позната су као Геделове теореме о непотпуности, или једноставно Геделова теорема. Касније током те деценије, Гедел је развио концепт скуповно-теоријске конструктибилности, као део свог доказа да су аксиом избора и хипотеза континуума конзистентни са Цермело-Френкел теоријом скупова. У теорији доказа, Герхард Генцен је развио природну дедукцију и секвентни рачун. Први покушава да моделира логичко расуђивање онако како се 'природно' јавља у пракси и најлакше се примењује на интуиционистичку логику, док је други осмишљен да разјасни извођење логичких доказа у било ком формалном систему. Од Генценовог рада, природна дедукција и секвентни рачуни су широко примењени у пољима теорије доказа, математичке логике и рачунарских наука. Генцен је такође доказао теореме нормализације и елиминације пресека за интуиционистичку и класичну логику које су се могле користити за свођење логичких доказа на нормалну форму.[139]

Проћелав човек, са позадином полице за књиге
Алфред Тарски

Алфред Тарски, ученик Лукашевича, најпознатији је по својој дефиницији истине и логичке последице, и семантичком концепту логичког задовољења. Године 1933, објавио је (на пољском) Појам истине у формализованим језицима, у коме је предложио своју семантичку теорију истине: реченица као што је „снег је бео” истинита је ако и само ако је снег бео. Тарскова теорија је раздвојила метајезик, који износи изјаву о истини, од објект-језика, који садржи реченицу чија се истина тврди, и дала је кореспонденцију (Т-шема) између фраза у објект-језику и елемената интерпретације. Тарсков приступ тешкој идеји објашњавања истине био је трајно утицајан у логици и филозофији, посебно у развоју теорије модела.[140] Тарски је такође произвео важан рад о методологији дедуктивних система, и о фундаменталним принципима као што су потпуност, одлучивост, конзистентност и дефинабилност. Према Анити Феферман, Тарски је „променио лице логике у двадесетом веку”.[138]

Алонзо Черч и Алан Тјуринг предложили су формалне моделе израчунљивости, дајући независна негативна решења за Хилбертов Entscheidungsproblem 1936, односно 1937. године. Entscheidungsproblem је тражио процедуру која би, за било који дати формални математички исказ, алгоритамски одредила да ли је тај исказ истинит. Черч и Тјуринг су доказали да таква процедура не постоји; Тјурингов рад је увео халтинг проблем као кључни пример математичког проблема без алгоритамског решења.

Черчов систем за рачунање развио се у модерни λ-рачун, док је Тјурингова машина постала стандардни модел за општи рачунарски уређај. Убрзо се показало да су многи други предложени модели израчунавања еквивалентни по снази онима које су предложили Черч и Тјуринг. Ови резултати довели су до Черч-Тјурингове тезе да сваки детерминистички алгоритам који може извршити човек може извршити и Тјурингова машина. Черч је доказао додатне резултате неодлучивости, показавши да су и Пеанова аритметика и логика првог реда неодлучиве. Каснији рад Емила Поста и Стивена Кола Клинија током 1940-их проширио је обим теорије израчунљивости и увео концепт степена нерешивости.

Резултати првих неколико деценија двадесетог века такође су имали утицај на аналитичку филозофију и филозофску логику, нарочито од 1950-их па надаље, у предметима као што су модална логика, темпорална логика, деонтичка логика и релевантна логика.

Логика после Другог светског рата

Човек са брадом и сламнатим шеширом на плажи
Сол Крипке

После Другог светског рата, математичка логика се разгранала у четири међусобно повезана, али одвојена подручја истраживања: теорија модела, теорија доказа, теорија израчунљивости и теорија скупова.[141]

У теорији скупова, метода форсинга револуционирала је поље обезбеђујући робусну методу за конструисање модела и добијање резултата независности. Пол Коен је увео ову методу 1963. да докаже независност хипотезе континуума и аксиома избора од Цермело-Френкел теорије скупова.[142] Његова техника, која је упрошћена и проширена убрзо након увођења, од тада се примењује на многе друге проблеме у свим областима математичке логике.

Теорија израчунљивости вуче корене из рада Тјуринга, Черча, Клинија и Поста током 1930-их и 40-их. Развила се у студију апстрактне израчунљивости, која је постала позната као теорија рекурзије.[143] Приоритетна метода, коју су независно открили Алберт Мучник и Ричард Фридберг 1950-их, довела је до великих напредака у разумевању степена нерешивости и сродних структура. Истраживање теорије израчунљивости вишег реда показало је њене везе са теоријом скупова. Поља конструктивне анализе и израчунљиве анализе развијена су за проучавање ефективног садржаја класичних математичких теорема; она су заузврат инспирисала програм обрнуте математике. Одвојена грана теорије израчунљивости, теорија сложености израчунавања, такође је окарактерисана у логичким терминима као резултат истраживања дескриптивне сложености.

Теорија модела примењује методе математичке логике за проучавање модела одређених математичких теорија. Алфред Тарски објавио је много пионирског рада у овој области, која носи име по серији радова које је објавио под насловом Прилози теорији модела. Током 1960-их, Абрахам Робинсон је користио технике теорије модела да развије рачун и анализу засновану на инфинитезималима, проблем који је први поставио Лајбниц.

У теорији доказа, однос између класичне математике и интуиционистичке математике разјашњен је помоћу алата као што су метод реализабилности који је изумео Георг Крајзел и Геделова Дијалектика интерпретација. Овај рад је инспирисао савремену област рударења доказа. Кари-Хауардова кореспонденција појавила се као дубока аналогија између логике и рачунања, укључујући кореспонденцију између система природне дедукције и типизованих ламбда рачуна који се користе у рачунарским наукама. Као резултат тога, истраживање ове класе формалних система почело је да се бави и логичким и рачунарским аспектима; ова област истраживања постала је позната као модерна теорија типова. Напредак је такође постигнут у ординалној анализи и проучавању резултата независности у аритметици као што је Париз-Харингтонова теорема.

Ово је такође био период, нарочито 1950-их и касније, када идеје математичке логике почињу да утичу на филозофско мишљење. На пример, временска логика је формализовани систем за представљање и расуђивање о пропозицијама квалификованим у смислу времена. Филозоф Артур Прајор одиграо је значајну улогу у њеном развоју 1960-их. Модалне логике проширују обим формалне логике да укључе елементе модалитета (на пример, могућност и нужност). Идеје Сола Крипкеа, посебно о могућим световима, и формални систем који се сада назива Крипкеова семантика имали су дубок утицај на аналитичку филозофију.[144] Његово најпознатије и најутицајније дело је Именовање и нужност (1980).[145] Деонтичке логике су блиско повезане са модалним логикама: оне покушавају да захвате логичке карактеристике обавезе, дозволе и сродних концепата. Иако је неке основне новине синкретишући математичку и филозофску логику показао Болцано раних 1800-их, био је Ернст Мали, ученик Алексијуса Мајнонга, тај који је предложио први формални деонтички систем у својим Grundgesetze des Sollens, заснован на синтакси Вајтхедовог и Раселовог исказног рачуна.

Још један логички систем настао после Другог светског рата била је фази логика азербејџанског математичара Лотфија Аскера Задеа 1965. године.

Види још

Напомене

Шаблон:Напомене

Референце

Шаблон:Референце

Литература

Шаблон:Литература

Примарни извори
Секундарни извори

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Логика Шаблон:Историја науке Шаблон:Историја математике

Шаблон:Подножје

  1. ↑ 1,0 1,1 Boehner p. xiv
  2. ↑ 2,0 2,1 Oxford Companion p. 498; Bochenski, Part I Introduction, passim
  3. ↑ Шаблон:Cite book
  4. ↑ 4,0 4,1 Oxford Companion Шаблон:P.
  5. ↑ Шаблон:Harvnb
  6. ↑ Шаблон:Cite book
  7. ↑ Шаблон:Cite book
  8. ↑ Шаблон:Cite book
  9. ↑ Шаблон:Citation
  10. ↑ Шаблон:Citation (1.2.11). Motilal Banarsidass.
  11. ↑ Bochenski p. 417 и passim
  12. ↑ Шаблон:Cite journal
  13. ↑ Шаблон:Harvnb
  14. ↑ Шаблон:Cite book
  15. ↑ Шаблон:Harvnb
  16. ↑ Matilal, 17
  17. ↑ Шаблон:Harvnb
  18. ↑ 18,0 18,1 18,2 18,3 Шаблон:Harvnb
  19. ↑ H. F. J. Horstmanshoff, Marten Stol, Cornelis Tilburg Шаблон:Cite book. Brill Publishers, .
  20. ↑ D. Brown Шаблон:Cite book, .
  21. ↑ Heath, Mathematics in Aristotle, цитирано у Kneale, Шаблон:P.
  22. ↑ Шаблон:Harvnb
  23. ↑ Шаблон:Cite web
  24. ↑ Aristotle, Metaphysics Alpha, 983b18.
  25. ↑ Шаблон:Cite book
  26. ↑ T. Patronis & D. Patsopoulos Шаблон:Cite book
  27. ↑ Шаблон:Harv
  28. ↑ Шаблон:Cite book. UNESCO, Volume 3,
  29. ↑ Boyer, Carl B. и Merzbach, Uta C. Шаблон:Cite book. John Wiley and Sons, Chapter IV.
  30. ↑ C. B. Boyer (1968)
  31. ↑ Шаблон:Cite book
  32. ↑ Шаблон:Cite book
  33. ↑ Шаблон:Cite book
  34. ↑ Шаблон:Cite book
  35. ↑ Шаблон:Cite book
  36. ↑ Шаблон:Harvnb
  37. ↑ Шаблон:Cite web
  38. ↑ Шаблон:Harvnb
  39. ↑ "формирање мишљења је говор, а мишљење је говор који се не води са неким другим или наглас, већ у тишини са самим собом" Теетет 189E–190A
  40. ↑ Kneale p. 20. На пример, доказ дат у Менону да је квадрат над дијагоналом двоструке површине оригиналног квадрата вероватно укључује идеје квадрата и троугла, и нужну релацију међу њима
  41. ↑ Шаблон:Harvnb
  42. ↑ Zalta, Edward N. "Aristotle's Logic". Stanford University, 18. 3. 2000. Retrieved 13. 3. 2010.
  43. ↑ See e.g. Aristotle's logic, Stanford Encyclopedia of Philosophy
  44. ↑ Шаблон:Cite book
  45. ↑ 45,0 45,1 Шаблон:Harvnb
  46. ↑ "Током касне антике разликовале су се две велике школе логике, перипатетичка која је потицала од Аристотела, и стоичка коју је развио Хрисип из учења Мегараца" – Kneale Шаблон:P.
  47. ↑ Oxford Companion, чланак "Chrysippus", Шаблон:P.
  48. ↑ [2] Stanford Encyclopedia of Philosophy: Susanne Bobzien, Ancient Logic
  49. ↑ K. Hülser, Die Fragmente zur Dialektik der Stoiker, 4 vols, Stuttgart 1986–1987
  50. ↑ Kneale 117–158
  51. ↑ Metaphysics Eta 3, 1046b 29
  52. ↑ Boethius, Commentary on the Perihermenias, Meiser Шаблон:P.
  53. ↑ Epictetus, Dissertationes ed. Schenkel ii. 19. I.
  54. ↑ Шаблон:Harvnb
  55. ↑ 55,0 55,1 Sextus Empiricus, Adv. Math. viii, Section 113
  56. ↑ Sextus Empiricus, Hypotyp. ii. 110, comp.
  57. ↑ Cicero, Academica, ii. 47, de Fato, 6.
  58. ↑ See e.g. Lukasiewicz Шаблон:P.
  59. ↑ Sextus Bk viii., Sections 11, 12
  60. ↑ See e.g. Routledge Encyclopedia of Philosophy Online Version 2.0 Шаблон:Webarchive, чланак 'Islamic philosophy'
  61. ↑ 61,0 61,1 History of logic: Arabic logic, Encyclopædia Britannica.
  62. ↑ Шаблон:Cite journal [726]. Шаблон:Cite book
  63. ↑ Шаблон:Cite encyclopedia
  64. ↑ Richard F. Washell (1973), Шаблон:Cite journal (3),
  65. ↑ 65,0 65,1 Шаблон:Cite book. Oxford University Press, .
  66. ↑ Шаблон:Cite book. Routledge, .
  67. ↑ Шаблон:Harvnb
  68. ↑ Kneale: p. 266; Ockham: Summa Logicae i. 14; Avicenna: Avicennae Opera Venice 1508 f87rb
  69. ↑ 69,0 69,1 Muhammad Iqbal, The Reconstruction of Religious Thought in Islam, "The Spirit of Muslim Culture" (cf. [3] and [4] Шаблон:Wayback)
  70. ↑ 70,0 70,1 Шаблон:Cite encyclopedia
  71. ↑ Lotfollah Nabavi, Sohrevardi's Theory of Decisive Necessity and kripke's QSS System Шаблон:Webarchive, Journal of Faculty of Literature and Human Sciences.
  72. ↑ Abu Shadi Al-Roubi (1982), "Ibn Al-Nafis as a philosopher", Symposium on Ibn al-Nafis, Second International Conference on Islamic Medicine: Islamic Medical Organization, Kuwait (cf. Ibn al-Nafis As a Philosopher Шаблон:Webarchive, Encyclopedia of Islamic World).
  73. ↑ See pp. 253–254 of Шаблон:Cite book
  74. ↑ Шаблон:Cite journal
  75. ↑ 75,0 75,1 Шаблон:Cite conference.
  76. ↑ Nicholas Rescher and Arnold vander Nat, "The Arabic Theory of Temporal Modal Syllogistic", in George Fadlo Hourani Шаблон:Cite book. State University of New York Press, .
  77. ↑ Шаблон:Harvnb
  78. ↑ Stephen Dumont, чланак "Peter Abelard" у Gracia и Noone Шаблон:P.
  79. ↑ Шаблон:Harvnb
  80. ↑ See e.g. Kneale Шаблон:P.
  81. ↑ Шаблон:Harvnb
  82. ↑ Шаблон:Harvnb
  83. ↑ Шаблон:Harvnb
  84. ↑ Шаблон:Harvnb
  85. ↑ Ebbesen 1981
  86. ↑ Шаблон:Harvnb
  87. ↑ Oxford Companion p. 504, чланак "Traditional logic"
  88. ↑ 88,0 88,1 Buroker xxiii
  89. ↑ (Locke, An Essay Concerning Human Understanding, IV. 5. 6)
  90. ↑ Farrington, 1964, 89
  91. ↑ N. Abbagnano, Шаблон:Cite book. MacMillan,
  92. ↑ О немачкој литератури у овом периоду, Роберт Адамсон је написао: „Логике роје се као пчеле у пролеће...”; Robert Adamson, A Short History of Logic, Wm. Blackwood & Sons, 1911, страна 242
  93. ↑ Carl von Prantl (1855–1867), Geschichte von Logik in Abendland, Leipzig: S. Hirzl, анастатички прештампано 1997, Hildesheim: Georg Olds.
  94. ↑ See e.g. Psychologism, Stanford Encyclopedia of Philosophy
  95. ↑ Wilhelm Wundt, Logik (1880–1883); цитирано у Edmund Husserl, Logical Investigations, translated J. N. Findlay, Routledge, 2008, Volume 1, Шаблон:P.
  96. ↑ Theodor Lipps, Grundzüge der Logik (1893); цитирано у Edmund Husserl, Logical Investigations, translated J. N. Findlay, Routledge, 2008, Volume 1, Шаблон:P.
  97. ↑ Christoph von Sigwart, Logik (1873–1878); цитирано у Edmund Husserl, Logical Investigations, translated J. N. Findlay, Routledge, 2008, Volume 1, Шаблон:P.
  98. ↑ Benno Erdmann, Logik (1892); цитирано у Edmund Husserl, Logical Investigations, translated J. N. Findlay, Routledge, 2008, Volume 1, Шаблон:P.
  99. ↑ Dermot Moran, "Introduction"; Edmund Husserl, Logical Investigations, translated J. N. Findlay, Routledge, 2008, Volume 1, p. xxi
  100. ↑ Michael Dummett, "Preface"; Edmund Husserl, Logical Investigations, translated J. N. Findlay, Routledge, 2008, Volume 1, p. xvii
  101. ↑ Josiah Royce, "Recent Logical Enquiries and their Psychological Bearings" (1902) у John J. McDermott (ed) Шаблон:Citation Volume 2, Fordham University Press
  102. ↑ Шаблон:Harvnb
  103. ↑ Peirce 1896
  104. ↑ See Bochenski Шаблон:P.
  105. ↑ Oxford Companion Шаблон:P.
  106. ↑ Edith Sylla (1999), "Oxford Calculators", у The Cambridge Dictionary of Philosophy, Cambridge, Cambridgeshire: Cambridge.
  107. ↑ El. philos. sect. I de corp 1.1.2.
  108. ↑ Шаблон:Harvnb
  109. ↑ Rutherford, Donald, 1995, "Philosophy and language" у Jolley, N., ed., The Cambridge Companion to Leibniz. Cambridge University Press.
  110. ↑ Wiener, Philip, 1951. Leibniz: Selections. Scribner.
  111. ↑ Essai de dialectique rationelle, 211n, цитирано у Bochenski Шаблон:P.
  112. ↑ Шаблон:Cite book
  113. ↑ See e.g. Bochenski p. 296 и passim
  114. ↑ Пре објављивања, писао је Де Моргану, који је управо завршавао своје дело Formal Logic. Де Морган је предложио да прво објаве, и тако су се две књиге појавиле истовремено, можда чак и стигле у књижаре истог дана. cf. Kneale Шаблон:P.
  115. ↑ Шаблон:Harvnb
  116. ↑ 116,0 116,1 116,2 Шаблон:Harvnb
  117. ↑ Шаблон:Harvnb
  118. ↑ Шаблон:Harvnb
  119. ↑ Шаблон:Harvnb
  120. ↑ Шаблон:Harvnb
  121. ↑ Peirce, "A Boolian Algebra with One Constant", 1880 MS, Collected Papers v. 4, параграфи 12–20, прештампано Writings v. 4, pp. 218–221. Google Preview.
  122. ↑ Trans. Amer. Math. Soc., xiv (1913), pp. 481–488. Ово је сада познато као Шеферова операција
  123. ↑ Bochenski 296
  124. ↑ See CP III
  125. ↑ George Boole. 1854/2003. The Laws of Thought, факсимил издања из 1854, са уводом J. Corcoran. Buffalo: Prometheus Books (2003). Приказао James van Evra у Philosophy in Review. 24 (2004) 167–169.
  126. ↑ JOHN CORCORAN, Aristotle's Prior Analytics and Boole's Laws of Thought, History and Philosophy of Logic, vol. 24 Шаблон:Page
  127. ↑ 127,0 127,1 Шаблон:Harvnb
  128. ↑ Jevons, The Principles of Science, London 1879, p. 156, цитирано у Grundlagen 15
  129. ↑ Beaney p. 10 – потпуност Фрегеовог система је на крају доказао Јан Лукашевич 1934.
  130. ↑ Види на пример аргумент средњовековног логичара Вилијама Окамског да су сингуларне пропозиције универзалне, у Summa Logicae III. 8 (??)
  131. ↑ Шаблон:Harvnb у Шаблон:Harvnb
  132. ↑ "On concept and object" p. 198;Шаблон:Harvnb
  133. ↑ BLC p. 14, цитирано у Beaney Шаблон:P.
  134. ↑ See e.g. The Internet Encyclopedia of Philosophy, чланак "Frege"
  135. ↑ Шаблон:Harvnb
  136. ↑ See e.g. Potter 2004
  137. ↑ Zermelo 1908
  138. ↑ 138,0 138,1 Шаблон:Harvnb
  139. ↑ Шаблон:Cite book
  140. ↑ Feferman и Feferman 2004, p. 122, расправљају о "The Impact of Tarski's Theory of Truth".
  141. ↑ See e.g. Barwise, Handbook of Mathematical Logic
  142. ↑ Шаблон:Cite journal
  143. ↑ Многи од оснивачких радова сакупљени су у The Undecidable (1965) уредника Мартина Дејвиса
  144. ↑ Jerry Fodor, "Water's water everywhere", London Review of Books, 21 October 2004
  145. ↑ See Philosophical Analysis in the Twentieth Century: Volume 2: The Age of Meaning, Scott Soames: "Naming and Necessity is among the most important works ever, ranking with the classical work of Frege in the late nineteenth century, and of Russell, Tarski and Wittgenstein in the first half of the twentieth century". Цитирано у Byrne, Alex and Hall, Ned. 2004. 'Necessary Truths'. Boston Review October/November 2004
Преузето са „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Историја_логике&oldid=7546”