Бета-функција

У математици, бета-функција, позната и као Ојлеров интеграл прве врсте, је специјална функција два комплексна аргумента, дефинисана за

$\mathrm{\Re }(x),\mathrm{\Re }(y)>0$

интегралом

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt.$

Доказује се да се бета-функција може изразити у зависности од гама-функције као

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)},$

одакле се даље изводе сва њена својства. Посебно, за природне бројеве m и n je

$\frac{1}{\mathrm{B}(m,n)}=\frac{mn}{m+n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{m}),$

тако да се може рећи да бета-функција уопштава биномне коефицијенте. Горња основна релација даје и аналитичко продужење бета-функције до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве x и y, осим полова кад год је један од бројева x, y, или

$x+y$

непозитиван цео број.

Бета-функција је очигледно симетрична, односно

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$

. Друга важна својства су тригонометријски облик

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^{2x-1}\theta {\sin }^{2y-1}\theta d\theta$

и алтернативни интегрални облик

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt.$

Као и биномни коефицијенти, и бета-функција задовољава низ рекурентних једнакости, на пример $\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x+1,y)+\mathrm{B}(x,y+1)$.

Бета-функција је од великог значаја у Математичкој Анализи, Вероватноћи и статистици, Теорији Бројева, Комбинаторици и другим областима Математике, те у Физици, техници и другим областима.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише бета-функција представља адитивну конволуцију два мултипликативна карактера поља реалних бројева $ℝ$. На тај начин своју бета-функцију има, на пример, свако нормирано локално поље.

Види још: непотпуна бета-функција.

Доказ релације $\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)/\mathrm{\Gamma }(x+y)$

Према дефиницији гама-функције, имамо

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}{u}^{x-1}du\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-v}{v}^{y-1}dv.$

Овај двоструки–поновљени интеграл по ${ℝ}^{+}$, можемо према Фубинијевој теореми заменити двојним по ${ℝ}^{+}\times {ℝ}^{+}$, у којем затим уводимо смену $w=u+v$. Користећи поново Фубинијеву теорему да заменимо двојни интеграл поновљеним, сада по новим променљивим u и w, добијамо

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-w}(\underset{0}{\overset{w}{\int }}{u}^{x-1}(w-u{)}^{y-1}du)dw,$

Коначно, увођењем смене

$u=wt$

у унутрашњем интегралу, следи

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-w}{w}^{x+y-1}dw\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt=\mathrm{\Gamma }(x+y)\mathrm{B}(x,y).$