Бета-функција

У математици, бета-функција, позната и као Ојлеров интеграл прве врсте, је специјална функција два комплексна аргумента, дефинисана за $\mathrm{\Re }(x),\mathrm{\Re }(y)>0$ интегралом

$\mathrm{B}(x,y)={\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt.$

Доказује се да се бета-функција може изразити у зависности од гама-функције као

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)},$

одакле се даље изводе сва њена својства. Посебно, за природне бројеве m и n je

$\frac{1}{\mathrm{B}(m,n)}=\frac{mn}{m+n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{m}),$

тако да се може рећи да бета-функција уопштава биномне коефицијенте. Горња основна релација даје и аналитичко продужење бета-функције до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве x и y, осим полова кад год је један од бројева x, y, или $x+y$ непозитиван цео број. Бета-функција је очигледно симетрична, односно $\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$. Друга важна својства су тригонометријски облик

$\mathrm{B}(x,y)=2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2x-1}\theta {\sin }^{2y-1}\theta d\theta$

и алтернативни интегрални облик

$\mathrm{B}(x,y)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt.$

Као и биномни коефицијенти, и бета-функција задовољава низ рекурентних једнакости, на пример $\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x+1,y)+\mathrm{B}(x,y+1)$.

Бета-функција је од великог значаја у Математичкој Анализи, Вероватноћи и статистици, Теорији Бројева, Комбинаторици и другим областима Математике, те у Физици, техници и другим областима.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише бета-функција представља адитивну конволуцију два мултипликативна карактера поља реалних бројева $ℝ$. На тај начин своју бета-функцију има, на пример, свако нормирано локално поље.

Види још: непотпуна бета-функција.

Доказ релације $\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)/\mathrm{\Gamma }(x+y)$

Према дефиницији гама-функције, имамо

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u}{u}^{x-1}du{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-v}{v}^{y-1}dv.$

Овај двоструки–поновљени интеграл по ${ℝ}^{+}$, можемо према Фубинијевој теореми заменити двојним по ${ℝ}^{+}\times {ℝ}^{+}$, у којем затим уводимо смену $w=u+v$. Користећи поново Фубинијеву теорему да заменимо двојни интеграл поновљеним, сада по новим променљивим u и w, добијамо

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-w}({\int }_0^w{u}^{x-1}(w-u{)}^{y-1}du)dw,$

Коначно, увођењем смене $u=wt$ у унутрашњем интегралу, следи

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-w}{w}^{x+y-1}dw{\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt=\mathrm{\Gamma }(x+y)\mathrm{B}(x,y).$