Несвојствени интеграл

Несвојствени интеграл представља уопштење одређеног интеграла на неограничене интервале интеграције и неограничене подинтегралне функције.

Дефиниција

Несвојствени интеграл за функцију $f\in R[a,c],\mathrm{\forall }c<b$, ако постоји $\underset{c\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{c}f(x)dx$, је интеграл ${\int }_a^{b}f(x)dx$ по дефиницији једнак том лимесу, ${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{c\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{c}f(x)dx$.

За $f\in R[a,b]$, несвојствени интеграл једнак је Римановом, због непрекидности лимеса.

Врсте интеграла

Разликују се несвојствени интеграли прве и друге врсте.

Несвојствени интеграли прве врсте

Код несвојствених интеграла прве врсте, подинтегрална функција је дефинисана на бесконачном интервалу интеграције. У зависности од интервала интеграције, разликују се три типа несвојствених интеграла са бесконачним интервалом који се дефинишу као граничне вредности, али на различите начине:

• када је интервал интеграције полуоса затворена са леве стране, $[a,+\mathrm{\infty })$:

${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{\beta \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{\beta }f(x)dx$

• када је интервал интеграције полуоса затворена са десне стране, $(-\mathrm{\infty },b]$:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx=\underset{\alpha \to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{\alpha }^{b}f(x)dx$

• када је интервал цела бројевна права, $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{\alpha \to -\mathrm{\infty },\beta \to +\mathrm{\infty },}{lim}{\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)dx,$

где границе интеграцие $\alpha$ и $\beta$ ка бесконачности теже независно.

Несвојствени интеграли друге врсте

Несвојствени интеграли друге врсте су интеграли код којих је интервал интеграције коначан, али подинтегрална функција неограничена у једној тачки која се назива сингуларна тачка. Разликују се три типа несвојствених интеграла другог реда у зависности од положаја сингуларне тачке:

• када је функција дефинисана у десно отвореном интервалу, $[a,b)$, где $\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$:

${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_a^{b-ϵ}f(x)dx$

• када је функција дефинисана у лево отвореном интервалу, $(a,b]$, где $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$:

${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{a+ϵ}^{b}f(x)dx$

• када је функција дефинисана у целом интервалу $[a,b]$, изузев у једној унутрашњој тачки -{c}-, $a<c<b$, у којој је неограничена $\underset{x\to c}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$:

${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_a^{c-ϵ}f(x)dx+\underset{\delta \to 0}{lim}{\int }_{c+\delta }^{b}f(x)dx$

Особине

Преласком на лимес код особина Риманових интеграла, лако се добијају следеће особине несвојствених интеграла:

• ${\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$
• ${\int }_a^b(\lambda f(x))dx=\lambda {\int }_a^{b}f(x)dx,\mathrm{\forall }\lambda \in 𝐑$
• ${\int }_a^b(u^{\prime }(x)v(x))dx=\underset{c\to b^{-}}{lim}(u(x)v(x){|}_a^c)-{\int }_a^b(u(x)v^{\prime }(x))dx$, ако постоји барем један од ова три израза.

Кошијев критеријум за несвојствене интеграле

Интеграл ${\int }_a^{c}f(x)dx$ постоји у несвојственом смислу ⇔ $(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{c}_0\in [a,b])(\mathrm{\forall }{c}_1,c_2>c_0)|{\int }_{c_1}^{c_2}f(x)dx|<ϵ.$ Ово се лако показује из Кошијевог конвергенционог критеријума, где се функција којој се одређује лимес замењује конкретним несвојственим интегралом ${\int }_a^{c}f(x)dx$.

Види још

• Интеграл
• Права вредност интеграла

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation