Клебш-Горданови коефицијенти

Клебш-Горданови коефицијенти са ознаком $⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M ⟩$ или $C_{j_{1} m_{1} j_{2} m_{2}}^{J M}$ користе се у математици и физици да би се за Лијеве групе декомпоновао тензорски производ две иредуцибилне репрезентације. Користе се и приликом сабирања угаоних момената. Именовани су у част немачких математичара Алфреда Клебша и Паула Алберта Гордана.

Дефиниција

Нека Лијева група $G$ има две иредуцибилне репрезентације $D^{(α)}$ и $D^{(β)}$ . Вектори базе у две репрезентације претпоставимо да су $ψ_{μ}^{(α)}$ и $ψ_{ν}^{(β)}$ . Иредуцибилни тензорски оператор представља тензорске компоненте ${\hat{F}}_{χ}^{(k)}$ , које се трансформишу по иредуцибилним репрезентацијама групе, тј. ако задовољавају услов:

{\tilde{\hat{F}}}_{χ}^{(k)} = \sum_{χ^{'}} D_{χ^{'} χ}^{(k)} (g) {\hat{F}}_{χ^{'}}^{(k)} .

Вектори $| {\hat{F}}_{χ}^{(k)} ψ_{ν}^{(β)} ⟩$ , где $χ = 1, 2, \dots, f_{k}; ν = 1, 2, \dots, f_{β}$ образују базу репрезентације од $D^{(k)} \times D^{(β)}$ . У општем случају тај приказ је редуцибилан, па се даде приказати помоћу линеарних комбинација базе иредуцибилих репрезентација. Добија се:

| {\hat{F}}_{χ}^{(k)} ψ_{ν}^{(β)} ⟩ = \sum_{γ ρ} ⟨ k χ, β ν | γ ρ ⟩ {{\hat{F}}^{(k)} ψ^{(β)}}_{ρ}^{γ} .

Тако дани коефицијенти $⟨ k χ, β ν | γ ρ ⟩$ називају се општи Клебш-Горданови коефицијенти групе $G$ .

Оператори угаоних момената

Оператори угаоних момената су аутоадјунгирани оператори, који задовољавају релације комутације:

[j_{k}, j_{l}] = j_{k} j_{l} - j_{l} j_{k} = i ℏ \sum_{m} ε_{k l m} j_{m}, g d e k, l, m \in (x, y, z)

а $ε_{k l m}$ је Леви-Чивита симбол. Три оператора заједно чине векторски оператор: $𝐣 = [j_{x}, j_{y}, j_{z}]$

𝐣^{2} = j_{x}^{2} + j_{y}^{2} + j_{z}^{2} .

је пример Казимировога оператора.

j_{\pm} = j_{x} \pm i j_{y} .

Стања угаоних момената

Из горњих дефиниција добија се да $𝐣^{2}$ комутира са $j_{x}$ , $j_{y}$ and $j_{z}$ :

[𝐣^{2}, j_{k}] = 0 z a k = x, y, z

Када два ермитска оператора комутирају тада постоји заједнички скуп својствених функција. Одаберу ли се $𝐣^{2}$ и $j_{z}$ онда налазимо својствена стања користећи комутационе релације:

\begin{matrix} 𝐣^{2} | j m ⟩ = ℏ^{2} j (j + 1) | j m ⟩ & j = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots \\ j_{z} | j m ⟩ = ℏ m | j m ⟩ & m = - j, - j + 1, \dots, j . \end{matrix}

С друге стране оператори $j_{+}$ и $j_{-}$ мењају $m$ вредности:

j_{\pm} | j m ⟩ = C_{\pm} (j, m) | j m \pm 1 ⟩

C_{\pm} (j, m) = \sqrt{j (j + 1) - m (m \pm 1)} = \sqrt{(j \mp m) (j \pm m + 1)} .

Стања угаоних момената мора да буду ортогоналана и нормализирана:

⟨ j_{1} m_{1} | j_{2} m_{2} ⟩ = δ_{j_{1}, j_{2}} δ_{m_{1}, m_{2}} .

Тензорски производ

Нека $V_{1}$ представља $2 j_{1} + 1$ -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

| j_{1} m_{1} ⟩, m_{1} = - j_{1}, - j_{1} + 1, \dots j_{1}

Други простор $V_{2}$ нека је $2 j_{2} + 1$ -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

| j_{2} m_{2} ⟩, m_{2} = - j_{2}, - j_{2} + 1, \dots j_{2} .

Тензорски производ тих простора $V_{12} \equiv V_{1} \otimes V_{2}$ је $(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1)$ димензионалан простор са базом:

| j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ \equiv | j_{1} m_{1} ⟩ \otimes | j_{2} m_{2} ⟩, m_{1} = - j_{1}, \dots j_{1}, m_{2} = - j_{2}, \dots j_{2} .

Дејство оператора на таквој бази може се дефинисати помоћу:

(j_{i} \otimes 1) | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ \equiv (j_{i} | j_{1} m_{1} ⟩) \otimes | j_{2} m_{2} ⟩

и

(1 \otimes j_{i}) | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ \equiv | j_{1} m_{1} ⟩ \otimes j_{i} | j_{2} m_{2} ⟩ z a i = x, y, z .

Укупни угаони момент се онда може дефинисати са:

J_{i} = j_{i} \otimes 1 + 1 \otimes j_{i} z a i = x, y, z .

Угаони моменти задовољавају комутационе релације:

[J_{k}, J_{l}] = i ℏ ϵ_{k l m} J_{m}, k, l, m \in (x, y, z)

па следи:

\begin{matrix} 𝐉^{2} | (j_{1} j_{2}) J M ⟩ & = ℏ^{2} J (J + 1) | (j_{1} j_{2}) J M ⟩ \\ J_{z} | (j_{1} j_{2}) J M ⟩ & = ℏ M | (j_{1} j_{2}) J M ⟩, z a M = - J, \dots, J . \end{matrix}

Укупни угаони момент треба да задовољава триангуларну релацију:

| j_{1} - j_{2} | \leq J \leq j_{1} + j_{2} .

Укупан број својствених стања једнак је димензији $V_{12}$

\sum_{J = | j_{1} - j_{2} |}^{j_{1} + j_{2}} (2 J + 1) = (2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1) .

Формална дефиниција коефицијената

Стања укупнога угаонога момента могу се развити:

| (j_{1} j_{2}) J M ⟩ = \sum_{m_{1} = - j_{1}}^{j_{1}} \sum_{m_{2} = - j_{2}}^{j_{2}} | j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ⟩ ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M ⟩

а коефицијенти $⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M ⟩$ тога развоја називају се Клебш-Горданови коефицијенти. Уколико на обе стране горњега израза применимо оператор $J_{z} = j_{z} \otimes 1 + 1 \otimes j_{z}$ онда можемо да видимо да су коефицијенти различити од нуле само ако је $M = m_{1} + m_{2} .$

Рекурзије

Уз помоћ оператора $J_{\pm} = j_{\pm} \otimes 1 + 1 \otimes j_{\pm}$ добијамо:

J_{\pm} | (j_{1} j_{2}) J M ⟩ = C_{\pm} (J, M) | (j_{1} j_{2}) J M \pm 1 ⟩ = C_{\pm} (J, M) \sum_{m_{1} m_{2}} | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M \pm 1 ⟩ .

Применимо ли исти оператор на десну страну прве једначине из прошлога поглавља добија се:

\begin{matrix} J_{\pm} & \sum_{m_{1} m_{2}} | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M ⟩ \\ = \sum_{m_{1} m_{2}} [C_{\pm} (j_{1}, m_{1}) | j_{1} m_{1} \pm 1 ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ + C_{\pm} (j_{2}, m_{2}) | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} \pm 1 ⟩] ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M ⟩ \\ = \sum_{m_{1} m_{2}} | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ [C_{\pm} (j_{1}, m_{1} \mp 1) ⟨ j_{1} m_{1} \mp 1 j_{2} m_{2} | J M ⟩ + C_{\pm} (j_{2}, m_{2} \mp 1) ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} \mp 1 | J M ⟩] . \end{matrix}

Комбинујући те резултате добија се рекурзија:

C_{\pm} (J, M) ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M \pm 1 ⟩ = C_{\pm} (j_{1}, m_{1} \mp 1) ⟨ j_{1} m_{1} \mp 1 j_{2} m_{2} | J M ⟩ + C_{\pm} (j_{2}, m_{2} \mp 1) ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} \mp 1 | J M ⟩ .

Узмемо ли $M = J$ добијамо:

0 = C_{+} (j_{1}, m_{1} - 1) ⟨ j_{1} m_{1} - 1 j_{2} m_{2} | J J ⟩ + C_{+} (j_{2}, m_{2} - 1) ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} - 1 | J J ⟩ .

Ортогоналност

\sum_{J = | j_{1} - j_{2} |}^{j_{1} + j_{2}} \sum_{M = - J}^{J} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M ⟩ ⟨ J M | j_{1} {m_{1}}^{'} j_{2} {m_{2}}^{'} ⟩ = ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{1} {m_{1}}^{'} j_{2} {m_{2}}^{'} ⟩ = δ_{m_{1}, {m_{1}}^{'}} δ_{m_{2}, {m_{2}}^{'}}

\sum_{m_{1} m_{2}} ⟨ J M | j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ⟩ ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J^{'} M^{'} ⟩ = ⟨ J M | J^{'} M^{'} ⟩ = δ_{J, J^{'}} δ_{M, M^{'}} .

Експлицитан приказ коефицијената

$⟨ j_{1} j_{2}; m_{1} m_{2} | j_{1} j_{2}; j m ⟩ =$

$δ_{m, m_{1} + m_{2}} \sqrt{\frac{(2 j + 1) (j + j_{1} - j_{2})! (j - j_{1} + j_{2})! (j_{1} + j_{2} - j)!}{(j_{1} + j_{2} + j + 1)!}} \times$

$\sqrt{(j + m)! (j - m)! (j_{1} - m_{1})! (j_{1} + m_{1})! (j_{2} - m_{2})! (j_{2} + m_{2})!} \times$

$\sum_{k} \frac{(- 1)^{k}}{k! (j_{1} + j_{2} - j - k)! (j_{1} - m_{1} - k)! (j_{2} + m_{2} - k)! (j - j_{2} + m_{1} + k)! (j - j_{1} - m_{2} + k)!} .$

Специјални случајеви

За $J = 0$ Клебш-Горданови коефицијенти су:

⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | 00 ⟩ = δ_{j_{1}, j_{2}} δ_{m_{1}, - m_{2}} \frac{(- 1)^{j_{1} - m_{1}}}{\sqrt{2 j_{2} + 1}} .

За $J = j_{1} + j_{2}$ и $M = J$ имамо

⟨ j_{1}, j_{1}; j_{2}, j_{2} | j_{1} + j_{2}, j_{1} + j_{2} ⟩ = 1.

За $j_{1} = j_{2} = J / 2$ и $m_{2} = - m_{1}$ вреди:

⟨ j_{1}, m_{1}; j_{1}, - m_{1} | 2 j_{1}, 0 ⟩ = \frac{(2 j_{1})!^{2}}{(j_{1} - m_{1})! (j_{1} + m_{1})! \sqrt{(4 j_{1})!}} .

За $j_{1} = j_{2} = m_{1} = - m_{2}$ вреди:

⟨ j_{1}, j_{1}; j_{1}, - j_{1} | J, 0 ⟩ = (2 j_{1})! \sqrt{\frac{2 J + 1}{(J + 2 j_{1} + 1)! (2 j_{1} - J)!}} .

За $j_{2} = 1, m_{2} = 0$ имамо:

\begin{matrix} ⟨ j_{1}, m; 1, 0 | j_{1} + 1, m ⟩ & = \sqrt{\frac{(j_{1} - m + 1) (j_{1} + m + 1)}{(2 j_{1} + 1) (j_{1} + 1)}}, \\ ⟨ j_{1}, m; 1, 0 | j_{1}, m ⟩ & = \frac{m}{\sqrt{j_{1} (j_{1} + 1)}}, \\ ⟨ j_{1}, m; 1, 0 | j_{1} - 1, m ⟩ & = - \sqrt{\frac{(j_{1} - m) (j_{1} + m)}{j_{1} (2 j_{1} + 1)}} . \end{matrix}

Симетрије

\begin{matrix} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M ⟩ & = (- 1)^{j_{1} + j_{2} - J} ⟨ j_{1} - m_{1} j_{2} - m_{2} | J - M ⟩ \\ = (- 1)^{j_{1} + j_{2} - J} ⟨ j_{2} m_{2} j_{1} m_{1} | J M ⟩ \\ = (- 1)^{j_{1} - m_{1}} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_{2} + 1}} ⟨ j_{1} m_{1} J - M | j_{2} - m_{2} ⟩ \\ = (- 1)^{j_{2} + m_{2}} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_{1} + 1}} ⟨ J - M j_{2} m_{2} | j_{1} - m_{1} ⟩ \\ = (- 1)^{j_{1} - m_{1}} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_{2} + 1}} ⟨ J M j_{1} - m_{1} | j_{2} m_{2} ⟩ \\ = (- 1)^{j_{2} + m_{2}} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_{1} + 1}} ⟨ j_{2} - m_{2} J M | j_{1} m_{1} ⟩ \end{matrix}

Веза са 3-jm симболима и D-матрицама

Клебш-Горданови коефицијенти повезани су са 3-ј симболима:

⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} m_{3} ⟩ = (- 1)^{j_{1} - j_{2} + m_{3}} \sqrt{2 j_{3} + 1} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) .

Интеграцијом три Вигнерове D матрице добија се Клебш Горданов коефицијент:

\int_{0}^{2 π} d α \int_{0}^{π} \sin β d β \int_{0}^{2 π} d γ D_{M K}^{J} (α, β, γ)^{*} D_{m_{1} k_{1}}^{j_{1}} (α, β, γ) D_{m_{2} k_{2}}^{j_{2}} (α, β, γ) = \frac{8 π^{2}}{2 J + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | J M ⟩ ⟨ j_{1} k_{1} j_{2} k_{2} | J K ⟩ .

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

3ј, 6ј и 9ј симболи

Шаблон:Подножје

Клебш-Горданови коефицијенти

Садржај

Дефиниција

Оператори угаоних момената

Стања угаоних момената

Тензорски производ

Формална дефиниција коефицијената

Рекурзије

Ортогоналност

Експлицитан приказ коефицијената

Специјални случајеви

Симетрије

Веза са 3-jm симболима и D-матрицама

Литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Клебш-Горданови коефицијенти

Дефиниција

Оператори угаоних момената

Стања угаоних момената

Тензорски производ

Формална дефиниција коефицијената

Рекурзије

Ортогоналност

Експлицитан приказ коефицијената

Специјални случајеви

Симетрије

Веза са 3-jm симболима и D-матрицама

Литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Претрага