Сферни хармоници

Сферни хармоници у математици представљају угаони део решења Лапласове једначине у сферним координатама.

Сферне хармонике је први 1782. увео Пјер Симон Лаплас, а облика су:

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\phi }$

и решење су једначине:

$\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d{Y}_{\ell }^m}{d\theta })+(l(l+1)-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta })Y_{\ell }^m=0$

Лапласова једначина

Лапласова једначина у сферним координатама има облик:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0.$

Једначину решавамо сепарацијом варијабли претпостављајући решење облика:

$f(r,\vartheta ,\phi )=R(r)Y(\vartheta ,\phi )$

Сепарацијом варијабли добија се:

$\mathrm{\Delta }R(r)Y(\vartheta ,\phi )=Y(\vartheta ,\phi ){\mathrm{\Delta }}_{r}R(r)+\frac{R(r)}{r^2}{\mathrm{\Delta }}_{\vartheta ,\phi }Y(\vartheta ,\phi )=0$

Множећи са $r^2$ и делећи са $R(r)Y(\vartheta ,\phi )$ добија се:

$\frac{r^2{\mathrm{\Delta }}_{r}R(r)}{R(r)}+\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\vartheta ,\phi }Y(\vartheta ,\phi )}{Y(\vartheta ,\phi )}=0$

односно добијају се две једначине:

$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)=\lambda ,\frac{1}{Y}\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })+\frac{1}{Y}\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\phi }^2}=-\lambda .$

Угаона једначина

$(\frac{{\partial }^2}{\partial {\vartheta }^2}+\frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }+\frac{1}{{\sin }^2\vartheta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2})Y(\vartheta ,\phi )=-\lambda Y(\vartheta ,\phi )$

може даље да се сепарира по две варијабле:

$Y(\vartheta ,\phi )=\mathrm{\Theta }(\vartheta )\mathrm{\Phi }(\phi )$

Одатле се добија:

$\underset{m^2}{\underbrace{\frac{{\sin }^2\vartheta }{\mathrm{\Theta }(\vartheta )}(\frac{{\partial }^2}{\partial {\vartheta }^2}+\frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta })\mathrm{\Theta }(\vartheta )+{\sin }^2(\vartheta )\lambda )}}=\underset{m^2}{\underbrace{-\frac{1}{\mathrm{\Phi }(\phi )}\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}\mathrm{\Phi }(\phi )}}$

тј. две једначине:

$\frac{1}{\mathrm{\Phi }(\phi )}\frac{d^2\mathrm{\Phi }(\phi )}{d{\phi }^2}=-m^2$

$\lambda {\sin }^2(\theta )+\frac{\sin (\theta )}{\mathrm{\Theta }(\theta )}\frac{d}{d\theta }[\sin (\theta )\frac{d\mathrm{\Theta }}{d\theta }]=m^2$

Решење прве једначине је: ${\mathrm{\Phi }}_m(\phi )=A\exp (im\phi )$

Да би друга једначина имала решење мора бити задовољено $\lambda =l(l+1)$.

Коначно за угао $\theta$ добија се једначина:

$\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d{\mathrm{\Theta }}_{lm}}{d\theta })-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }{\mathrm{\Theta }}_{lm}+l(l+1){\mathrm{\Theta }}_{lm}=0$

Уведемо ли супституцију $x=\cos (\theta )$ добија се:

$(1-x^2){\mathrm{\Theta }}^{″}-2x{\mathrm{\Theta }}^{\prime }+(\ell [\ell +1]-\frac{m^2}{1-x^2})\mathrm{\Theta }=0,$<

односно једначина чије решење су придружени Лежандрови полиноми $P_{lm}(\cos \vartheta )$. Сада треба да нормирамо та решења уз помоћ ${\int }_0^{\pi }|{\mathrm{\Theta }}_{lm}(\vartheta ){|}^2\sin (\vartheta )\mathrm{d}\vartheta =1$ па добијамо:

${\mathrm{\Theta }}_{lm}(\vartheta )=\sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot \frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_{lm}(\cos \vartheta )$

Исто тако треба да се нормира и по другом углу ${\int }_0^{2\pi }|{\mathrm{\Phi }}_m(\phi ){|}^2\mathrm{d}\phi =1$ , па се добија:

${\mathrm{\Phi }}_m(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (im\phi ),m\in \mathbb{Z}$.

Заједничко угаоно решење је онда управо функција, коју називамо сферни хармоник:

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\phi }$

Нека својства

Сферни хармоници су ортогонални:

${\int }_{\theta =0}^{\pi }{\int }_{\phi =0}^{2\pi }{Y}_{\ell }^m{Y}_{{\ell }^{\prime }}^{m^{\prime }\ast }d\mathrm{\Omega }={\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }},$.

Задовољавају релацију потпуности:

$\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l{Y}_{lm}^{\ast }({\vartheta }^{\prime },{\phi }^{\prime })Y_{lm}(\vartheta ,\phi )=\delta (\phi -{\phi }^{\prime })\delta (\cos \vartheta -\cos {\vartheta }^{\prime })$

Осим тога у случају трансформација вреди:

$Y_{lm}(\pi -\vartheta ,\pi +\phi )=(-1{)}^l\cdot Y_{lm}(\vartheta ,\phi )$

$Y_{l,-m}(\vartheta ,\phi )=(-1{)}^m\cdot Y_{lm}^{\ast }(\vartheta ,\phi )$

Интеграл три сферна хармоника дат је преко 3-jm симбола:

$\begin{array}{cc}& \int Y_{l_1{m}_1}(\theta ,\phi )Y_{l_2{m}_2}(\theta ,\phi )Y_{l_3{m}_3}(\theta ,\phi )\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \\ & =\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi }}\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)\end{array}$

где су $l_1$, $l_2$ and $l_3$ цели бројеви.

Адициона теорема

Претпоставимо да су два јединична вектора $𝐱$ и ${𝐱}^{\prime }$ предстaвљена у сферним кординатама $(\vartheta ,\phi )$ односно $({\vartheta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$. Угао између два вектора је онда:

$\cos \gamma =\cos \vartheta \cos {\vartheta }^{\prime }+\sin \vartheta \sin {\vartheta }^{\prime }\cos (\phi -{\phi }^{\prime }).$

Адиционa теоремa за сферне хармонике је:

$P_l(\cos \gamma )=\frac{4\pi }{2l+1}\sum _{m=-l}^l{Y}_{lm}(\vartheta ,\phi )Y_{lm}^{\ast }({\vartheta }^{\prime },{\phi }^{\prime }).$

За случај када се ради о истом вектору добија се:

$\sum _{m=-\ell }^{\ell }{Y}_{\ell m}^{\ast }(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\frac{2\ell +1}{4\pi }$

Развој по сферним хармоницима

Пошто сферни хармоници чине потпун скуп опртонормалних функција функције могу да се развију преко њих:

$f(\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\ell }^{\ell }{f}_{\ell }^m{Y}_{\ell }^m(\theta ,\phi ).$

а коефицијенти су:

$f_{\ell }^m={\int }_{\mathrm{\Omega }}f(\theta ,\phi )Y_{\ell }^{m\ast }(\theta ,\phi )d\mathrm{\Omega }={\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^{\pi }d\theta \sin \theta f(\theta ,\phi )Y_{\ell }^{m\ast }(\theta ,\phi ).$

Табела неких сферних хармоника

Првих неколико сферних хармоника

Ylm	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = -3				$\sqrt{\frac{35}{64\pi }}{\sin }^3\vartheta e^{-3i\phi }$
m = −2			$\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^2\vartheta e^{-2i\phi }$	$\sqrt{\frac{105}{32\pi }}{\sin }^2\vartheta \cos \vartheta e^{-2i\phi }$
m = −1		$\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta e^{-i\phi }$	$\sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta e^{-i\phi }$	$\sqrt{\frac{21}{64\pi }}\sin \vartheta (5{\cos }^2\vartheta -1)e^{-i\phi }$
m = 0	$\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$	$\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta$	$\sqrt{\frac{5}{16\pi }}(3{\cos }^2\vartheta -1)$	$\sqrt{\frac{7}{16\pi }}(5{\cos }^3\vartheta -3\cos \vartheta )$
m = 1		$-\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta e^{i\phi }$	$-\sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta e^{i\phi }$	$-\sqrt{\frac{21}{64\pi }}\sin \vartheta (5{\cos }^2\vartheta -1)e^{i\phi }$
m = 2			$\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^2\vartheta e^{2i\phi }$	$\sqrt{\frac{105}{32\pi }}{\sin }^2\vartheta \cos \vartheta e^{2i\phi }$
m = 3				$-\sqrt{\frac{35}{64\pi }}{\sin }^3\vartheta e^{3i\phi }$

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:ISBN.}-
• Сферни хармоници
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Springer.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

-{

• E.W. Hobson, Шаблон:Cite book, Chelsea Pub. Co. .
• C. Müller, Spherical Harmonics, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17. Шаблон:ISBN.
• E. U. Condon and G. H. Shortley, Шаблон:Cite book, , See chapter 3.
• J.D. Jackson, Шаблон:Cite book,
• Шаблон:Cite book, volume II. Dover. .
• Шаблон:Cite book
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Шаблон:Cite book, World Scientific Publishing Co., Singapore,

}- Шаблон:Литература крај