Придружени Лежандрови полиноми

Придружени Лежандрови полиноми $P_{\ell }^m(x)$ представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+(\ell [\ell +1]-\frac{m^2}{1-x^2})y=0,$

Дефиниција за позитивне параметре ℓ и m

Придружени Лежандрови полиноми $P_{\ell }^m(x)$ повезани са обичним Лежандровим полиномима (m ≥ 0)

$P_{\ell }^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}(P_{\ell }(x))$

За обичне Лежандрове полиноме вреди:

$(1-x^2)\frac{d^2}{d{x}^2}{P}_{\ell }(x)-2x\frac{d}{dx}{P}_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.$

Члан (−1)^m у том изразу познат је као Кондон-Шотлијева фаза, коју неки аутори испуштају. Родригезовом формулом добија се:

$P_{\ell }(x)=\frac{1}{2^{\ell }\ell !}\frac{d^{\ell }}{d{x}^{\ell }}[(x^2-1{)}^{\ell }],$

па се онда придружени Лежандров полином може приказати као:

$P_{\ell }^m(x)=\frac{(-1{)}^m}{2^{\ell }\ell !}(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^{\ell +m}}{d{x}^{\ell +m}}(x^2-1{)}^{\ell }.$

Лежандрови полиноми могу да се прикажу и као специјални случај хипергеометријске функције:

$P_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left[\frac{1+z}{1-z}\right]}^{\mu /2}{}_2{F}_1(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;\frac{1-z}{2})$

Ортогоналност

Претпостављајући $0\le m\le \ell$, они задовољавају услов ортогоналности за фиксни m:

${\int }_{-1}^1{P}_k^m{P}_{\ell }^{m}dx=\frac{2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}{\delta }_{k,\ell }$

При томе је ${\delta }_{k,\ell }$ Кронекерова делта функција.

Осим тога они задовољавају релацију ортогоналности за фиксни ℓ:

${\int }_{-1}^1\frac{P_{\ell }^m{P}_{\ell }^n}{1-x^2}dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m\ne n\\ \frac{(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}& \text{if }m=n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{if }m=n=0\end{array}$

Првих неколико придружених Лежандрових полинома

$P_0^0(x)=1$

$P_1^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{P}_1^1(x)$

$P_1^0(x)=x$

$P_1^1(x)=-(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_2^{-2}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{24}\end{array}{P}_2^2(x)$

$P_2^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{6}\end{array}{P}_2^1(x)$

$P_2^0(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(3x^2-1)$

$P_2^1(x)=-3x(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_2^2(x)=3(1-x^2)$

$P_3^{-3}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{720}\end{array}{P}_3^3(x)$

$P_3^{-2}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{120}\end{array}{P}_3^2(x)$

$P_3^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{12}\end{array}{P}_3^1(x)$

$P_3^0(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(5x^3-3x)$

$P_3^1(x)=-\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}(5x^2-1)(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_3^2(x)=15x(1-x^2)$

$P_3^3(x)=-15(1-x^2{)}^{3/2}$

Рекурзивне релације

$(\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)=(2\ell +1)x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$

$2mx{P}_{\ell }^m(x)=-\sqrt{1-x^2}[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)]$

$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{1}{2\ell +1}[P_{\ell -1}^{m+1}(x)-P_{\ell +1}^{m+1}(x)]$

$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{1}{2\ell +1}[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)]$

$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$

$\sqrt{1-x^2}{P_{\ell }^m}^{\prime }(x)=\frac{1}{2}[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)]$

$(1-x^2){P_{\ell }^m}^{\prime }(x)=\frac{1}{2\ell +1}[(\ell +1)(\ell +m)P_{l-1}^m(x)-l(l-m+1)P_{l+1}^m(x)]$

$(x^2-1)P_{{\ell }^{\prime }}^m(x)=\ell x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$

$(x^2-1)P_{{\ell }^{\prime }}^m(x)=\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)+mx{P}_{\ell }^m(x)$

$(x^2-1)P_{{\ell }^{\prime }}^m(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1)\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m-1}(x)-mx{P}_{\ell }^m(x)$

$P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1)\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{\ell }(x)$

$P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1{)}^l(2\ell -1)!!(1-x^2{)}^{(l/2)}$

$P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)$

Параметризација помоћу углова

Придружени Лежандрови полиноми могу да се параметризирају помоћу углова, тј. $x=\cos \theta$:

$P_{\ell }^m(\cos \theta )=(-1{)}^m(\sin \theta {)}^m\frac{d^m}{d(\cos \theta {)}^m}(P_{\ell }(\cos \theta ))$

Онда добијамо да је првих неколико полинома:

$\begin{array}{cc}{P}_0^0(\cos \theta )& =1\\ P_1^0(\cos \theta )& =\cos \theta \\ P_1^1(\cos \theta )& =-\sin \theta \\ P_2^0(\cos \theta )& =\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1)\\ P_2^1(\cos \theta )& =-3\cos \theta \sin \theta \\ P_2^2(\cos \theta )& =3{\sin }^2\theta \\ P_3^0(\cos \theta )& =\frac{1}{2}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ P_3^1(\cos \theta )& =-\frac{3}{2}(5{\cos }^2\theta -1)\sin \theta \\ P_3^2(\cos \theta )& =15\cos \theta {\sin }^2\theta \\ P_3^3(\cos \theta )& =-15{\sin }^3\theta \end{array}$

За фиксниm, $P_{\ell }^m(\cos \theta )$ су ортогоналне, параметризиране по θ преко $[0,\pi ]$, са тежином $\sin \theta$:

${\int }_0^{\pi }{P}_k^m(\cos \theta )P_{\ell }^m(\cos \theta )\sin \theta d\theta =\frac{2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}{\delta }_{k,\ell }$

Такође за фиксни ℓ:

${\int }_0^{\pi }{P}_{\ell }^m(\cos \theta )P_{\ell }^n(\cos \theta )\csc \theta d\theta =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m\ne n\\ \frac{(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}& \text{if }m=n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{if }m=n=0\end{array}$

$P_{\ell }^m(\cos \theta )$ су решења од:

$\frac{d^{2}y}{d{\theta }^2}+\cot \theta \frac{dy}{d\theta }+[\lambda -\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]y=0$

За $m\ge 0$ горња једначина има несингуларна решења само за $\lambda =\ell (\ell +1)$ за целобројни $\ell \ge m$, а решења су пропорционална $P_{\ell }^m(\cos \theta )$.

Сферни хармоници

Придружени Лежандрови полиноми сусрећу се у многим проблемима физике са сферном симетријом. Једначина ${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\lambda \psi =0$ у случају сферне симетрије може да се напише најпре уз помоћ лапласијана у сферним координатама:

${\mathrm{\nabla }}^2\psi =\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\theta }^2}+\cot \theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta }+{\csc }^2\theta \frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\varphi }^2}.$

Парцијална диференцијална једначина ${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\lambda \psi =0$ постаје:

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\theta }^2}+\cot \theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta }+{\csc }^2\theta \frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\varphi }^2}+\lambda \psi =0$

Решава се сепарацијом варијабли по θ и φ, тако да је φ део облика $\sin (m\varphi )$ или $\cos (m\varphi )$ за целобројне m≥0, а онда преостаје једначина по θ:

$\frac{d^{2}y}{d{\theta }^2}+\cot \theta \frac{dy}{d\theta }+[\lambda -\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]y=0$

за коју су решења придружени Лежандрови полиноми $P_{\ell }^m(\cos \theta )$ са $\ell \ge m$ и $\lambda =\ell (\ell +1)$.

На тај начин добили смо да су једначина:

${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\lambda \psi =0$

има несингуларна решења само за $\lambda =\ell (\ell +1)$, а та решења пропорционална су:

$P_{\ell }^m(\cos \theta )\cos (m\varphi )0\le m\le \ell$

и

$P_{\ell }^m(\cos \theta )\sin (m\varphi )0<m\le \ell .$

За сваки $\ell$ постоји $2\ell +1$ функција за различите m и они су ортогонални. Решења се обично пишу у облику:

$Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\varphi }-\ell \le m\le \ell .$

При томе та решења $Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )$ називају се сферни хармоници.

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Шаблон:ISBN}-
• Придружени Лежандрови полиноми