Допуна до потпуног квадрата

Допуна до потпуног квадрата је техника елементарне алгебре са применама у различитим областима математике. Користи се, на пример, у алгебри при решавању квадратне једначине, у аналитичкој геометрији да одреди график квадратне функције, у инфинитезималном рачуну при одређивању вредности неких интеграла, и при рачунању Лапласових трансформација. Циљ ове технике је да се елиминише линеарни члан квадратног тринома.

Другим речима, квадратни трином облика

$a{x}^2+bx+c$

са трансформише у облик

$a(\cdots \cdots {)}^2+\text{const}.$

У овом контексту, слободан члан, означен са -{const}- не зависи од променљиве -{x}-. Израз у загради је облика -{(x − const)}-. Дакле, полазни трином -{ax² + bx + c }- се трансформише у

$a(x-\alpha {)}^2+\beta$

где треба одредити $\alpha$ и $\beta$.

У математици је допуна до потпуног квадрата основна алгебарска операција која се често без посебног наглашавања примењује у различитим рачуницама са квадратним полиномима.

Преглед

Основа

Основа за ову технику је једноставна формула елементарне алгебре за одређивање квадрата бинома:

$(x+p{)}^2=x^2+2px+p^2.$

На пример:

$\begin{array}{cccc}(x+3{)}^2& =x^2+6x+9& & (p=3)\\ (x-5{)}^2& =x^2-10x+25& & (p=-5).\end{array}$

Код било ког потпуног квадрата, број -{p}- је увек половина коефицијента уз -{x}-, а слободан члан је једнак -{p}-².

Основни пример

Нека је дат следећи квадратни полином:

$x^2+10x+28.$

Овај трином није потпуни квадрат, пошто 28 није квадрат броја 5:

$(x+5{)}^2=x^2+10x+25.$

Ипак, могуће је полазни полином записати као збир квадрата и константе:

$x^2+10x+28=(x+5{)}^2+3.$

---

Општи поступак

Произвољан монични квадратни трином

$x^2+bx+c,$

је могуће записати у облику квадрата бинома чија се два прва члана поклапају са датим:

${(x+\frac{1}{2}b)}^2=x^2+bx+\frac{1}{4}{b}^2.$

Квадрат овог бинома се разликује од полазног тринома само у вредности слободног члана. Зато се може записати

$x^2+bx+c={(x+\frac{1}{2}b)}^2+\beta ,$

где је $\beta$ константа. Управо овај поступак се назива допуном до потпуног квадрата. Примери:

$\begin{array}{cc}{x}^2+6x+11& =(x+3{)}^2+2\\ x^2+14x+30& =(x+7{)}^2-19\\ x^2-2x+7& =(x-1{)}^2+6.\end{array}$

Немонични трином

Уколико је коефицијент уз квадратни члан различит од нуле

$a{x}^2+bx+c$

потребно је најпре факторисати полином у облику производа коефицијента -{a}- и квадратног тринома, и затим допунити добијени монични трином до потпуног квадрата.

Пример:

$\begin{array}{cc}3x^2+12x+27& =3(x^2+4x+9)\\ & =3((x+2{)}^2+5)\\ & =3(x+2{)}^2+15\end{array}$

Захваљујући овоме, могуће је произвољан квадратни полином записати у облику

$a(x-\alpha {)}^2+\beta .$

Формула

Резуктат примене технике се може записати у облику формуле. У општем случају:

$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha {)}^2+\beta ,\text{gde je}\alpha =-\frac{b}{2a}\wedge \beta =c-\frac{b^2}{4a}.$

Посебно, када је -{a=1}-:

$x^2+bx+c=(x-\alpha {)}^2+\beta ,\text{gde je}\alpha =-\frac{b}{2}\wedge \beta =c-\frac{b^2}{4}.$

Матрична једнакост је врло слична:

$x^{\mathrm{T}}Ax+x^{\mathrm{T}}b+c=(x-\alpha {)}^{\mathrm{T}}A(x-\alpha )+\beta \text{gde je}\alpha =-\frac{1}{2}{A}^{-1}b\wedge \beta =c-\frac{1}{4}{b}^{\mathrm{T}}{A}^{-1}b$

Веза са графиком

Датотека:H pomeranje.png

Графици квадратних функција померени дуж -{x}--осе за $\alpha$ = 0, 5, 10, и 15.

Датотека:V pomeranje.png

Графици квадратних функција померени дуж -{y}--осе за $\beta$ = 0, 5, 10, и 15.

Датотека:HV pomeranje.png

Графици квадратних функција померени дуж -{x}--осе и -{y}--осе за $\alpha$ = $\beta$ = 0, 5, 10, и 15.

У аналитичкој геометрији, график произвољне квадратне функције је парабола у -{xОy}--равни. Уколико је квадратни трином облика

$(x-\alpha {)}^2+\beta \vee a(x-\alpha {)}^2+\beta$

бројеви $\alpha$ и $\beta$ се могу схватити као декартове координате темена параболе. То значи да је $\alpha$ -{x}--координата осе симетрије, а $\beta$ је минимална (или максимална, ако је -{a}- < 0) вредност квадратне функције.

Другим речима, график функције ƒ(-{x}-) = -{x}-² је парабола чије је теме у координатном почетку (0, 0). График функције ƒ(-{x}- − $\alpha$) = (x − $\alpha$)² је парабола померена удесно за $\alpha$ чије је теме у тачки ($\alpha$, 0), као што је приказано на горњој слици. Осим тога, график функције ƒ(-{x}-) + $\beta$ = -{x}-² + $\beta$ је парабола померена дуж -{y}--осе на позитивну страну за $\beta$, те јој је теме у тачки (0, $\beta$), као што је приказано на другој слици. Кобиновањем хоризонталног и вертикалног померања добија се ƒ(-{x}- − $\alpha$) + $\beta$ = (-{x}- − $\alpha$)² + $\beta$ што је парабола померена удесно за $\alpha$ и горе за $\beta$ са теменом у тачки ($\alpha$, $\beta$), као што се може видети на трећој слици.

Решавање квадратних једначина

Допуна до потпуног квадрата се може користити за решавање произвољне квадратне једначине. На пример:

$x^2+6x+5=0.$

У првом кораку се полазни трином допуни до потпуног квадрата:

$(x+3{)}^2-4=0.$

Затим се примени формула за разлику квадрата:

$(x+3-2)(x+3+2)=0$

$(x+1)(x+5)=0$

Одатле је

$x+1=0\vee x+5=0,$

па су решења полазне једначине

$x=-1\vee x=-5.$

Ово се може применити на произвољну квадратну једначину. Када је коефицијент уз -{x}-² различит од 1, први корак ће бити дељење једначине са тим коефицијентом: погледати, на пример, не-монични случај.

Ирационални и комплексни корени

За разлику од метода који користе факторизацију једначине, поуздану само у случају када су корени рационални, допуна до потпуног квадрата ће утврдити корене квадратне једначине чак и тада када су они ирационални или комплексни. На пример, дата је једначина:

$x^2-10x+18=0.$

Након допуне до потпуног квадрата биће

$(x-5{)}^2-7=0,$

па је

$(x-5-\sqrt{7})(x-5+\sqrt{7})=0.$

Значи да су корени

$x=5-\sqrt{7}\vee x=5+\sqrt{7},$

што се може записати и са

$x=5\pm \sqrt{7}.$

Једначине чији су корени комплексни могу се решавати на исти начин:

$\begin{array}{c}{x}^2+4x+5=0\\ (x+2{)}^2+1=0\\ (x+2+i)(x+2-i)=0\\ x=-2\pm i.\end{array}$

Немонична једначина

Уколико је потребно решити квадратну једначину чији водећи коефицијент није једнак јединици, најпре је треба поделити са тим коефицијентом:

$\begin{array}{c}2x^2+7x+6=0\\ x^2+\frac{7}{2}x+3=0\\ {(x+\frac{7}{4})}^2-\frac{1}{16}=0\\ (x+\frac{7}{4}-\frac{1}{4})(x+\frac{7}{4}+\frac{1}{4})=0\\ x=-\frac{3}{2}\vee x=-2.\end{array}$

Друге примене

Интеграција

Ова техника се може користити за израчунавање било ког интеграла облика

$\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c},$

уз употребу основних једнакости:

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\text{and}\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C.$

На пример, нека је дат интеграл:

$\int \frac{dx}{x^2+6x+13}.$

Допуном до потпуног квадрата тринома у имениоцу добија се:

$\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+4}=\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+2^2}.$

Добијени интеграл се може израчунати коришћењем смене -{u}- = -{x}- + 3:

$\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+4}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x+3}{2}\right)+C.$

Комплексни бројеви

Уколико су у изразу

$|z{|}^2-b^{*}z-b{z}^{*}+c,$

-{z}- и -{b}- комплексни бројеви, -{z}-^* и -{b}-^* су њихови конјугати, и нека је -{c}- реалан број. Употребом идентитета |-{u}-|² = -{uu}-^* могуће је записати дати израз на следећи начин:

$|z-b{|}^2-|b{|}^2+c,$

одакле се јасно види да је у питању реалан број. Запис следи из следећег низа једнакости:

$\begin{array}{cc}|z-b{|}^2& =(z-b)(z-b{)}^{*}\\ & =(z-b)(z^{*}-b^{*})\\ & =z{z}^{*}-z{b}^{*}-b{z}^{*}+b{b}^{*}\\ & =|z{|}^2-z{b}^{*}-b{z}^{*}+|b{|}^2.\end{array}$

У следећем изразу

$a{x}^2+b{y}^2+c,$

нека су -{a, b, c, x}-, и -{y}- реални бројеви, и нека је -{a}- > 0 и -{b}- > 0, онда се полазни израз може приказати као квадрат апсолутне вредности комплексног броја. Ако се дефинише

$z=\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y,$

биће

$\begin{array}{cc}|z{|}^2& =z{z}^{*}\\ & =(\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y)(\sqrt{a}x-i\sqrt{b}y)\\ & =a{x}^2-i\sqrt{ab}xy+i\sqrt{ba}yx-i^{2}b{y}^2\\ & =a{x}^2+b{y}^2,\end{array}$

па је

$a{x}^2+b{y}^2+c=|z{|}^2+c.$

Геометријско објашњење

Нека је потребно применити ову технику на следећу једначину

$x^2+bx=a.$

Како -{x}-² представља површину квадрата странице -{x}-, а -{bx}- представља површину правоугаоника са страницама -{b}- и -{x}-, процес допуне до потпуног квадрата се може представити визуелно помоћу одговарајућих четвороуглова.

Уколико се квадрат -{x}-² и правоугаоник -{bx}- једноставно наместе тако да формирају већи квадрат, испоставиће се да њему фали један део. Члан (-{b}-/2)² који се додаје на обе стране горње једначине представља управо површину недостајућег ћошка, одакле и потиче фраза „допуна до потпуног квадрата“.

Варијација технике

Као што се обично наводи, допуна до потпуног квадрата подразумева додавање трећег члана, -{v}- ² на прва два члана развијене формуле за квадрат бинома:

$u^2+2uv$

чиме се добија прави квадрат. У неким ситуацијама потребно је додати средњи члан, или као 2-{uv}- или −2-{uv}-, на израз облика:

$u^2+v^2$

чиме се поново добија потпуни квадрат.

Пример: збир позитивног броја и његове реципрочне вредности

Како важи

$\begin{array}{cc}x+\frac{1}{x}& =(x-2+\frac{1}{x})+2\\ & ={(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})}^2+2\end{array}$

следи да је збир позитивног броја -{x}- и његове реципрочне вредности увек већи или једнак 2. Како је квадрат реалног израза увек већи или једнак нули, добија се наведено ограничење; јендакост са 2 се постиже само онда када је -{x}- = 1, чиме се елиминише квадратни сабирак.

Пример: факторизација једноставног полинома четвртог степена

Нека је дат бином

$x^4+324.$

Он се може написати у облику

$(x^2{)}^2+(18{)}^2,$

где је средњи члан 2(-{x}-²)(18) = 36-{x}-². Одатле следи

$\begin{array}{cc}{x}^4+324& =(x^4+36x^2+324)-36x^2\\ & =(x^2+18{)}^2-(6x{)}^2\\ & =(x^2+18+6x)(x^2+18-6x)\\ & =(x^2+6x+18)(x^2-6x+18)\end{array}$

(у последњем реду су мономи поређани по опадајућим степенима).

Спољашње везе

• -{Completing the square}- на -{mathworld.wolfram.com}- Шаблон:En
• -{Completing the square}- на -{planetmath.org}- Шаблон:En