Правоугаоник

Извор: testwiki
Пређи на навигацију Пређи на претрагу

Шаблон:Инфокутија многоугао

Правоугаоник. Странице су му -{a}- и -{b}-, дијагонала је означена са -{d}-, а темена су му -{A}-, -{B}-, -{C}- и -{D}-

Правоугаоник је четвороугаона геометријска фигура у равни. Спада у класу паралелограма, а следећа два правила важе за сваки правоугаоник: наспрамне странице су по дужини једнаке и паралелне, и суседне странице су нормалне једна на другу (заклапају угао од 90°). Тачан изглед једног правоугаоника је одређен његовом ширином (означено са -{a}- на слици десно) и његовом дужином (означено са -{b}- на слици десно). Специјалан случај правоугаоника коме су све странице једнаке се назива квадрат.[1][2][3]

Реч правоугаоник потиче од латинског rectangulus, што је комбинација rectus (као придев, усправан, прав) и angulus (угао).

Укрштени правоугаоник је самопресецајући четвороугао који се састоји од две супротне странице правоугаоника заједно са две дијагонале[4] (дакле, само две странице су паралелне). То је посебан случај антипаралелограма, а његови углови нису прави углови и нису сви једнаки, иако су супротни углови једнаки. Друге геометрије, као што су сферна, елиптична и хиперболичка, имају такозване правоугаонике са супротним страницама једнаке дужине и једнаким угловима који нису прави углови.

Карактеризације

Конвексни четвороугао је правоугаоник ако и само ако важи једно од следећег:[5][6]

  • паралелограм са најмање једним правим углом
  • паралелограм са дијагоналама једнаке дужине
  • паралелограм ABCD где су троуглови ABD и DCA подударни[7]
  • једнакоугаони четвороугао
  • четвороугао са четири права угла
  • четвороугао где су две дијагонале једнаке по дужини и деле једна другу на пола[8]
  • конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина 14(a+c)(b+d).[9]Шаблон:Rp
  • конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина 12(a2+c2)(b2+d2).[9]

Формуле

  • Површина правоугаоника је -{P = ab}-
  • Обим правоугаоника је -{O = 2(a+b)}-
  • Полуобим правоугаоника је -{S = (a+b)}-
  • Углови између страница и дијагонала: -{φ1 = arctg(b/a)}- и -{φ1 = arctg(a/b)}-; φ1 + φ2 = π/2.
  • Углови између дијагонала Θ1 = π - 2φ1 и Θ2 = π - 2φ2; Θ1 + Θ2 = π
  • r (полупречник описане кружнице) : r = d2

Дијагонала правоугаоника

Дијагонала правоугаоника је дуж која спаја два његова темена која немају ни једну заједничку страницу. Правоугаоник има тачно две дијагонале, и оне су једнаких дужина:

d=(a2+b2)

Конструкције правоугаоника

Две странице

Дате су дужине страница -{a}- и -{b}-. Једно решење:

  1. Конструисати дуж -{AB}- дужине -{a}-.
  2. У тачки -{A}-, нормално на -{AB}-, конструисати дуж -{AD}- дужине -{b}-.
  3. Повући дуж -{DB}-.
  4. Симетрала тачке -{A}- у односу на средиште -{DB}- ће бити -{C}-.

Уместо корака 3 и 4 може се конструисати дуж -{BC}-, дужине -{a}- и нормална на -{AC}-, тако да угао -{ABC}- буде математички негативно оријентисан.

Страница и угао између ње и дијагонале

Претпоставимо да су дати страница -{AB}- и угао α.

  1. Конструисати дуж -{AB}-
  2. Из тачке -{A}- конструисати полуправу -{s}- која са -{AB}- заклапа угао α, тако да је угао -{BAs}- позитивно оријентисан.
  3. Из тачке -{B}- конструисати нормалу -{н}- на -{AB}-.
  4. Пресек -{n}- и -{s}- обележити као -{C}-.
  5. У -{A}- конструисати полуправу -{n1}- нормалну на -{AB}-, тако да је угао -{ABn1}- позитивно оријентисан
  6. У -{A}- конструисати круг -{k}- полупречника -{BC}-.
  7. Пресек -{n1}- и -{k}-је -{D}-.

Уколико су дати страница -{AB}- и угао β између друге странице ње и дијагонале, угао α је једнак 90° - β.

Страница и дијагонала

Ако су дате странца, на пример -{AB}-, и дужина дијагонале правоугаоника -{d}-, конструкција има следећи ток:

  1. Конструисати дуж дужине -{d}- и назвати јој темена -{A}- и -{C}-.
  2. Конструисати круг -{k1}- који за пречник има дуж -{AC}-.
  3. У тачки -{A}- конструисати круг -{k2}- полупречника -{AB}-.
  4. Круг -{k2}- ће сећи -{k1}- у две тачке. Једна од ове две треба да добије име -{B}- тако да је угао -{ABC}- негативно математички оријентисан
  5. Од -{B}- треба повући полуправу кроз средиште -{AC}-. Пресек ове полуправе са кругом -{k1}- ће бити тачка -{D}-.

Остали правоугаоници

Седласти правоугаоник има 4 непланарна врха, наизменично од врхова квадра, са јединственом минималном унутрашњошћу површине дефинисаном као линеарна комбинација четири темена, стварајући површину седла. Овај пример приказује 4 плаве ивице правоугаоника и две зелене дијагонале, а све су дијагонале кубоидних правоугаоних лица.

У сферној геометрији, сферни правоугаоник је фигура чије су четири ивице велики кружни лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини. Површина сфере у еуклидској чврстој геометрији је нееуклидска површина у смислу елиптичке геометрије. Сферна геометрија је најједноставнији облик елиптичке геометрије.

У елиптичкој геометрији, елиптични правоугаоник је фигура у елиптичној равни чије су четири ивице елиптични лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.

У хиперболичној геометрији, хиперболички правоугаоник је фигура у хиперболичној равни чије су четири ивице хиперболички лукови који се састају под једнаким угловима мањим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.

Теселације

Правоугаоник се користи у многим периодичним обрасцима теселације, у зидању, на пример, овим плочицама:


Наслагана веза
Текућа веза
Плетена кошара
Плетена кошара
Патерн рибље кости

Квадратни, савршени и други поплочани правоугаоници

Савршен правоугаоник реда 9

За правоугаоник поплочан квадратима, правоугаоницима или троугловима се каже да је правоугаоник „квадратни“, „правоугаони“ или „троугаони“. Поплочани правоугаоник је савршен[10][11] ако су плочице сличне и ограниченог броја и нема две плочице исте величине. Ако су две такве плочице исте величине, плочица је несавршена. У савршеном (или несавршеном) троуглом правоугаонику троуглови морају бити правоугли. База података свих познатих савршених правоугаоника, савршених квадрата и сродних облика може се наћи на squaring.net.[12] Најмањи број квадрата који је потребан за савршено поплочавање правоугаоника је 9,[13] а најмањи број потребан за савршено поплочавање квадрата је 21, пронађен 1978. компјутерском претрагом.[14]

Правоугаоник има самерљиве странице ако и само ако је поплочан коначним бројем неједнаких квадрата.[10] Исто важи и ако су плочице неједнаки једнакокраки правоугли троуглови.

Поплочавање правоугаоника другим плочицама које су привукле највећу пажњу су оне конгруентним неправоугаоним полиомима, дозвољавајући све ротације и рефлексије. Постоје и поплочавања конгруентним полиаболима.[15][16][17]

Јуникод

  • U+25AC ▬ Црни правугаоник
  • U+25AD ▭ Бели правугаоник
  • U+25AE ▮ Црни вертикални правоугаоник
  • U+25AF ▯ Бели вертикални правоугаоник

Референце

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Commons category

Шаблон:Нормативна контрола

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ Definition of Oblong. Mathsisfun.com. Retrieved 2011-11-13.
  3. ↑ Oblong – Geometry – Math Dictionary. Icoachmath.com. Retrieved 2011-11-13.
  4. ↑ Шаблон:Cite journal
  5. ↑ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 Шаблон:Isbn.
  6. ↑ Шаблон:Cite book
  7. ↑ Шаблон:Cite web
  8. ↑ Gerard Venema, "Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra", MAA, 2013, p. 56.
  9. ↑ 9,0 9,1 Шаблон:Cite journal
  10. ↑ 10,0 10,1 Шаблон:Cite journal
  11. ↑ Шаблон:Cite journal
  12. ↑ squaring.net
  13. ↑ Шаблон:Cite OEIS
  14. ↑ Шаблон:Cite web
  15. ↑ Шаблон:Cite journal
  16. ↑ Шаблон:Cite book
  17. ↑ Шаблон:Cite book
Преузето из „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Правоугаоник&oldid=670”