Шаблон:Уобичајени Банахов простори

Речник симбола за доњу табелу:

• $𝔽$ означава поље реалних бројева $ℝ$ или комплексних бројева $ℂ.$
• $K$ је компактан Хаусдорфов простор.
• $p,q\in ℝ$ су реални бројеви са $1<p,q<\mathrm{\infty }$ који су Хелдерови конјугати, што значи да задовољавају $\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$ а тиме и $q=\frac{p}{p-1}.$
• $\mathrm{\Sigma }$ је $\sigma$-алгебра скупова.
• $\mathrm{\Xi }$ је алгебра скупова (за просторе који захтевају само коначну адитивност, као што је ba простор).
• $\mu$ је мера са варијацијом $|\mu |.$ Позитивна мера је реална позитивна функција скупа дефинисана на $\sigma$-алгебри која је пребројиво адитивна.

Класични Банахови простори
	Дуални простор	Рефлексиван	слабо секвенцијално комплетан	Норма		Напомене
${𝔽}^n$	${𝔽}^n$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_2$	$={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2)}^{1/2}$	Еуклидов простор
${\ell }_p^n$	${\ell }_q^n$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_p$	$={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$
${\ell }_{\mathrm{\infty }}^n$	${\ell }_1^n$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\underset{1\le i\le n}{max}|x_i|$
${\ell }^p$	${\ell }^q$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_p$	$={(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$
${\ell }^1$	${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_1$	$=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\left|x_i\right|$
${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	$\mathrm{ba}$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\underset{i}{sup}\left|x_i\right|$
$\mathrm{c}$	${\ell }^1$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\underset{i}{sup}\left|x_i\right|$
$c_0$	${\ell }^1$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\underset{i}{sup}\left|x_i\right|$	Изоморфан, али не и изометричан са $c.$
$\mathrm{bv}$	${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_{bv}$	$=\left|x_1\right|+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$	Изометрички изоморфан са ${\ell }^1.$
${\mathrm{bv}}_0$	${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_{b{v}_0}$	$=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$	Изометрички изоморфан са ${\ell }^1.$
$\mathrm{bs}$	$\mathrm{ba}$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{bs}$	$=\underset{n}{sup}\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|$	Изометрички изоморфан са ${\ell }^{\mathrm{\infty }}.$
$\mathrm{cs}$	${\ell }^1$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{bs}$	$=\underset{n}{sup}\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|$	Изометрички изоморфан са $c.$
$B(K,\mathrm{\Xi })$	$\mathrm{ba}(\mathrm{\Xi })$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert f{\Vert }_B$	$=\underset{k\in K}{sup}|f(k)|$
$C(K)$	$\mathrm{rca}(K)$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{C(K)}$	$=\underset{k\in K}{max}|f(k)|$
$\mathrm{ba}(\mathrm{\Xi })$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}$	$=\underset{S\in \mathrm{\Xi }}{sup}|\mu |(S)$
$\mathrm{ca}(\mathrm{\Sigma })$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}$	$=\underset{S\in \mathrm{\Sigma }}{sup}|\mu |(S)$	Затворени потпростор од $\mathrm{ba}(\mathrm{\Sigma }).$
$\mathrm{rca}(\mathrm{\Sigma })$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}$	$=\underset{S\in \mathrm{\Sigma }}{sup}|\mu |(S)$	Затворени потпростор од $\mathrm{ca}(\mathrm{\Sigma }).$
$L^p(\mu )$	$L^q(\mu )$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_p$	$={(\int |f{|}^{p}d\mu )}^{\frac{1}{p}}$
$L^1(\mu )$	$L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_1$	$=\int |f|d\mu$	Дуал је $L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$ ако је $\mu$ $\sigma$-коначна.
$\mathrm{BV}([a,b])$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}$	$=V_f([a,b])+{lim}_{x\to a^{+}}f(x)$	$V_f([a,b])$ је тотална варијација функције $f$
$\mathrm{NBV}([a,b])$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}$	$=V_f([a,b])$	$\mathrm{NBV}([a,b])$ се састоји од функција из $\mathrm{BV}([a,b])$ таквих да је ${lim}_{x\to a^{+}}f(x)=0$
$\mathrm{AC}([a,b])$	$𝔽+L^{\mathrm{\infty }}([a,b])$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}$	$=V_f([a,b])+{lim}_{x\to a^{+}}f(x)$	Изоморфан простору Собољева $W^{1,1}([a,b]).$
$C^n([a,b])$	$\mathrm{rca}([a,b])$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert f\Vert$	$=\sum _{i=0}^n\underset{x\in [a,b]}{sup}|f^{(i)}(x)|$	Изоморфан са ${ℝ}^n\oplus C([a,b]),$ суштински по Тејлоровој формули.