Хелмхолцова једначина

Хелмхолцова једначина је елиптична парцијална диференцијална једначина:

$(\mathrm{\Delta }+k^2)U=0$

где $\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2$ представља Лапласов оператор, $k$ је таласни број, а $U$ амплитуда. Нехомогена Хелмхолцова једначина је облика:

$(\mathrm{\Delta }+k^2)U=f$

Извод

Може се приметити да у Хелмхолцовој једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из таласне једначине:

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})u(𝐫,t)=0.$ (1)

Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену:

$u(𝐫,t)=A(𝐫)T(t).$ (2)

Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину:

$\frac{{\mathrm{\nabla }}^{2}A}{A}=\frac{1}{c^{2}T}\frac{d^{2}T}{d{t}^2}.$ (3)

Лева страна једначине (3) зависи само од просторних координата, а десна страна од времена. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:

$\frac{{\mathrm{\nabla }}^{2}A}{A}=-k^2$ (4)

и

$\frac{1}{c^{2}T}\frac{d^{2}T}{d{t}^2}=-k^2$ (5)

Преуређујући једначину (4) добијамо:

${\mathrm{\nabla }}^{2}A+k^{2}A=({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)A=0.$ (6)

а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције $\omega \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}kc$ добија се:

$\frac{d^{2}T}{d{t}^2}+{\omega }^{2}T=(\frac{d^2}{d{t}^2}+{\omega }^2)T=0,$

При томе -{k}- је таласни вектор, а ω је угаона фреквенција.

Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом променљивих

За Хелмхолцову једначину:

$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)A=0$ (7)

Лапласијан се у поларним координатама пише као:

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }A& =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial A}\left(r\frac{\partial A}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}A}{\partial {\varphi }^2}& =\frac{1}{r}\frac{\partial A}{\partial r}+\frac{{\partial }^{2}A}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}A}{\partial {\varphi }^2}.\end{array}$

Због тога једначина (7) постаје:

$\frac{1}{r}\frac{\partial A}{\partial r}+\frac{{\partial }^{2}A}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}A}{\partial {\varphi }^2}+(k^2)A=0$ (8)

Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:

$A(r,\theta )=R(r)\mathrm{\Theta }(\theta ),$

гдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:

${\mathrm{\Theta }}^{″}+n^2\mathrm{\Theta }=0,$ (9)

и

$r^2{R}^{″}+r{R}^{\prime }+r^2{k}^{2}R-n^{2}R=0.$ (10)

Решења од (9) и (10) су:

$\mathrm{\Theta }=\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,$

$R(r)=\gamma J_n(\rho ),$

где је $J_n(\rho )$ Беселова функција, која је решење Беселове једначине:

${\rho }^2{J_n}^{″}+\rho {J_n}^{\prime }+({\rho }^2-n^2)J_n=0,$

Тродимензионално решење у сферним координатама

У сферним координатама опште решење Хелмхолцове једначине је:

$A(r,\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(a_{\ell m}{j}_{\ell }(kr)+b_{\ell m}{y}_{\ell }(kr))Y_{\ell }^m(\theta ,\phi ).$

где су $j_{\ell }(kr)$ и $y_{\ell }(kr)$ сферне Беселове функције, а :$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )$ представља сферне хармонике.

Нехомогена Хелмхолцова једначина

Нехомогена Хелмхолцова једначина:

$(\mathrm{\Delta }+k^2)U=f$

рјешава се уз помоћ Гринове функције, односно:

${\mathrm{\nabla }}^{2}G(x)+k^{2}G(x)=\delta (x).$

Пошто је:

$(\mathrm{△}+k^2)\frac{1}{|x|}{e}^{ik|x|}=e^{ik|x|}\mathrm{△}\frac{1}{|x|}+2(\mathrm{grad}{e}^{ik|x|},\mathrm{grad}\frac{1}{|x|})+\frac{1}{|x|}\mathrm{△}{e}^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}{e}^{ik|x|}=$

$=-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+(-\frac{2ik}{|x{|}^2}+\frac{2ik}{|x{|}^2}-\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|})e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).$

онда је тродимензионална Гринова функција:

$G_1(x)=-\frac{e^{ik|x|}}{4\pi |x|},G_2=-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}.$

Горе написане једначине могу да се пишу у векторском облику као:

$(\mathrm{\Delta }+k^2)G(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=\delta (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime })$

а Гринова функција као:

$G(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=-\frac{\exp (\pm ik|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|)}{4\pi |\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}$

Решење нехомогене Хелмхолцове једначине се онда може приказати помоћу Гринове функције као: $U(\overrightarrow{r})=\int d^3{r}^{\prime }f({\overrightarrow{r}}^{\prime })G(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=-\int d^3{r}^{\prime }f({\overrightarrow{r}}^{\prime })\frac{\exp (\pm ik|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|)}{4\pi |\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}$

Литература

• -{Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.}-
• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Шаблон:Page1}-
• -{Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. Шаблон:Page1}-
• Хелмхолцове једначине