Сферна Беселова функција

Сферне Беселове функције $j_n$ и $y_n$ ($n_n$) представљају решења диференцијалне једначине:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2x\frac{dy}{dx}+[x^2-n(n+1)]y=0.$

тј. радијалне једначине, која се добија сепарацијом варијабли приликом решавања Хелмхолцове једначине у сферним координатама. Функције $j_n$ називају се сферним Беселовим функцијама прве врсте, а $y_n$ (или $n_n$) називају се сферним Беселовим функцијама друге врсте или сферним Нојмановим фукцијама.

Сферне Беселове функције прве врсте $j_n$(x) за n = 0, 1, 2

Дефиниција

Два линеарно независна решења горње диференцијалне једначине називају се сферне Беселове функције $j_n$ и $y_n$ ($n_n$), а са обичним Беселовим функцијама J_n and Y_n повезане су изразом:

$j_n(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{n+1/2}(x),$

$y_n(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{Y}_{n+1/2}(x)=(-1{)}^{n+1}\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{Y}_{-n-1/2}(x).$

$y_n$ се често означава са $n_n$ или η_n, и понекад се називају сферне Нојманове фукције.

Сферне Беселове функције могу да се напишу и као:

$j_n(x)=(-x{)}^n{\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)}^n\frac{\sin x}{x},$

$y_n(x)=-(-x{)}^n{\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)}^n\frac{\cos x}{x}.$

Приказ првих неколико сферних Беселових функција

Сферне Беселове функције друге врсте $n_n$(x), за n = 0, 1, 2

Неколико првих сферних Беселових функција прве врсте је:

$j_0(x)=\frac{\sin x}{x}$

$j_1(x)=\frac{\sin x}{x^2}-\frac{\cos x}{x}$

$j_2(x)=(\frac{3}{x^2}-1)\frac{\sin x}{x}-\frac{3\cos x}{x^2}$

$j_3(x)=(\frac{15}{x^3}-\frac{6}{x})\frac{\sin x}{x}-(\frac{15}{x^2}-1)\frac{\cos x}{x},$

и за функције друге врсте:

$y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\frac{\cos x}{x}$

$y_1(x)=j_{-2}(x)=-\frac{\cos x}{x^2}-\frac{\sin x}{x}$

$y_2(x)=-j_{-3}(x)=(-\frac{3}{x^2}+1)\frac{\cos x}{x}-\frac{3\sin x}{x^2}$

$y_3\left(x\right)=j_{-4}(x)=(-\frac{15}{x^3}+\frac{6}{x})\frac{\cos x}{x}-(\frac{15}{x^2}-1)\frac{\sin x}{x}.$

Релације ортогоналности

${\int }_0^1{x}^2{j}_{\alpha }(x{u}_{\alpha ,m})j_{\alpha }(x{u}_{\alpha ,n})dx=\frac{{\delta }_{m,n}}{2}[j_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m}){]}^2$

где је α > −1, δ_m,n Кронекерова делта функција, а u_α,m је m-ти корен (нула) функције of j_α(x). Релације ортогоналности служе да би се одредили коефицијенти развоја функција у сферни Беселов ред.

Друга релација ортогоналности је:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2{j}_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)dx=\frac{\pi }{2u^2}\delta (u-v)$

а ту је δ Диракова делта функција.

Асимптотски облик

$j_l(x)=\frac{1}{x}sin(x-\frac{l\pi }{2})\text{ za }x\gg l$

$n_l(x)=\frac{-1}{x}cos(x-\frac{l\pi }{2})\text{ za }x\gg l$

За случај када x тежи 0 добијају се следећи изрази:

$j_l(x)=\frac{x^l}{(2l+1)!!}(1-\frac{x^2}{2(2l+3)}+\mathrm{..})\text{ za }x\to 0$

$n_l(x)=\frac{(2l+1)!!}{(2l+1)}\frac{1}{x^{l+1}}(1+\frac{x^2}{2(2l-1)}+\mathrm{..})\text{ za }x\to 0$

Формуле рекурзије

$\begin{array}{cc}\frac{2l+1}{x}{j}_l& =j_{l-1}(x)+j_{l+1}(x)\\ j{\text{'}}_l(x)& =\frac{1}{2l+1}(l{j}_{l-1}(x)-(l+1)j_{l+1}(x))\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x{j}_l(x))& =x{j}_{l-1}(x)-l{j}_l(x)\end{array}$

Сличне рекурзије постоје и за сферну Нојманову функцију:

$\begin{array}{cc}\frac{2l+1}{x}{n}_l& =n_{l-1}(x)+n_{l+1}(x)\\ n{\text{'}}_l(x)& =\frac{1}{2l+1}(l{n}_{l-1}(x)-(l+1)n_{l+1}(x))\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x{n}_l(x))& =x{n}_{l-1}(x)-l{n}_l(x)\end{array}$.

Генерирајуће функције

Генерирајуће функције сферних Беселових функција су:

$\frac{1}{z}\cos \sqrt{z^2-2zt}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}{j}_{n-1}(z),$

$\frac{1}{z}\sin \sqrt{z^2+2zt}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-t{)}^n}{n!}{y}_{n-1}(z).$

Сферне Ханкелове функције h_n

Постоји и сферни аналог Ханкелових функција, које су комбинација сферних Беселових функција:

$h_n^{(1)}(x)=j_n(x)+i{y}_n(x)$

$h_n^{(2)}(x)=j_n(x)-i{y}_n(x).$

Појављују се у сферним проблемима распростирања таласа, као нпр. приликом мултиполнога развоја електромагнетскога таласа.

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:ISBN.}-