Сигнум функција

Сигнум функција

У математици, а посебно у информатици, сигнум функција је логичка функција која враћа знак реалног броја. Сигнум функција се често означава са sgn и може се дефинисати као:

$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ccc}-1& :& x<0\\ 0& :& x=0\\ 1& :& x>0\end{array}$

Сваки реалан број се може представити као производ његове апсолутне вредности и његове сигнум функције:

$x=(\mathrm{sgn}x)|x|.(1)$

Из једнакости (1) следи да, када год x није 0, имамо

$\mathrm{sgn}x=\frac{x}{|x|}(2)$

Сигнум функција је извод функције апсолутне вредности (осим у нули):

$\frac{d|x|}{dx}=\frac{x}{|x|}.$

Сигнум функција је диференцијабилна са изводом 0 свуда осим у 0. Није диференцијабилна у 0 у класичном смислу, али под генерализацијом диференцијала (погледати расподела), можемо рећи да је диференцијал сигнум функције два пута Диракове делта функције,

$\frac{d\mathrm{sgn}x}{dx}=2\delta (x).$

Сигнум функција је везана са Хевисајдовом одскочном функцијом -{h}-_1/2(x):

$\mathrm{sgn}x=2h_{1/2}(x)-1,$

где индекс 1/2 одскочне функције означава да је -{h}-_1/2(0) = 1/2.

Сигнум функција се може уопштити комплексним бројевима:

$\mathrm{sgn}z=\frac{z}{|z|}$

за свако -{z}- ∈ ℂ \ {0}.