Вигнеров 3-j симбол

Вигнеров 3-j симбол, такође зван и 3j симбол или 3-jm симбол повезан је са Клебш-Гордановим коефицијентима:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \equiv \frac{(- 1)^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3} + 1}} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} - m_{3} ⟩ .

Симетрије

Вигнеров 3-j симбол је инваријантан у случају парних пермутација ступаца (колона):

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{2} & j_{3} & j_{1} \\ m_{2} & m_{3} & m_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{3} & j_{1} & j_{2} \\ m_{3} & m_{1} & m_{2} \end{matrix}) .

У случају непарне пермутације колона добија се фазни фактор:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ m_{2} & m_{1} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ m_{1} & m_{3} & m_{2} \end{matrix}) .

Промјеном знака $m$ бројева добија се фазни фактор: $(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - m_{1} & - m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) .$ Постоје и 72 Регеове симетрије, које дају: $(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{1} & \frac{j_{2} + j_{3} - m_{1}}{2} & \frac{j_{2} + j_{3} + m_{1}}{2} \\ j_{3} - j_{2} & \frac{j_{2} - j_{3} - m_{1}}{2} - m_{3} & \frac{j_{2} - j_{3} + m_{1}}{2} + m_{3} \end{matrix}) .$

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} \frac{j_{2} + j_{3} + m_{1}}{2} & \frac{j_{1} + j_{3} + m_{2}}{2} & \frac{j_{1} + j_{2} + m_{3}}{2} \\ j_{1} - \frac{j_{2} + j_{3} - m_{1}}{2} & j_{2} - \frac{j_{1} + j_{3} - m_{2}}{2} & j_{3} - \frac{j_{1} + j_{2} - m_{3}}{2} \end{matrix}) .

Релације ортогоналности

(2 j + 1) \sum_{m_{1} m_{2}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ m_{1} & m_{2} & m \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j^{'} \\ m_{1} & m_{2} & m^{'} \end{matrix}) = δ_{j j^{'}} δ_{m m^{'}} .

\sum_{j m} (2 j + 1) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ m_{1} & m_{2} & m \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ {m_{1}}^{'} & {m_{2}}^{'} & m \end{matrix}) = δ_{m_{1} {m_{1}}^{'}} δ_{m_{2} {m_{2}}^{'}} .

\sum_{m_{1} m_{2} m_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = 1 .

Инверзна релација

Инверзна релација добија се супституцијом $m_{3} \to - m_{3}$ : $m_{3} \to - m_{3}$

⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} m_{3} ⟩ = (- 1)^{- j_{1} + j_{2} - m_{3}} \sqrt{2 j_{3} + 1} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) .

Скаларна инваријантност

Следећи продукт три ротациона стања са 3-j симболом је иваријантан на ротације:

\sum_{m_{1} = - j_{1}}^{j_{1}} \sum_{m_{2} = - j_{2}}^{j_{2}} \sum_{m_{3} = - j_{3}}^{j_{3}} | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ | j_{3} m_{3} ⟩ (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}),

Селекциона правила

Вигнеров 3-j симбол није једнак 0 само ако су задовољена следећа селекциона правила:

m_{1} + m_{2} + m_{3} = 0

j_{1} + j_{2} + j_{3}

цели број

| m_{i} | \leq j_{i}

| j_{1} - j_{2} | \leq j_{3} \leq j_{1} + j_{2}

.

Веза са сферним хармоницима и Лежандровим полиномима

Интеграл три сферна хармоника дат је преко 3-jm симбола:

\begin{matrix} \int Y_{l_{1} m_{1}} (θ, φ) Y_{l_{2} m_{2}} (θ, φ) Y_{l_{3} m_{3}} (θ, φ) \sin θ d θ d φ \\ = \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1) (2 l_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \end{matrix}

где су $l_{1}$ , $l_{2}$ and $l_{3}$ цели бројеви. Сличан израз постоји за спинске сферне хармонике:

\begin{matrix} \int d \hat{𝐧}_{s_{1}} Y_{j_{1} m_{1}} (\hat{𝐧})_{s_{2}} Y_{j_{2} m_{2}} (\hat{𝐧})_{s_{3}} Y_{j_{3} m_{3}} (\hat{𝐧}) \\ = \sqrt{\frac{(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1) (2 j_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - s_{1} & - s_{2} & - s_{3} \end{matrix}) \end{matrix}

Рекурзивне релације

Рекурзивне релације за $m$ коефицијенте:

\begin{matrix} - \sqrt{(l_{3} \mp s_{3}) (l_{3} \pm s_{3} + 1)} (\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ s_{1} & s_{2} & s_{3} \pm 1 \end{matrix}) \\ = \sqrt{(l_{1} \mp s_{1}) (l_{1} \pm s_{1} + 1)} (\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ s_{1} \pm 1 & s_{2} & s_{3} \end{matrix}) + \sqrt{(l_{2} \mp s_{2}) (l_{2} \pm s_{2} + 1)} (\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ s_{1} & s_{2} \pm 1 & s_{3} \end{matrix}) \end{matrix}

Рекурзивне релације за $j$ коефицијенте:

\begin{matrix} (2 j_{1} + 1) ((j_{2} (j_{2} + 1) - j_{3} (j_{3} + 1)) m_{1} - j_{1} (j_{1} + 1) (m_{3} - m_{2})) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \\ = (j_{1} + 1) {(j_{1}^{2} - (j_{2} - j_{3})^{2})}^{\frac{1}{2}} {((j_{2} + j_{3} + 1)^{2} - j_{1}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(j_{1}^{2} - m_{1}^{2})}^{\frac{1}{2}} (\begin{matrix} j_{1} - 1 & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \\ + j_{1} {((j_{1} + 1)^{2} - (j_{2} - j_{3})^{2})}^{\frac{1}{2}} {((j_{2} + j_{3} + 1)^{2} - (j_{1} + 1)^{2})}^{\frac{1}{2}} {((j_{1} + 1)^{2} - m_{1}^{2})}^{\frac{1}{2}} (\begin{matrix} j_{1} + 1 & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \end{matrix}

Асимптотски изрази

За $l_{1} ≪ l_{2}, l_{3}$ веће од нула 3-j симбол је:

(\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \approx (- 1)^{l_{3} + m_{3}} \frac{d_{m_{1}, l_{3} - l_{2}}^{l_{1}} (θ)}{\sqrt{2 l_{3} + 1}}

где је $\cos (θ) = - 2 m_{3} / (2 l_{3} + 1)$ и $d_{m n}^{l}$ је мала Вигнерова функција. Боља апроксимација добија се помоћу Реге симетрија:

(\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \approx (- 1)^{l_{3} + m_{3}} \frac{d_{m_{1}, l_{3} - l_{2}}^{l_{1}} (θ)}{\sqrt{l_{2} + l_{3} + 1}}

где је $\cos (θ) = (m_{2} - m_{3}) / (l_{2} + l_{3} + 1)$ .

Остала својства

\sum_{m} (- 1)^{j - m} (\begin{matrix} j & j & J \\ m & - m & 0 \end{matrix}) = \sqrt{2 j + 1} δ_{J 0}

\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} P_{l_{1}} (x) P_{l_{2}} (x) P_{l} (x) d x = {(\begin{matrix} l & l_{1} & l_{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{2}

Израчунавање

Општи израз за Вигнеров 3-j симбол је подоста компликован:

\begin{matrix} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - m_{1} & - m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) = & \frac{(j_{1} + j_{2} - j_{3})! (j_{1} - j_{2} + j_{3})! (- j_{1} + j_{2} + j_{3})!}{(j_{1} + j_{2} + j_{3} + 1)!} \times \\ [(j_{1} + m_{1})! (j_{1} - m_{1})! (j_{2} + m_{2})! (j_{2} - m_{2})! (j_{3} + m_{3})! (j_{3} - m_{3})!]^{\frac{1}{2}} \times \\ \sum_{z = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{z + j_{1} + j_{2} - m_{3}}}{z! (j_{1} + j_{2} - j_{3} - z)! (j_{1} - m_{1} - z)! (j_{2} - m_{2} - z)! (j_{3} - j_{2} + m_{1} + z)! (j_{3} - j_{1} - m_{2} + z)!} \end{matrix}

Формула за једноставније коефицијенте

(\begin{matrix} j & j & 0 \\ m & - m & 0 \end{matrix}) = \frac{(- 1)^{j - m}}{(2 j + 1)^{\frac{1}{2}}}

(\begin{matrix} j & j & 1 \\ m & - m & 0 \end{matrix}) = (- 1)^{j - m} \frac{2 m}{{(2 j (2 j + 1) (2 j + 2))}^{\frac{1}{2}}}

За $j_{3} = 1 / 2$ :

(\begin{matrix} j + \frac{1}{2} & j & \frac{1}{2} \\ m & - m - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}) = (- 1)^{j - m - \frac{1}{2}} [\frac{j - m - \frac{1}{2}}{(2 j + 1) (2 j + 2)}]^{\frac{1}{2}}

За $j_{3} = 1$ :

(\begin{matrix} j + \frac{1}{2} & j & \frac{1}{2} \\ m & - m - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}) = (- 1)^{j - m - \frac{1}{2}} [\frac{j - m - \frac{1}{2}}{(2 j + 1) (2 j + 2)}]^{\frac{1}{2}}

За $j_{3} = 3 / 2$ :

(- 1)^{j - m + \frac{1}{2}} (\begin{matrix} j_{1} & j & \frac{3}{2} \\ m & - m - m_{3} & m_{3} \end{matrix})


$j_{1} =$	$m_{3} = \frac{1}{2}$
$j + \frac{1}{2}$	$- (j + 3 m + \frac{3}{2}) [\frac{j - m + \frac{1}{2}}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + \frac{3}{2}$	$- [\frac{3 (j - m + \frac{1}{2}) (j - m + \frac{3}{2}) (j + m + \frac{3}{2})}{(2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$
$j_{1} =$	$m_{3} = \frac{3}{2}$
$j + \frac{1}{2}$	$[\frac{3 (j - m - \frac{1}{2}) (j - m + \frac{1}{2}) (j + m + \frac{3}{2})}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + \frac{3}{2}$	$- [\frac{(j - m - \frac{1}{2}) (j - m + \frac{1}{2}) (j - m + \frac{3}{2})}{(2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$

За $j_{3} = 2$ :

(- 1)^{j - m} (\begin{matrix} j_{1} & j & 2 \\ m & - m - m_{3} & m_{3} \end{matrix})


$j_{1} =$	$m_{3} = 0$
$j$	$\frac{2 [3 m^{2} - j (j + 1)]}{[(2 j - 1) 2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)]^{\frac{1}{2}}}$
$j + 1$	$- 2 m [\frac{6 (j + m + 1) (j - m + 1)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 2$	$[\frac{6 (j + m + 2) (j + m + 1) (j - m + 2) (j - m + 1)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4) (2 j + 5)}]^{\frac{1}{2}}$
$j_{1} =$	$m_{3} = 1$
$j$	$(1 + 2 m) [\frac{6 (j + m + 1) (j - m)}{(2 j - 1) 2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 1$	$- 2 (j + 2 m + 2) [\frac{(j - m + 1) (j - m)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 2$	$2 [\frac{(j + m + 2) (j - m + 2) (j - m + 1) (j - m)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4) (2 j + 5)}]^{\frac{1}{2}}$
$j_{1} =$	$m_{3} = 2$
$j$	$[\frac{6 (j - m - 1) (j - m) (j + m + 1) (j + m + 2)}{(2 j - 1) 2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 1$	$- 2 [\frac{(j - m - 1) (j - m) (j - m + 1) (j + m + 2)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4)}]^{\frac{1}{2}}$
$j + 2$	$[\frac{(j - m - 1) (j - m) (j - m + 1) (j - m + 2)}{2 j (2 j + 1) (2 j + 2) (2 j + 3) (2 j + 4) (2 j + 5)}]^{\frac{1}{2}}$

Литература

3ј, 6ј и 9ј симболи
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Шаблон:Page1
Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton. Шаблон:Page1
Messiah, Albert , Quantum Mechanics (Volume II) Шаблон:Cite book.

Шаблон:Нормативна контрола

Вигнеров 3-j симбол

Садржај

Симетрије

Релације ортогоналности

Инверзна релација

Скаларна инваријантност

Селекциона правила

Веза са сферним хармоницима и Лежандровим полиномима

Рекурзивне релације

Асимптотски изрази

Остала својства

Израчунавање

Формула за једноставније коефицијенте

Литература

Мени за навигацију

Вигнеров 3-j симбол

Симетрије

Релације ортогоналности

Инверзна релација

Скаларна инваријантност

Селекциона правила

Веза са сферним хармоницима и Лежандровим полиномима

Рекурзивне релације

Асимптотски изрази

Остала својства

Израчунавање

Формула за једноставније коефицијенте

Литература

Мени за навигацију

Претрага