Увод у квантну механику

Шаблон:Sidebar with collapsible lists Кретање. На први поглед, нешто сасвим незанимљиво и тривијално. Људи су проучавали кретање хиљадама година, али су га тек 1687. године, када је Исак Њутн формулисао своја три закона, почели дубље разумевати. Њутнови закони кретања били су толико испред свог времена да неки физичари данашњице и даље сматрају Њутна револуционаром у физици. Али чак ни Њутнови закони нису савршени, па се 1905. појавила специјална теорија релативности, која изврсно описује кретања предмета јако великим брзинама, коју је формулисао Алберт Ајнштајн. Но још се једна теорија почела развијати у то време. Теорија која је из корена променила наш доживљај стварности. 1900. године, постављен је камен темељац квантне механике.

Квантна механика бави се предметима из такозваног микросвета, попут честица и атома, који се не понашају попут предмета „класичних” димензија из такозваног макросвета какве обично сусрећемо те их класична физика не може ни описати.

Ако се у било ком тренутку budete mučili да схватите неки необични феномен, не брините, нисте једини. Ричард Фајнман, један од најистакнутијих научника квантне механике, једном је рекао:

Порекло квантне механике

Квантизација енергије

Шаблон:Glavni Шаблон:Цитат Ова се реченица често приписује славном шкотском физичару Вилијаму Томсону (познатијем под именом Лорд Келвин). Он вероватно никада није изговорио те речи, али тај цитат несумњиво приказује мишљење физичара с почетка 20. века. Теорије класичне физике испитане су много пута и чинило се како адекватно описују стварност. Тек се касније, кад су се те теорије почеле редом распадати, схватило колико је Томсон био у криву. Први феномен који класична физика није успела да објасни зове се зрачење црног тела.

Врућ метал
Наранџаста боја је део топлотног електромагнетног зрачења које се емитује због високе температуре. Све остало на слици такође емитује електромагнетно зрачење, но на фреквенцијама које људско око не види. Камера осетљива на далеко-инфрацрвени спектар може детектовати и то зрачење.

Како бисмо разумели тај феномен морамо знати да сва тела у свемиру емитују енергију у облику електромагнетног зрачења (светлости). Количина енергије коју тело емитује зависи од више фактора, као што су нпр. температура или боја тела. Што је већа температура тела, већа је и просечна фреквенција (и тиме енергија) светлости коју то тело емитује. Разлог зашто не видимо светлост је тај што тела при собној температури најчеšće емитују светлост са инфрацрвеног дела спектра које голо око не може опазити. Метали емитују видљиву светлост при топљењу, кад им температура достигне неколико стотина степени Целзијуса, што нам омогућава да их видимо како светле.

Физичари 19. века покушали су да установе спектрални састав који тело емитује у односу на температуру. Како би им то успело, користили су поједностављени модел тела – црно тело. Црно тело је хипотетичко тело које мора да испуњава следећа два услова:

1. Црно тело апсорбује све електромагнетно зрачење које га погоди (друга тела апсорбују само одређени део целог спектра, а остатак рефлектују).
2. Црно тело мора остати у температурној равнотежи са околином (тј. мора имати исту температуру као и друга тела у истом систему).

Ови услови осигуравају да спектар који црно тело емитује одређује само његова температура. Међутим, када су физичари покушали да утврде састав таквог спектра помоћу класичне физике, добијени резултат се уопште није подударао са стварношћу.

Према класичној физици, црно тело ће емитовати исту количину светлости сваке фреквенције. Међутим, што је већа фреквенција светлости, више енергије светлост има. Црно би тело стога емитовало бесконачне количине енергије у облику високе фреквенције зрачења. То, међутим, има страшне последице – класична физика тиме у основи наводи да би апсолутно сваки предмет у свемиру требало одједном да емитује сву своју енергију у облику ултраљубичасте светлости. Срећом, свемир не функционише на тај начин, јер у супротном не би било нас.

Та спознаја била је велика прекретница за развој модерне науке. Физичари су најзад, нерадо, били присиљени да признају да је класична теорија једноставно погрешна. Данас имамо прикладан назив за овај велики неуспех класичне физике – ултраљубичаста катастрофа.

Квантовањем енергије хармонијских осцилатора, немачки физичар Макс Планк је решио проблем зрачења црног тела те је решење 14. децембра 1900. године представио члановима Немачког физичког друштва. Овај се датум често узима као почетак квантне механике јер је тада по први пут квантована нека физичка величина. Планк је дошао на идеју да тела не емитују стално електромагнетно зрачење, већ емитују мале „пакетиће” – кванте.

Величина кванта дефинисана је Планковом једначином: $E=h\cdot f$ (h = 6,626 · 10⁻³⁴ Js)

Електромагнетни талас се у суштини може схватити као скуп врло малих „пакетића” енергије (кванта) чија укупна енергија одређује енергију самог таласа.

Величина кванта одређена је за сваку фреквенцију. Из горње једначине очигледно је да је зрачење више фреквенције састављено од већих кваната него зрачење ниже фреквенције. Ово решава проблем зрачења црног тела – црном телу је све теже да емитује зрачење виших фреквенција јер не може „нахранити” кванте високих енергија, па се држи нискоенергетске светлости. Квантовање енергије је тек увод у цео нови свет физике. Оно представља темељно правило у квантној механици.

Боров модел атома

Боров модел атома који приказује највећи број електрона по љускама.

Шаблон:Glavni Замислите да имате предмет који почнете да делите на све мање и мање делове. Да ли бисте могли предмет тако делити заувек, или бисте дошли до чудесних, недељивих градивних материја? Већ су старогрчки мислиоци тражили одговор на то питање и дошли до тачног закључка: сва материја у свемиру сачињена је од врло малих „зрна” која су назвали атомима (грч. atomos = недељив).

Касније, кад су научници наводно открили те градивне материје, преузели су грчки назив. Тада је откривено како атоми нису недељиви, него се састоје од још мањих честица: позитивно наелектрисаних протона, негативно наелектрисаних електрона и ненаелектрисаних неутрона. Међутим, постојала је одређена несигурност у вези са атомском структуром, коју су физичари с почетка 20. века покушавали да разреше.

Године 1911., Ернест Радефорд је предложио планетарни модел атома. Према том моделу, сваки атом се састоји од позитивно наелектрисаног језгра око којег круже негативно наелектрисани електрони попут планета око звезде. Међутим, овај модел има једну велику ману – када би се атоми понашали у складу са моделом, били би изузетно нестабилни јер би електрони емитовали сву своју енергију због сталног убрзања те би готово одмах упали у језгро.

Дански физичар Нилс Бор 1913. године представио је свој модел атома. Боров модел је веома сличан Радефордовом планетарном моделу, међутим, Бор је утврдио три правила којих се потребно строго држати како би атом остао стабилан:

1. Електрони круже око језгра пратећи кружне орбитале без емисије светлости.
2. Орбитале нису на произвољним удаљеностима од језгра, већ на „дозвољеним” енергетским нивоима који су умношци редуковане Планкове константе (редукована Планкова константа има вредност Планкове константе подељене са 2π). Из овог феномена видљиво је како се квантовање може применити и на предмете који имају масу (у овом случају електрони).
3. Електрони могу скакати са једне орбитале на другу. Кад скаче са орбитале није енергије на орбиталну више енергије, електрон апсорбује квант светлости (фотон). Овај се процес назива побуђивање (ексцитација). Електрони који су прешли на вишу орбиталну називају се побуђеним електронима. Насупрот томе, кад електрон скочи на орбиталу ниже енергије, он отпушта квант светлости. Електрони који су на свом основном нивоу су у основном стању.

Емисионе спектралне линије водоника. Кад је побуђен енергијом, атом водоника емитује кванте електромагнетног зрачења (светлости) на овим таласним дужинама (као и на бројним таласним дужинама инфрацрвеног и ултраљубичастог спектра).

Уз помоћ Боровог модела лако је објаснити постојање такозваних спектралних линија. Спектрална линија је тамна или светла линија која ремети иначе континуирани след електромагнетног спектра. На пример, ако изложимо атом (узмимо за пример атом хелијума) целом спектру, део спектра ће бити филтриран након интеракције са атомом јер одређене фреквенције у спектру имају управо онај износ енергије који хелијумовим електронима треба како би прешли на виши енергетски орбитални ниво. Као последица, тај се део спектра апсорбује. Ови поремећаји континуираног спектра називају се апсорпционе линије. Хелијумови електрони не могу апсорбовати остатак спектра јер се енергија коју требају не подудара са енергијом тих делова спектра. Ипак, зрачење које је електрон апсорбовао након неког времена се емитује, што се дешава кад електрон сиђе са орбитале са вишом енергијом назад у ону мање енергије када се стварају емисионе линије. Емисионе и апсорпционе линије јединствене су за сваки хемијски елемент. Ова чињеница помаже у одређивању састава узаљених свемирских објеката – научници усмере телескопе на неки удаљени свемирски објекат и утврде његов хемијски састав на основу спектралних линија које примају.

Но чак ни Боров модел није савршен, па се убрзо након објаве заменио тачнијим моделом – квантномеханичким моделом. Упркос својим недостацима, Боров модел и даље представља важан прелаз из класичне у квантну механику, јер примењује Планков закон о квантовању на атоме.

Таласно-честични дуализам

Дифракциона слика светлости која пролази кроз једну пукотину (горе) и кроз обе пукотине (доле). Комплекснија испрекидана слика са доње слике демонстрира ширење светлости као таласа.

Физичари са свих крајева света вековима су водили битку о природи светлости и међу њима су постојале две главне групе. Прва је група веровала да је светлост талас, док је друга група веровала да електромагнетно зрачење (светлост) има честичну природу. Но, квантна механика нам је доказала да ни једна група није била потпуно у праву, и да је прави одговор много необичнији и компликованији него што су га мислиоци икад могли замислити.

Јангов експеримент

Јангов цртеж дифракције два таласа

Шаблон:Glavni Јангов експеримент, познат и као експеримент са двоструком пукотином је релативно једноставан експеримент с почетка 19. века како би се доказало да светлост показује и таласна својства. Експеримент користи два својства сваког таласа:

1. Ако талас наиђе на препреку са малим отвором, талас се савија. Овај се феномен назива дифракција. Величина отвора мора бити слична таласној дужини таласа како би дифракција била могућа
2. Када се сусретну два таласа не сударе се, већ се међусобно ослабе или ојачају у зависности од амплитуде („висине”) сваког од таласа. Тај се феномен назива интерференција таласа. На пример, кад се сусретну два таласа супротних амплитуда („брег” једног таласа сусреће „дољу” другог), међусобно се пониште. Ако се таласи ослабе или пониште, говоримо о деструктивној интерференцији. Супротна томе је конструктивна интерференција (таласи се међусобно ојачавају)

У Јанговом експерименту користе се две пукотине на врло малим растојањима. Светлост пролази кроз обе пукотине и шири се по медијуму иза отвора уз помоћ дифракције. Због малог растојања између пукотина, таласи међусобно интерферирају. Ако у медијум сместимо уређај који детектује положај појединачних зрака светлости, ствара се посебна, такозвана интерференциона слика, која се састоји од светлих и тамних пруга. Светле пруге појављују се када се догађа конструктивна интерференција (таласи се ојачавају, чиме се на тим местима повећава интензитет светлости), тамне пруге узрокује деструктивна интерференција (таласи се поништавају, чиме се смањује интензитет светлости). Кад светлост не би имала таласна својства, не би било интерференције, а тиме ни створене слике.

Јангов експеримент доказује нам таласну природу ЕМ зрачења. Оригинална верзија овог експеримента није повезана са квантном механиком, али уз мало прилагођавања, веома је лако доказати неке необичне феномене микросвета.

Фотоелектрични ефекат

Фотоелектрични ефекат: кванти светлости или фотонови падају слева на металну плочу те у њој електронима везаним за језгра или онима који се слободно крећу дају довољно енергије за напуштање површине метала. Из плоче тече струја електрона, а плоча се позитивно наелектрише.

Шаблон:Glavni Према Боровом моделу атома електронима је потребна енергија како би прешли на орбитале виших енергија. Но, ако електрон апсорбује енергију таласа довољно високе фреквенције понекад је та енергија довољна како би електрон могао у потпуности напустити атом. Овај феномен, кад електрони напуштају електронски облак атома, назива се фотоелектрични ефекат. Електрони који су на тај начин отпуштени називају се фотоелектронима.

Замислимо експеримент у којем електрони у атому бивају осветљени те неки електрони напуштају атом и постају фотоелектрони. Према класичној физици енергија фотоелектрона зависи од јачине светлости јер се претпоставља да су интензитет ЕМ зрачења и енергија ЕМ таласа пропорционални. Но, та зависност није уочена. Експериментално је доказано да енергија фотоелектрона зависи само од фреквенције зрачења. Такође, уочено је како постоји и гранична фреквенција - ако електроне осветлимо фреквенцијом мањом од граничне електрони неће напустити атом без обзира на јачину зрачења. Класична физика не може објаснити овај феномен.

Јангов експеримент убедљив је доказ да је светлост талас.

Али, како бисмо објаснили фотоелектрични ефекат светлост морамо посматрати као скуп честица. Електрони не апсорбују електромагнетне таласе, како предвиђа класична механика. Уместо тога, апсорбују честице светлости, фотоне. Фотони се могу поистоветити са Планковим квантима енергије. Ајнштајн је први схватио честичну природу ових кваната, па је први успео да адекватно објасни фотоелектрични ефекат.

Ако светлост схватимо као ток честица, фотоелектрични ефекат може се лако објаснити: повећање интензитета зрачења повећава број фотона (кваната) у ЕМ таласу али појединачни фотон и даље носи исту количину енергије. Ако појачамо интензитет светлости, енергија фотоелектрона не мења се, јер према трећем Боровом правилу електрони могу апсорбовати само један фотон. Међутим, повећањем интензитета светлости, број фотоелектрона се повећава, јер појединачни електрон има више фотона које може апсорбовати.

Кад бисмо желели да повећамо енергију самих фотоелектрона морали бисмо да повећамо енергију појединачних фотона. То бисмо могли остварити повећањем фреквенције зрачења, што је очигледно из Планкове једначине $E=h\cdot f$ (E је енергија фотона). Квантна механика нам такође може објаснити граничну фреквенцију. Појединачни фотони нискофреквентног зрачења немају довољно енергије како би ослободили електрон. Према томе, фотоелектрични ефекат се не догађа.

Алберт Ајнштајн такође је заслужан за формулу којом се израчунава импулс фотона (λ је таласна дужина):

$p=\frac{h}{\lambda }$

Кад електрон апсорбује фотон он преузме сву његову енергију. Део енергије користи се како би се електрон одвојио од атома (електрон врши рад W), док се преостала енергија претвара у кинетичку енергију електрона. Енергија фотоелектрона се може изразити као:

$E=W+\frac{m{v}^2}{2}$

Док Јангов експеримент убедљиво демонстрира таласну природу светлости, фотоелектрични ефекат посматра светлост као ток честица. Према томе, електромагнетно зрачење има двојну природу: и таласну и честичну.

Материјални талас

Након појашњења необичних својстава светлости у облику таласно-честичног дуализма, године 1924. млади француски физичар Луј де Број предлаже веома смелу хипотезу: дуалност није особина само светлости, већ сваког предмета у свемиру. Другим речима, де Број претпоставља да је све у свемиру, укључујући предмете са масом, окружено врстом таласа, попут фотона. Није изненађујуће да та револуционарна хипотеза није позитивно прихваћена. Противници хипотезе је оспоравају тврдећи да се материја не понаша ни приближно као таласи.

Напослетку је ипак доказано да је де Број био у праву и да такозвани материјални талас заиста постоји. Његово постојање може се потврдити, између осталог, Јанговим експериментом. Кад се експеримент са двоструком пукотином спроводи са честицама које имају масу (на пример са електронима), ствара се интерференциони узорак, који потврђује де Бројеву хипотезу. Однос импулса (количине кретања) предмета и таласне дужине његовог материјалног таласа исказан је следећом једначином:

$\lambda =\frac{h}{p}$

Једначина нам показује како су таласна дужина материјалног таласа и количина кретања обрнуто пропорционални. Другим речима, што је предмет масивнији, мања је таласна дужина његовог материјалног таласа. То је разлог зашто предмети из макросвета не показују обележја таласа. Материјални таласи великих предмета имају веома мале таласне дужине, па таласну природу великих предмета не можемо доказати Јанговим експериментом, јер би величина прореза и њихово растојање били много мањи од самог предмета.

У квантној механици, светлост и предмети су двојне природе. Понекад се исказује њихова таласна природа, а понекад честична. Ова револуционарна идеја је основа квантне механике.

Таласна функција

Шаблон:Glavni Недуго после де Бројеве хипотезе, завшио се период старе квантне механике (1900–1925). Главни принципи старе квантне механике су квантовање енергије и таласно-честични дуализам. Од 1925. године се бавимо модерном квантном механиком.

Аустријски физичар Ервин Шредингер 1925. године је прилагодио де Бројеву непрецизну теорију, доделивши сваком квантном телу припадајућу таласну функцију. Временски и просторни развој таласне функције описан је Шредингеровом једначином. Таласна функција означава се великим или малим грчким словом пси: Ψ, ψ
Таласна функција је сложена математичка функција која садржи сва својства неког предмета (импулс, положај...). Тај скуп својстава квантног објекта назива се квантно стање. Квантно стање се обележава као: $|\psi ⟩$
Таласна функција је вероватно најважнија идеја квантне механике, јер се сви феномени модерне квантне механике могу извести из ње. Неки од тих феномена, поготово принцип квантне суперпозиције, толико су различити од било чега из макросвета да нам је често веома тешко да поверујемо у њих, а камоли да их разумемо.

Квантна суперпозиција

Шаблон:Glavni Већ при објашњавању феномена старе квантне механике, постало је очигледно да се феномени из макросвета не могу применити и на микросвет. Једно од главних правила макросвета је да сваки предмет има само један положај и једну брзину. Другим речима, немогуће је путовати из Немачке у Британију брзином од 100 km/h док истовремено летите из Европе према Аустралији осмоструко већом брзином. Зачуђујуће, ово се не односи на квантни свет, па предмети из микросвета могу бити на више места одједном, у више стања одједном!

При извођењу Јанговог експеримента, интерференциони узорак ствара се једино кад талас (таласна функција) из једне пукотине интерферира са таласом из друге пукотине. Кад бисмо послали таласе (електромагнетне или материјалне) само кроз једну пукотину, узорак се не би појавио, што се може и очекивати. Замислимо да спроводимо експеримент са двоструком пукотином са честицама које имају масу, попут протона, али уз малу разлику – пуштамо их једног по једног, тако да таласне функције појединачних протона не могу интерферирати. Овде ће се појавити интерференциони узорак.

Цела класична физика базира се на идеји такозваног детерминизма. Основни принцип детерминизма је тај да је будућност предвидљива, а једина ствар која је потребна за предвиђање будућности јесте да имамо довољно информација о садашњости. На пример, можемо предвидети следеће помрачење Сунца ако имамо довољно информација о кретању Месеца. Цела детерминистичка физика се заснива на том принципу. Још једна идеја детерминизма је да једнаки услови увек дају једнаке резултате. На пример, кад бисмо испалили два једнака метка из пиштоља под једнаким условима (у истом смеру, под истом температуром, и сл.), оба метка би погодила исто место. Међутим, квантни свет се понаша потпуно другачије. Кад бисмо испаљивали електроне уместо метака (из хипотетичког електронског пиштоља), сваки електрон би могао да погоди различито место, и сваки би могао имати другачију брзину, иако су почетни услови били једнаки.

Необично понашање протона у претходном примеру, и електрона у овом примеру су последица кључног феномена квантне механике – принципа квантне суперпозиције. Квантна суперпозиција наводи да предмет који не посматрамо постоји у свим могућим стањима, одједном – у суперпозицији. Та суперпозиција је комбинација свих стања у којима предмет теоретски може бити. Ово значи да честица коју не посматрамо може имати више брзина одједном и бити на више места одједном.

Ово звучи веома необично, али ако у обзир узмемо таласну функцију, суперпозиција почиње да има смисла. Узмимо на пример положај неког предмета. Таласна функција може се замислити као апстрактни математички талас који у потпуности окружује предмет. Као што смо пре навели, таласна функција садржи сва својства неког предмета, па положај таласне функције одређује положај самог предмета. Ово, међутим, ствара проблем. Сетите се како талас не остаје локализован у простору, већ се стално шири. Ово својство таласа може се применити и на таласну функцију. Из тога се може закључити да докле год постоји таласна функција неког предмета, положај тог предмета (и наравно, друга својства) није потпуно дефинисан и предмет се заправо налази свуда где му се налази таласна функција. Кажемо да предмет има више сопствених стања (Шаблон:Јез-енг). Да би такав предмет имао јасно одређен положај, таласна функција мора „нестати”. Како се то постиже? Једноставно посматрањем.

Кад се квантни објекат посматра, догађа се такозвани колапс таласне функције. Колапс значи редукцију таласне функције у једно сопствено стање (један положај, једну брзину...). Колапс таласне функције осигурава да се никада не види предмет савише брзина или положаја одједном, јер се суперпозиција „руши” посматрањем. Чин посматрања не само да одређује својства квантног предмета, већ им даје мерљиву вредност! То значи да одређујемо будућност предмета чистим посматрањем предмета (тј. мерењем његових својстава).

Но, преостаје нам једно важно питање: како предмет одређује у ком је сопственом стању при посматрању? Процес се заснива на вероватноћи. Вероватноћу да предмет заузме неко сопствено стање одређује његова таласна функција. Таласна се функција стога назива још и талас вероватноће (the probability wave). Из сваке таласне функције може се израчунати комплексни број, такозвана амплитуда вероватноће (probability amplitude), која нам помаже да одредимо вероватноћу одређеног сопственог стања. Вероватноћа да квантни предмет заврши у неком сопственом стању одређује се као квадрат апсолутне вредности амплитуде вероватноће. Ако је нека вероватноћа 50%, амплитуда вероватноће тог процеса је $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Хајзенбергов принцип неодређености

Шаблон:Glavni Хајзенбергов принцип неодређености или релације неодређености представљају било коју верзију неједнакости која говори о фундаменталном ограничењу спознаје вредности комплементарних физичких величина. То значи да нам ограничавају прецизност којом можемо мерити или знати нешто о физичким величинама које посматрамо.

Први такав принцип увео је 1927. године немачки физичар Вернер Хајзенберг, а формулисан је за физичке величине положаја и импулса (количине кретања): што тачније познајемо положај, мање можемо познавати импулс - и обрнуто. Оригинално, Хајзенберг је своје релације изразио преко матричне механике (коју је осмислио као двадесетдвогодишњак, за потребе квантне механике, 1925. године када се повукао на острво Хелголанд да би избегао јаке алергијске нападе од којих је патио), тј. преко комутационих релација:

$[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash$

Где су $\hat{x}$ и $\hat{p}$ оператори положаја и импулса, а $\hslash$ редукована Планкова константа.

Када се неједнакост изрази преко стандардне девијације, као што су то урадили Ерл Хесе Кенард и Херман Вајл, постаје јасније да је реч о ограничавању знања о положају и импулсу:

${\sigma }_x{\sigma }_p\ge \frac{\hslash }{2}$

Где су ${\sigma }_x$ и ${\sigma }_p$ стандардне девијације положаја и импулса, односно „неодређеност” у положају и импулсу. Отуда и назив „неодређеност”. Популарни приказ оваквих релација је:

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$

Но шта то тачно за нашу честицу? На то питање не постоји једнозначан одговор, али најшире прихваћено тумачење ових релација је Копенхагенска интерпретација која каже да је реч о фундаменталном ограничењу које говори да честица нема истовремено положај и импулс (дакле, не само да их не можемо мерити, него их нема). Нпр. ако је честица у таквом стању у којем има тачно одређен импулс, она нема положај (положај јој можемо одредити као вероватноћу да се нађе у неком простору). Овде се уочава драстична разлика између класичне и квантне механике. У класичној механици положај и импулс (или брзина) су дефинисани у сваком тренутку и не постоји разлог зашто нека честица, у класичној физици, не би могла имати дефинисане те две вредности. Може нам се догодити да их не можемо експериментално довољно прецизно одредити, али оне постоје. У квантној механици класичан концепт честице, која се креће трајекторијом, мора бити одбачен управо због релација неодређености - пошто таква честица не може имати трајекторију (трајекторија би имплицирала тачно одређен положај и импулс у сваком тренутку).

Са друге стране, постоје интерпретације које тврде да, иако никада нећемо моћи да одредимо тачан положај и импулс, такве вредности постоје и честица их има у сваком тренутку. Једна од таквих интерпретација је и де Број — Бомова интерпретација квантне механике, која је један од озбиљнијих кандидата за квантну теорију.

Важне релације неодређености

Осим споменутих релација неодређености између положаја и импулса, у квантној механици често се користе и релације неодређености за: компоненте момента импулса (угаоног момента), компоненте спина честице и релације између енергије и времена.

За момент импулса важи

$[L_x,L_y]=i\hslash {ϵ}_{xyz}{L}_z.$

Што значи да није могуће истовремено познавати вредности двеју компоненти момента импулса. Овде се такође види необичност квантне механике. У класичној механици, ако имамо неку физичку векторску величину, можемо јој дефинисати компоненте у све три просторне координате. Тако нпр. брзина $\overrightarrow{v}$ има компоненте $v_x$, $v_y$ и $v_z$ у смеру x, y и z. Исто важи и за момент импулса. Но у квантној механици, ако знате једну компоненту момента импулса, нпр. $L_x$, остале две компоненте момента импулса, $L_y$ и $L_z$, недофинисане су, односно, строго гледајући, не постоје.

За компоненте спина важе аналогне релације као код момента импулса, односно

$[S_i,S_j]=i\hslash {\epsilon }_{ijk}{S}_k.$

Што значи да није могуће истовремено познавати вредности двеју компоненти спина. Уз аналогију као и код момента импулса, ваља нагласити да код спина не важи Боров принцип кореспонденције, односно, спин нема аналогију у класичној механици. Премда се спин понекад приказује као вртење честице око сопствене осе, јасно је да је то лоша аналогија јер би се, код случаја електрона, честица морала окренути за 720 степени да би се вратила у почетни положај (као да се Земља мора ротирати два пута да би се направио један круг око своје осе).

Премда време у нерелативистичкој квантној механици није опсервабла, могу се изразити и релације неодређености између енергије и времена:

$\mathrm{\Delta }E\mathrm{\Delta }t\ge \frac{\hslash }{2}$

Интерпретација релација неодређености

Интерпретација релација неодређености била је једна од главних тачака спора између Бора и Ајнштајна, нарочито на петој Солвејској конференцији. По Копенхагенској квантној механици, ако две физичке величине не комутирају, оне немају истовремену физичку реалност. Што значи да ако познајемо положај, импулс нема реалност (тј. не постоји). Такође, ако честици познајемо компоненту спина у х-смеру, то означава да честица нема остале компоненте спина. Са друге стране, Ајнштајн је то видео као назнаку непотпуности теорије, а не као знак да неке физичке величине не постоје ако знамо њихове коњуговане парове.

Квантно тунелисање

Шаблон:Glavni Наше Сунце, као и свака друга звезда у свемиру, сваког тренутка добија енергију сударом мањих (и лакших) хемијских елемената како би се њихова атомска језгра стопила и креирала теже елементе. Овај процес, назван нуклеарна фузија кључан је за постојање сваке звезде у свемиру.

Но, постоји проблем: свако атомско језгро састоји се од протона (позитивно наелектрисаних честица) и неутрона (неутралних честица), што јој даје позитивно наелектрисање. Атомска језгра се одбијају јер имају исто наелектрисање. Како се онда могу стопити? Уз помоћ јаке нуклеарне силе, која их доводи у судар, али само ако су већ јако близу једна другој. Атомска језгра морају имати јако велику енергију (и брзину) како би се довољно приближила једна другој на толику близину да јака нуклеарна сила (која делује привлачно) буде већа од електричне силе коју узрокује исто наелектрисање језгара (која делује одбојно). Но, кад су научници утврдили температуру Сунца путем његовог спектра, закључили су како се не производи довољна количина енергије која би одржала процес фузије. Сунце, према њима, уопште не би требало да светли. Но, оно ипак светли, захваљујући још једном феномену квантне механике - квантном тунелисању.

Тунелисање је феномен по којем честице или цели атоми имају одређену шансу за за обилазак препреке на своме путу. Суперпозиција и начело неодређености кажу нам да честице могу бити на више места истовремено, и да мора постојати несигурност у њиховом импулсу - што допушта бар једној честици да има велику брзину и да се нађе у довољној близини друге честице како би се догодила фузија.

Овај се феномен може сусрести и у свакодневном животу: ДНК која сачињава наша тела састоји се од великог броја молекула, међу којима се може догодити тунелисање - што може довести до промене нашег генетског записа и могуће чак узроковати и туморе. Феномен се такође може сусрести током радиоактивног распада. Флеш меморије такође користе овај феномен.

Спин

У макросвету постоје две мере количине кретања: импулс, који описује тромост (инерцију) при промени брзине или смера ротације, и момент импулса, који описује ротацију (вртњу) честице или тела. Честице из микросвета имају још једно додатно својство, спин - сопствени момент импулса независан од орбиталног кретања.

Мерна јединица спина је редукована Планкова константа - $\hslash$

Вредности спина су квантоване, што значи да спин може попримити само тачно одређене вредности. Према спину, све честице се деле у две велике групе: фермионе и бозоне. Фермиони су честице полуцелог спина (1/2ħ, 3/2ħ, 5/2ħ и сл.), а бозони честице целог спина (1ħ, 2ħ, 3ħ и сл.)

С обзиром на то да честице имају своја наелектрисања, њихова ротација ствара сићушна магнетна поља - што даје одређеним хемијским елементима (гвожђе, кобалт, никл) њихова магнетна својства. Но зашто само неки елементи реагују на магнете?

Електронска конфигурација

Шаблон:Glavni Атом се, као што знамо, састоји од језгра и електронског омотача. Унутар електронског омотача постоје љуске (означене бројевима 1-7), које можемо замислити као (концентричне) „стазе” по којима се електрони крећу. Свака љуска има орбитале (означене словима s, p, d, f) - подручја на „стази” на којима постоји већа шанса да се електрон налази (сетимо се, честицама не можемо утврдити тачан положај, већ само вероватноћу да се негде налазе). Свака орбитала такође има подорбитале у којима су смештени парови електрона супротног спина. Тако s орбитала има једну подорбиталу, p има три, d има пет, и тако даље. Електрони стварају парове само ако су све подорбитале попуњене. Такође прелазе у нову љуску само ако су све орбитале и подорбитале попуњене. Ако погледате периодни систем елемената, биће вам јасније:

без оквира

Атомске љуске на слици су означене вертикалним бројевима 1-7, док су орбитале означене бојама. Подорбитале одговарају хоризонталном простору који заузима одређена боја (у s орбиталу стаје један пар одн. два електрона, у p орбиталу стану три пара одн. шест електрона, и слично).

Напомена: За потребе израчунавања електронске конфигурације, хелијум (He) се налази одмах поред водоника (H), на левој страни периодног система, и има само s орбиталу.

Напомена: Орбитала p (плаво) договором припада броју љуске који је за један мањи од приказаног (види пример гвожђа - подебљано).

Тако водоник (H - 1) има електронску конфигурацију 1s¹, јер има само један електрон, који се налази у првој љусци, у s орбитали.

Азот (N - 7) има електронску конфигурацију 1s²2s²2p³ (укупно 2+2+3=7 електрона)

Гвожђе (Fe - 26) има електронску конфигурацију 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s²3d⁶ (укупно 2+2+6+2+6+2+6=26 електрона)

Магнетна својства

Овде можемо извући закључак: сваки електрон ствара сићушно магнетно поље због свог спина, но у свакој подорбитали се налазе парови електрона супротног спина, па им се магнетна поља међусобно поништавају. Ако елемент нема попуњене све подорбитале у задњој љусци (попут гвожђа, које има 6 од могућих 10 електрона у трећој d подорбитали), магнетна поља појединачних електрона се не поништавају, него се дапаче међусобно ојачавају јер електрони имају исти спин. Ако уз овај услов елемент припада металима, и има посебан распоред атома који омогућава пропагацију магнетних својстава појединих атома, елемент ће бити магнетичан (попут гвожђа, кобалта и никла).

Још о спину

На почетку овог одељка спин је упоређен са сићушним магнетним пољем, но то није сасвим тачно:

• ако имамо две међусобно нормалне осе, x и y и обичан магнет са пољем усмереним према х-оси, када бисмо мерили поље тог магнета у смеру осе у, добили бисмо вредност 0.
• ако пак имамо честицу са спином 1 у смеру осе х, кад бисмо мерили спин те честице у смеру у, узастопним мерењима добили бисмо вредности 1 или -1, а просек свих мерења био би 0.

Код мерења вредности спина увек ћемо добити резултат 1 или -1, независно од честице и смера мерења, али просек више мерења ће увек одговарати вредности коју очекујемо.

Симетрична и антисиметрична таласна функција

Кад описујемо предмете из макросвета, често користимо речи попут „идентично” или „исто”. Но, у микросвету, те речи имају другачије значење. Било која два електрона имају иста својства и исто се понашају, и не можемо их међусобно разликовати, но нису нужно идентични.

Узмимо за пример две идентичне честице које су описане својим одговарајућим таласним функцијама: ${\psi }_{(1)}$ и ${\psi }_{(2)}$. Обе честице надаље можемо описати једном таласном функцијом која комбинује две претходне: ${\psi }_{(1,2)}={\psi }_{(1)}{\psi }_{(2)}$

Но шта се догоди ако честицама заменимо места, односно ако честици 1 доделимо таласну функцију ${\psi }_{(2)}$ и обрнуто, и ако обе честице опишемо комбинованом таласном функцијом облика ${\psi }_{(2,1)}={\psi }_{(1)}{\psi }_{(2)}$? Честице се не могу разликовати, и имају идентична својства, па не би требало да буде разлике пре и након замене. Но, некад ће се догодити да се новој таласној функцији промени предзнак. Према томе, тачна релација је ${\psi }_{(1,2)}=\pm {\psi }_{(2,1)}$. Ако након замене таласна функција промени знак, за таласну функцију се каже да је антисиметрична. Ако знак остане исти, таласна је функција симетрична.

Фермиони имају антисиметричне таласне функције, док су бозони описани симетричним таласним функцијама.

Фермиони

Фермиони су честице полуцелог спина (1/2ħ, 3/2ħ, 5/2ħ, и слично). Служе као основне градивне материје све материје. Можемо их поделити у две групе: лептоне и кваркове. Електрон спада у лептоне. Протон и неутрон не спадају ни у једну групу јер нису елементарне честице: састављени су од по три кварка, но ипак спадају у фермионе. Све сложене честице састављене од непарног броја фермиона и саме спадају у фермионе (у супротном спадају у бозоне).

Паулијев принцип искључења

Кад погледамо структуру електронског омотача (описану у поглављу о спину), видимо како свака орбитала сваке љуске има подорбитале у којима су смештени парови електрона супротног спина. То је у једну руку необично, јер све у свемиру тежи најмањој могућој енергији, па би по томе сви електрони требало да буду у првој љусци. Шта их у томе спречава?

Паулијев принцип искључења каже нам како два фермиона не смеју бити у истом квантном стању. Сваки фермион мора имати бар једно физичко својство (импулс, угаони моменат, спин, масу, наелектрисање, ...) различито од других. Овај се принцип односи само на фермионе, јер су само фермиони описани антисиметричном таласном функцијом. Но, сетимо се како свака честица може бити у свим својим стањима одједном, због принципа суперпозиције. Фермион се стога може описати суперпозицијом таласних функција ${\psi }_{(1,2)}$ и ${\psi }_{(2,1)}$. Таласна функција тог фермиона ће тада бити једнака $\psi ={\psi }_{(1,2)}-{\psi }_{(2,1)}$. Но, ако су две таласне функције једнаке (односно ако су две честице у истом квантном стању), таласна функција би била једнака нули - честице не би постојале!

Паулијев принцип искључења спречава управо то - он осигурава да горња једначина никад није једнака нули, јер два фермиона никад неће бити у истом стању.

Ако се сад вратимо на електроне у атому, кад би сви електрони били у првој љусци електронског омотача, кршили би ово правило јер би сви били у истом квантном стању.

Постојање овог принципа кључно је за постојање материје у свемиру. Без њега не би постојали молекули, јер атоми не би могли стварати хемијске везе међу собом.

Бозони

Бозони су честице целог спина (1ħ, 2ħ, 3ħ, и слично). Они функционишу као преносиоци (посредници) интеракција. Некад се каже да су бозони носиоци сила.

Међу бозоне спадају

• фотон (посредник у преношењу електромагнетне интеракције)
• W i Z bozoni (преносиоци слабе нуклеарне силе, одговорне за радиоактивни распад)
• глуони (преносиоци јаке нуклеарне силе, одговорне за интеракцију које честице у језгру атома држи на окупу)
• хипотетичке (засад недоказане) честице Хигсов бозон и гравитон, преносиоци масе и гравитационе интеракције

Паулијев принцип искључења не односи се на бозоне јер их описују симетричне таласне функције, што допушта постојање више бозона истог квантног стања. Дапаче, бозони теже да буду у истом квантном стању.

Ласери

Ласер је уређај који ствара кохерентно електромагнетно, најчешће монохроматску, уско усмерену зраку светлости. Фотони ласерске светлости имају исти смер, фреквенцију, поларизацију (фазу) и енергију (у истом су квантном стању).

Бозе—Ајнштајнов кондензат

Хлађење атома хелијума-4 до температуре око два степена изнад апсолутне нуле (или око -271 °C) доводи до новог агрегатног стања материје, Бозе—Ајнштајновог кондензата.

Сваки је атом хелијума-4 састављен од парног броја фермиона, чиме ти атоми спадају у бозоне, који не подлежу Паулијевом принципу искључења. Атоми хелијума-4 теже да буду у истом квантном стању, но не могу то постићи јер им таласне функције при собној температури нису нимало сличне. Ако их охладимо на -271 °C, таласне функције почињу им се преклапати, и уласком у исто квантно стање можемо једном таласном функцијом описати све атоме као једну целину. Бозе—Ајнштајнов кондензат добијамо кад су сви атоми хелијума-4 у истом квантном стању. Ако их тад налијемо у спремник, пењаће се уз зидове спремника, и „побећи ће” из спремника. Тако се не понаша ни једна друга супстанца ни у једном агрегатном стању (крто, тећно, гасовито, плазма), па се Бозе—Ајнштајнов кондензат сматра новим, петим, агрегатним стањем.

Квантна спрегнутост

Све у нашем свету направљено је од великог броја честица. Колективно, све се састоји од материје. Но, у свемиру постоји нешто слично, што не сусрећемо уопште - антиматерија. Антиматерија се састоји од античестица, које имају исту масу као њихови честични пандани, но обрнут набој. Нпр. електрон има негативан набој, док његова античестица, позитрон, има позитиван набој. Кад се честица и античестица нађу у близини, привуку се (јер имају различите набоје), и кад се дотакну, обе ће честице бити уништене, уз ослобађање других честица које носе велику количину енергије. Овај се процес назива анихилација.

Замислимо да имамо електрон и позитрон међусобно обрнутог спина (збир спинова им износи 0). Кад се сударе, анихилирају се, и анихилациона енергија се отпусти у облику два фотона гама-зрачења.

Већ смо пре навели да је спин заправо мера количине кретања - сопствени момент импулса (замах) честице. То означава да спин у сваком трену мора поштовати закон очувања момента импулса: укупни момент импулса у затвореном систему увек мора остати исти.

Друтим речима, укупни спин електрона и позитрона из горњег примера био је једнак нули, па и укупни спин два фотона гама-зрачења такође мора бити једнак нули. Стога та два фотона морају имати обрнуте спинове.

Сетимо се затим да се фотони, ако се не посматрају, налазе у суперпозицији стања: оба фотона имају оба спина. Ако неко затим измери спин првог фотона, његова се таласна функција руши, и његов спин добија само једну вредност. Како би се очувао закон очувања момента импулса, таласна функција другог фотона мора се истовремено урушити, и његов спин мора бити обрнут првоме, како би укупан спин остао 0.

Другим речима, фотони у горњем примеру међусобно су повезани на начин да посматрање стања једног фотона директно (и тренутно) утиче на стање другог фотона, без обзира на удаљеност међу њима. Таква се повезаност назива квантна спрегнутост.

Математички се таква повезаност може записати као: $|\psi ⟩=|1_A⟩|2_B⟩+|2_A⟩|1_B⟩$

Квантне флуктуације

Виртуелне честице

Хајзенбергов принцип неодређености наводи како постоје одређени парови променљивих чије вредности не можемо истовремено знати. Као што је пре споменуто, један такав пар су положај и импулс. Још један пар који се понаша на исти начин су енергија и време, који се односе на следећи начин: $\mathrm{\Delta }E\cdot \mathrm{\Delta }t\ge \frac{\hslash }{2}$

Рецимо да желимо да измеримо енергију фотона и време које је фотону потребно да прође поред уређаја за мерење. Међутим, свака честица поштује неодређеност времена и енергије, што значи да ако прецизно измеримо енергију фотона, време ћемо одредити са толико мањом прецизношћу.

Но шта се догоди кад бисмо ту неодређеност применили на вакуум? Вакуум класична физика дефинише као празан простор (у којем нема честица), па би његова енергија требало да буде 0. Међутим, начело неодређености времена и енергије то не допушта, јер увек мора постојасти бар мала неодређеност око енергије неког система, што пак значи да никад не можемо бити потпуно сигурни да је енергија вакуума 0. То означава да и сам вакуум накратко може имати енергију која није нула. Ова одступања у енергији вакуума називају се флуктуацијама вакуума. Питање које се поставља је следеће: за шта се та привремена енергија коју квантне флуктуације узрокују користи?

Енергија се користи како би се створила нова врста честица – виртуелне честице. Те виртуелне честице стварају се свуда у свемиру, потпуно насумично, и обично постоје јако кратко: свака виртуелна честица не ствара се сама за себе – већ се ствара заједно са својом античестицом. Као што се може очекивати, две честице се анихилирају при контакту.

Једначина изнад показује да су неодређеност енергије и времена обрнуто пропорционалне. То означава да ако виртуелна честица „позајми” више енергије из свемира, то ће се пре честице пара међусобно анихилирати (односно постојаће краће време). Кад виртуелни пар престане да постоји, не ствара се нова енергија, те је испоштован закон очувања енергије. Виртуелне честице и античестице једноставно „позајмљују” енергију, коју брзо врате.

Виртуелне честице не морају имати иста својства као и њихове „праве” верзије. Виртуелни електрон, на пример, може имати масу различиту од електрона. Такође не можемо директно проучавати виртуелне честице, али можемо видети њихов утицај на свет око њих.

Казимиров ефекат

Казимиров ефекат је физички феномен који доказује постојање виртуелних честица. Предвидео га је 1948. године холандски физичар Хендрик Казимир на основу начела неодређености времена и енергије.

Казимир је тачно претпоставио да ако ставимо две паралелне, ненаелектрисане кондензаторске плоче једну до друге на растојању од неколико нанометара, плоче ће се привући због флуктуација вакуума.

Као што знамо, парови виртуелних честица константно се стварају и анихилирају свуда у свемиру. Како би се парови виртуелних честица створили између двеју плоча, таласна функција мора да им има таласну дужину мању од неколико нанометара, како би честице стале између плоча. Стога можемо закључити да ће се пуно више виртуелних честица створити са спољашње стране плоча, него са унутрашње. То ће створити већу силу на спољашње зидове плоча него на унутрашње, па ће плоче почети да се приближавају.

Хокингово зрачење

Дуго су времена људи погрешно веровали да гравитација делује само на честице са масом. Тек је касније откривено да гравитација делује и на објекте без масе мировања (нпр. фотоне). Светлост, која свемиром путује брзином светлости, према Ајнштајновој посебној теорији релативности, занемарљиво осећа гравитациона привлачења звезда и планета. Но, постоје објекти у свемиру из чијег гравитационог поља чак ни светлост не може побећи - црне рупе.

Црне рупе имају огромну масу која је компресована на јако малу површину. Но, та велика маса има јако велико и снажно гравитационо поље. Што је предмет ближи извору гравитационог поља, то већа гравитациона сила делује на њега. Свака црна рупа има „сферу” око себе - названу хоризонт догађаја. Једном кад тело пређе границу хоризонта догађаја, гравитациона привлачност црне рупе постане толико велика да јој чак ни светлост никако не може побећи.

Када је 1974. године славни британски теоријски физичар Стивен Хокинг проучавао квантномеханичке феномене који се догађају у близини хоризонта догађаја - дошао је до запањујуће теорије: свака црна рупа би константно требало да отпушта електромагнетно зрачење. Данас је ова теорија општеприхваћена, а зрачење је у његову част названо Хокингово зрачење.

Замислимо пар виртуелних честица (нпр. фотона) створених близу хоризонта догађаја на начин да је једна честица унутар хоризонта, а друга споља. Први фотон је у потпуности изгубљен у црној рупи. Други виртуелни фотон више нема античестицу са којом се може анихилирати - позајмио је енергију из свемира, но не може је вратити. Виртуелни фотон се претвара у обичан фотон, и напушта црну рупу у облику Хокинговог зрачења. Но, како би се испоштовао закон очувања енергије, сама црна рупа губи део своје масе, која се претвара у енергију коју фотон „дугује” свемиру.

Што се овај процес више пута понови, црна рупа губи све већу и већу масу која наизглед испарава ни у шта (заправо се претвара у енергију). Што је црна рупа мања, то брже губи масу. Овај је ефекат готово неприметан за црне рупе космичких размера јер оне апсорбују материју, и добијају масу, пуно већом брзином него што је губе.