Ридбергова константа

Ридбергова константа, R, је физичка константа која се среће у атомској спектроскопији при описивању фреквенција спектралних линија једноелектронских система. Као и формула, Ридбергова формула, у којој се јавља, име је добила по Јоханесу Ридбергу шведском физичару с краја деветнаестог и почетка двадесетог века. КОнстанта је откривена у анализи спектралних серија водониковог атома чиме су се први бавили Ангстрем и Балмер. Сваки хемијски елемент има сопствену Ридбергову константу која може да се израчуна из „бесконачне“ Ридбергове константе.

Ридбергова константа је једна од најтачније одређених физичких константи са неизвесношћу мањом од 7 делова на трилион (7:10¹²). Толико тачно експериментално мерење омогућује утврђивање односа међу другим физичким константама којима се дефинисана Ридбергова константа.

$\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})$.

Данас усвојена вредност за „бесконачну“ Ридбергову константу (према CODATA) износи:

$R_{\mathrm{\infty }}=\frac{m_e{e}^4}{(4\pi {ϵ}_0{)}^2{\hslash }^{3}4\pi c}=\frac{m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^{3}c}=1,0973731568525(73)\cdot 10^7{\mathrm{m}}^{-1}$

где је

$\hslash$ редукована Планкова константа,

$m_e$ маса мировања електрона,

$e$ елементарно наелектрисање,

$c$ брзина светлости у вакууму, и

${ϵ}_0$ пермитивност вакуума.

У атомској физици константа се често користи у облику енергије:

$hc{R}_{\mathrm{\infty }}=13,6056923(12)\mathrm{e}\mathrm{V}\equiv 1\mathrm{R}\mathrm{y}$

"Бесконачна“ константа јавља се у формули:

$R_M=\frac{R_{\mathrm{\infty }}}{1+m_e/M}$

где је

$R_M$ Ридбергова константа једноелектронског јона/атома

$M$ маса атомског језгра атома/јона.

Алтернативни изрази

Ридбергова константа може да се прикаже и на следећи начин

$R_{\mathrm{\infty }}=\frac{{\alpha }^2{m}_{e}c}{4\pi \hslash }=\frac{{\alpha }^2}{2{\lambda }_e}$

и

$hc{R}_{\mathrm{\infty }}=\frac{hc{\alpha }^2}{2{\lambda }_e}=\frac{h{f}_C{\alpha }^2}{2}=\frac{\hslash {\omega }_C}{2}{\alpha }^2$

где је

$h$ Планкова константа,

$c$ брзина светлости у вакууму,

$\alpha$ константа фине структуре,

${\lambda }_e$ Комптонова таласна дужина електрона,

$f_C$ Комптонова фреквенција,

$\hslash$ редукована Планкова константа, и

${\omega }_C$ Комптонова угаона фреквенција електрона.

Ридбергова константа водоника

Уношењем вредности за однос масе електрона и протона $m_e/m_p=5,4461702173(25)\cdot 10^{-4}$, налазимо да је Риднергова константа водоника, $R_H$.

$R_H=10967758,341\pm 0,001{\mathrm{m}}^{-1}$

Уношењем ове вредности у Ридбергову формулу, можемо да израчунамо положај линија емисионог спектра водоника.

Извођење израза за Ридбергову константу

Ридбергова константа може да се изведе на основу Борових постулата

• Боров услов,

  Момент ипулса електрона може да поприми само извесне дискретне вредности:

  $L=m_{e}vr=n\frac{h}{2\pi }=n\hslash$

  где је n = 1,2,3,… (цео број) главни квантни број, h Планкова константа, и $\hslash =h/(2\pi )$.

  $r$ је радијус електронске орбите

• Сила која одржава електрон у кружном кретању (центрипетална) је

  $F_{centripetal}=\frac{m_e{v}^2}{r}$

  где је

  $m_e$ маса мировања електрона, а $v$ брзина електрона

• Електростатичка сила привлачења између електрона и протона је

  $F_{electric}=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$

  где је

  $e$ елементарно наелектрисање,

  ${ϵ}_0$ пермитивност вакуума.

• Према Боровом моделу тотална енергија електрона у орбити радијуса $r$ је

  $E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=-\frac{e^2}{8\pi {ϵ}_{0}r}$

Прво из Боровог постулата налазимо да су допуштене брзине електрона

$v$

:

$v=\frac{nh}{2\pi r{m}_e}$

Онда налазимо да за стабилну кружну орбиту центрипетална сила мора бити једнака привлачној електростатичкој сили, $F_{centripetal}=F_{electric}$ па налазимо

$\frac{m_e{v}^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$

Заменом у овом изразу добијене електронске брзине $v$ и решавањем по $r$ налазимо допуштене вредности за радијус електронске орбите

$r=\frac{n^2{h}^2{ϵ}_0}{\pi m_e{e}^2}$

Заменом овако добијеног радијуса, $r$, у изразу за електростатичку потенцијалну енергију електрона у истој орбити налазимо

$E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{-m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^2}.\frac{1}{n^2}$

Дакле, промена енергије при прелазу електрона из једне орбите (почетне, initial) у другу (коначне, final) је

$\mathrm{\Delta }E=\frac{m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^2}(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^2}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^2})$

Преласком из енергије у таласни број $(\frac{1}{\lambda }=\frac{E}{hc}\to \mathrm{\Delta }E=hc\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{\lambda }\right))$ налазимо

$\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{\lambda }\right)=\frac{m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^{3}c}(\frac{1}{n_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}}^2}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}^2})$

где је

$h$ Планкова константа,

$m_e$ маса мировања електрона,

$e$ елементарно наелектрисање,

$c$ брзина светлости у вакууму, и

${ϵ}_0$ пермитивност вакуума.

а

$n_{\mathrm{i}}$ и $n_{\mathrm{f}}$ су квантни бројеви орбита међу којима долази до електронског прелаза.

Дакле, налазимо да је Ридбергова константа атома водоника

$R_H=\frac{m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^{3}c}$

Видети

• Ридбергова формула

Литература

• Mathworld

С. Мацура, Ј. Радић-Перић, АТОМИСТИКА, Службени лист, Београд, 2004., стр. 92.