Коцка

Коцка

Коцка (правилни хексаедар, од Шаблон:Јез-грч - тело са шест површина) је један од пет правилних полиедара. Омеђена је са шест страница, квадратних површи спојених тако да образују тело са дванаест дужи (ивица) и осам темена. Коцка је специјалан случај квадра коме су све странице једнаке. Посебне врсте коцке за играње јесу коцкице и Рубикова коцка.

Уопштење

Коцка -{K}- у простору -{Rⁿ}- се може дефинисати помоћу једне тачке -{A = (a₁, ..., a_n)}- из -{Rⁿ}-, дужине ивице коцке -{a}-, као и са -{n}- вектора -{v₁, ..., v_n}- који чине једну позитивно оријентисану ортонормирану базу -{Rⁿ}-. Рецимо да је свака ивица коцке -{K}- паралелна са тачно једним различитим вектором те базе, као и да тачка -{A}- представља почетак координатног система кога граде ови вектори.

Свака тачка -{X = (x₁, ..., x_n)}- коцке -{K}- онда може бити представљена на следећи начин:

$X:A+\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\cdot v_k,{\alpha }_k\in [0,a]$

Уколико се за векторе -{v₁, ..., v_n}- узму вектори који чине канонску базу -{Rⁿ}-, добија се:

$X:\{x_i\in [a_i,a_i+a],i=1,...,n\}$

Формуле

Следе неке од чешће коришћених формула које се везују за коцку.

Важнији елементи коцке

Површина	$P=6a^2$
Запремина	$V=a^3$
Мала дијагонала	$d=a\sqrt{2}$
Велика дијагонала	$D=a\sqrt{3}$
Полупречник уписане сфере	$r_u=\frac{a}{2}$
Полупречник описане сфере	$r_o=\frac{D}{2}=a\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ортогоналне пројекције

Коцка има четири посебне ортогоналне пројекције, центриране, на темену, ивицама, лицу и нормално на њену фигуру темена. Први и трећи одговарају A₂ и B₂ Коксетеровим равнима.

Ортогоналне пројекције

Центриране са	Лице	Теме
Коксетерове равни	B2	A2
Пројективноа симетрија	[4]	[6]
Нагнути погледи

Сферно поплочавање

Коцка се такође може представити као сферна плочица, и пројектована на раван путем стереографске пројекције. Ова пројекција је конформна, чува углове, али не и површине или дужине. Праве на сфери се пројектују као кружни лукови на раван.

Ортографска пројекција	Стереографска пројекција

Декартове координате

За коцку са центром у координатном пореклу, са ивицама паралелним са осама и са дужином ивице од 2, картезијанске координате врхова су

(±1, ±1, ±1)

док се унутрашњост састоји од свих тачака (x₀, x₁, x₂) са −1 < x_i < 1 за свако i.

Уједначене боје и симетрија

Стабло октаедарске симетрије

Коцка има три уједначене обојења, назване бојама квадрата око сваког темена: 111, 112, 123.

Коцка има четири класе симетрије, које се могу представити темено-транзитивним бојењем лица. Највиша октаедарска симетрија O_h има сва лица исте боје. Диедрална симетрија D_4h долази од тога што је коцка чврста, са свих шест страна различите боје. Призматични подскуп D_2d има истo обојење као и претходни, а D_2h има наизменичне боје за своје стране за укупно три боје, упарене са супротних страна. Сваки облик симетрије има другачији Витофов симбол.

Име	Регуларни хексаедар	Квадратна призма	Правоугаона трапезопризма	Правоугаони кубоид	Ромбна призма	Тригонални трапезоедар
Коксетеров дијаграм	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
Шафлијев симбол	{4,3}	{4}×{ } rr{4,2}	s2{2,4}	{ }3 tr{2,2}	{ }×2{ }
Вајтофов симбол	3 | 4 2	4 2 | 2		2 2 2 |
Симетрија	Oh [4,3] (*432)	D4h [4,2] (*422)	D2d [4,2+] (2*2)	D2h [2,2] (*222)		D3d [6,2+] (2*3)
Ред симетрије	24	16	8	8		12
Слика (једнобразно обојење)	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Геометријски односи

Једанаест мрежа коцке.

Ове познате шестостране коцкице су кубоидног облика.

Коцка има једанаест мрежа (једна приказана изнад): то јест, постоји једанаест начина да се шупља коцка спљошти сечењем седам ивица. Да би се обојила коцку тако да ниједна суседна лица нема исту боју, требале би најмање три боје.

Коцка је ћелија јединог правилног поплочавања тродимензионалног еуклидског простора. Такође је јединствен међу Платоновим телима по томе што има лица са парним бројем страна и, сходно томе, једини је члан те групе који је зоноедар (свако лице има тачку симетрију).

Коцка се може исећи на шест идентичних квадратних пирамида. Ако се ове квадратне пирамиде затим причврсте на лица друге коцке, добија се ромбични додекаедар (са паровима компланарних троуглова комбинованих у ромбичне површине).

Повезани полиедри

Дуал коцке је октаедар, који се овде види са врховима у центру квадратних страна коцке.

Хемикуб је коефицијент 2 према 1 коцке.

Количник коцке са Антиподалом мапом даје пројективни полиедар, хемикуб.

Ако оригинална коцка има дужину ивице 1, њен двоструки полиедар (октаедар) има дужину ивице $\sqrt{2}/2$.

Коцка је посебан случај у различитим класама општих полиедара:

Име	Једнаке дужине ивица?	Једнаки углови?	Прави углови?
Коцка	Да	Да	Да
Ромбоедар	Да	Да	Не
Кубоид	Не	Да	Да
Паралелепипед	Не	Да	Не
четвороугаоно окренут хексаедар|Не	Не	Не

Темена коцке се могу груписати у две групе по четири, од којих свака формира правилан тетраедар; уопштеније, ово се назива демикуб. Ова два заједно формирају правилно спајање, стела октангула. Пресек ова два формира правилан октаедар. Симетрије правилног тетраедра одговарају симетрији коцке која сваки тетраедар пресликава на себе; остале симетрије коцке пресликавају то двоје једно на друго.

Једнолично саће и полихори

То је елемент од 9 од 28 конвексног једноликог саћа:

Кубично саће Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Одсечено квадратно призматично саће Шаблон:CDD	Окресани квадратно призматично саће Шаблон:CDD	Издужено троугласто призматично саће	Жироиздужено троугласто призматично саће
Кантелирано кубно саће Шаблон:CDD	Кантизарубљено кубично саће Шаблон:CDD	Рансизарубљено кубично саће Шаблон:CDD	Рансинирано наизменично кубично саће Шаблон:CDD

Такође је елемент пет четвородимензионалних униформних полихора:

Тесеракт Шаблон:CDD	Кантелирана 16-ћелија Шаблон:CDD	Рансинирани тесеракт Шаблон:CDD	Кантизарубљена 16-ћелија Шаблон:CDD	Рансизарубљена 16-ћелија Шаблон:CDD

Литература

• Шаблон:Cite book
• Љиљана Петрушевски - Полиедри
• Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Шаблон:Cite book
• Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf Шаблон:Wayback)
• Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
• Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), Шаблон:Isbn, or online at -{R|https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html}-
• Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
• Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
• Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. Шаблон:Isbn
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation; Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• Шаблон:Mathworld
• Cube: Interactive Polyhedron Model*
• Volume of a cube, with interactive animation
• Cube (Robert Webb's site)