Дуж

Дуж се може дефинисати као скуп тачака једне праве између две њене различите тачке заједно са тим тачкама. Такође може се и посматрати као пресек две полуправе, које припадају истој правој, који није полуправа.

У принципу, сама дуж је једнозначно одређена са:

• Две тачке, које представљају њене крајеве и називају се крајње тачке дужи.
• Једном тачком, и вектором са коефицијентом који одређују другу тачку дужи.

Дуж коју чине тачке -{A}- и -{B}- се обележава са $\overline{AB}$ и идентична је дужи $\overline{BA}$.

Пример

Рецимо да је дата дуж $\overline{AB}$. Потребно је дати релацију која описује све њене тачке. Узмимо тачку -{A}- за референцу. Тада ће тачка -{B}- моћи бити изражена преко ње на следећи начин:

$B=A+1\cdot \overrightarrow{AB}$

Ако нам је жеља да на исти начин изразимо тачку -{A}-, релација ће изгледати овако:

$A=A+0\cdot \overrightarrow{AB}$

Све тачке између -{A}- и -{B}-, укључујући и њих саме ће бити одређене следећом релацијом:

$\overline{AB}\ni A+\lambda \cdot \overrightarrow{AB},\lambda \in [0,1]$

Ако постоји потреба да буде употребљен јединични вектор, запис ће изгледати овако:

$\overline{AB}\ni A+\lambda \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||},\lambda \in [0,||\overrightarrow{AB}||]$

Тиме је одређена и дуж.

Дужина дужи

Дужина дужи је растојање између тачака -{A}- и -{B}-. У еуклидским просторима се одређује на следећи начин:

$d\left(\overline{AB}\right)=d(A,B)=d(B,A)=\sqrt{\sum _{k=1}^n{(B_i-A_i)}^2}$

Конкретно у дводимензионом простору, где су $A=(A_x,A_y)$ и $B=(B_x,B_y)$:

$d\left(\overline{AB}\right)=\sqrt{{(B_x-A_x)}^2+{(B_y-A_y)}^2}$

Конкретно у тродимензионом простору, где су $A=(A_x,A_y,A_z)$ и $B=(B_x,B_y,B_z)$:

$d\left(\overline{AB}\right)=\sqrt{{(B_x-A_x)}^2+{(B_y-A_y)}^2+{(B_z-A_z)}^2}$