Скаларни производ вектора

Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора -{a}- и -{b}- из векторског простора -{V}-, запис ове операције је следећи:

$(a,b)\mapsto a\cdot b$

Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:

$(u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w$

$(\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)$

$u\cdot v=v\cdot u$

$u\ne 0\Rightarrow u\cdot u>0$

При чему су -{u}-, -{v}- и -{w}- вектори из -{V}- а α произвољан реалан број.

Приказ стандардног скаларног производа вектора

Скаларни производ вектора $\overrightarrow{x}$ и $\overrightarrow{y}$ се дефинише на следећи начин:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|\cos \measuredangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\dots +x_n{y}_n$

Притом су $|\overrightarrow{x}|$ и $|\overrightarrow{y}|$ интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:

$\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots x_n)$ и $\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,\dots y_n)$

Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:

$\begin{array}{cc}& (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\ & =1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\ & =4-6+5\\ & =3\end{array}$

Доказ

Формула :$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}|\cdot |\overrightarrow{y}|\cdot \cos \measuredangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:

Ако је $\gamma$, угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:

$|\overrightarrow{c}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma$

Пошто је $\overrightarrow{c}$ једнак $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$, следи:

$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma$

Одакле се налази:

$(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma$

$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma$

Одатле се добија коначна формула:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma .$

Ортогонални вектори

Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори $\overrightarrow{x}$ и $\overrightarrow{y}$ узајамно нормални добија се:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=0$.

Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.

Особине

Скаларни производ вектора поседује следеће особине:

• комутативност

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$

• дистрибутиван је у односу на сабирање

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$

• у општем случају није асоцијативан
• за њега важи следеће:

$(\alpha \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot (\alpha \overrightarrow{b})=\alpha \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$

Коришћење за израчунавање интензитета вектора

Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.

Пошто је:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n.$

За специјалан случај када је $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$ једнакост прелази у: $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+\dots +{x_n}^2$

На основу тога се закључује:

$|\overrightarrow{x}|=\sqrt{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}}=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}.$

Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.

Примена у физици

Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:

$A=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{r}=|\overrightarrow{F}|\cdot |\overrightarrow{r}|\cdot \cos \alpha$

Геометријска интерпретација

Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ $⟹$ $\theta =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\right).$

Троструки производ

$𝐚\times (𝐛\times 𝐜)=𝐛(𝐚\cdot 𝐜)-𝐜(𝐚\cdot 𝐛),$ Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Пројекција вектора на вектор

Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор тј.

• $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}=\mid \overrightarrow{a}\mid cos\omega =\overrightarrow{a_b}$ скаларна пројекција вектора $\overrightarrow{a}$ na vektor $\overrightarrow{b}$
• $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}=\mid \overrightarrow{a}\mid cos\omega =\overrightarrow{b_a}$ скаларна пројекција вектора $\overrightarrow{b}$ na vektor $\overrightarrow{a}$
• $(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0})*\overrightarrow{b_0}=a_b\overrightarrow{b_0}$ векторска пројекција вектора $\overrightarrow{a}$ на вектор $\overrightarrow{b}$
• $(\overrightarrow{a_0}\overrightarrow{b})*\overrightarrow{a_0}=b_a\overrightarrow{a_0}$ векторска пројекција вектора $\overrightarrow{b}$ на вектор $\overrightarrow{a}$

Последице скаларног множења

• $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}$
• $\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}=\mid \overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{a}\mid \cos 0=\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2=>\mid \overrightarrow{a}\mid \sqrt{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}}$
• $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}=>\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0$
• $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0=>\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ ili je bar jedan od vektora $\overrightarrow{0}$
• $cos\omega =\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{a}\mid }$ ($0<\omega <\pi$)

Види још

• Вектор
• Скалар
• Векторски производ вектора
• Мешовити производ вектора

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Lang Algebra
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• Шаблон:Mathworld
• -{Explanation of dot product including with complex vectors}-
• -{"Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.}-
• Линеарна алгебра: Увод у векторе, видео на Кан академији Шаблон:Ен
• Векторски простор на -{Wolfram MathWorld}- Шаблон:Ен
• Векторски простори, белешке за предавања, Универзитет у Единбургу Шаблон:Ен
• Увод у векторске просторе, из серије предавања -{Lecture Series on Quantum Physics by Prof. V. Balakrishnan, Department of Physics, IIT Madras.}- Шаблон:Ен