1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

У математици, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … је бесконачан низ чији су чланови узастопна степен двојке. Као геометријске низове, карактерише их први члан, 1, и њихов заједнички однос, 2. Као низ реалних бројева дивергира у бесконачност, тако да у уобичајеном смислу да нема суму. У много ширем смислу, низ је повезан са другим вредностима осим са ∞, односно −1.

Збир

Парцијалне суме 1 + 2 + 4 + 8 + … су Шаблон:Nowrap како ово дивергира до бесконачности, дивергира и низ. Због тога сваки потпуно регуларан начин сумирања даје збир бесконачности, укључујући Цесаро збир и Абел збир.Шаблон:Sfn С друге стране, постоји најмање један генерално корињћен метод који сумира 1 + 2 + 4 + 8 + ... до коначне вредности -1. Повезана степен низова

$f(x)=1+2x+4x^2+8x^3+\cdots +2^n{x}^n+\cdots =\frac{1}{1-2x}$

има радијус конвергенције око 0 од само ¹/₂, тако да не конвергира на Шаблон:Nowrap. Ипак, тако дефинисана функција f  има јединствени аналитички наставак на комплексној равни са тачке Шаблон:Nowrap избрисано, а дато је истим правилом  Шаблон:Nowrap. Како је Шаблон:Nowrap, за оригиналан низ Шаблон:Nowrap се каже да га је могуће сабрати (E) до −1, и −1 је (E) збир низа. (Израз је настао захваљујући Г. Х. Хардију у односу на приступ дивергентним редовима Леонарда Ојлера).Шаблон:Sfn

Готово идентичан приступ (један од стране Ојлера самог) је да се размотри степен низа чији коефицијенти су сви 1, односно 

$1+y+y^2+y^3+\cdots =\frac{1}{1-y}$

и повезани са y = 2. Наравно, ова два низа су повезана заменом y = 2x.

Чињеница даt (E) збир даје коначну вредност Шаблон:Nowrap показује да општи метод није потпуно регуларан. Са друге стране, поседује неке друге пожељне квалитете за метод сумирања, укључујући стабилност и линеарност. Ова два аксиома заправо приморавају збир да буде −1, јер они чине следећу манипулацију валидном:

$\begin{array}{ccc}s& =& 1+2+4+8+\cdots \\ & =& 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\ & =& 1+2s\end{array}$

У корисном смислу, s = ∞ је корен једначине Шаблон:Nowrap (На пример, ∞ је једна од две фиксне тачке Мебијусове трансформације Шаблон:Nowrap на Римановој сфери). Ако је за неки метод сумирања познато да враћа обичан број за s, односно не ∞, тада је то лако утврдити. У овом случају s се могже одузети од обе стране једначине, дајући 0 = 1 + s, тако да је s= −1.

Наведена манипулацја може бити позвана да произведе −1 ван контекста довољно моћног сумирања процедуре. За најпознатије и једноставне концепте збира, укључујући фундаментално конвергентни, апсурдно је да низ позитивних чланова има негативну вредност. Сличан феномен се јавља код дивергентних геометријских редова 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , где се појављује ред целих бројева који имају не-цео збир ¹⁄₂. Ови примери илуструју потенцијалну опасност у примени сличних аргумената на редове имплициране таквим понављањем децимала као што је 0.111… и пре свега 0.999…. Аргументи су на крају оправдани за ове конвергентне редове, укључујући да је 0.111… = ¹⁄₉Шаблон:Nowrap и 0.999… = 1, али су у основи докази захтевају пажљиво размишљање о тумачењу бесконачних сума.

Такође је могуће видети ове низове као конвергентне у великом броју система различитих од стварног броја, наиме, 2-адик бројеви. Како низ 2-адик бројева конвергира до исте суме, -1, као што је изведена пре помоћу аналитичког наставка.

Види још

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• Комплемент двојке, конвенција података за представљање негативних бројева у којима је  -1 представљен као да је  $1+2+4+\dots +2^{n-1}$.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite web Шаблон:Wayback
• Шаблон:Cite journal