Грандијеви редови

У математици, бесконачан ред $1-1+1-1+\cdots$, написан и као

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n$

се понекад зове Грандијев ред, по италијанском математичару, филозофу, и свештенику Гвиду Грандију, који је дао незабораван третман реда 1703. године. То је дивергентни ред, што значи да му недостаје сума у уобичајеном смислу. С друге стране, његов Цесаро збир је 1/2.

Доказ помоћу интеграла

За доказивање помоћу интеграла, потражићемо неодређени интеграл функције $e^{x}f(x)$ у односу на променљиву $x$. За било коју функцију $f$ понављаћемо парцијалну интеграцију, са $\frac{dv}{dx}=e^x$ и $u=f(x),f^{\prime }(x),f^{″}(x),\dots$:

$\begin{array}{cc}\int e^{x}f(x)dx& =e^{x}f(x)-\int e^x{f}^{\prime }(x)dx\\ & =e^{x}f(x)-e^x{f}^{\prime }(x)+\int e^x{f}^{″}(x)dx\\ & =e^x(f(x)-f^{\prime }(x)+f^{″}(x)-f^{‴}(x)+\cdots )+C\end{array}$

Овде је $C$ константа интеграције.

Узмимо да је $f(x)=\sin x$ добићемо резултат који ће помоћи за решавање Грандијевог реда $G=1-1+1-1+\cdots$:

$\begin{array}{cc}\int e^x\sin xdx& =e^x(\sin x-\cos x-\sin x+\cos x+\sin x-\cos x-\sin x+\cos x+\cdots )\\ & =e^x(\sin x\cdot (1-1+1-1+\cdots )+\cos x\cdot (-1+1-1+1+\cdots ))+C\\ & =G{e}^x(\sin x-\cos x)+C\end{array}$

Можемо и проширити интеграл коришћењем парцијалне интеграције  $\frac{dv}{dx}=e^x$ и $u=\sin x,\cos x$. Посматрамо интеграл као функцију  $I$ и видимо да имамо исти интеграл на обе стране једначине и додајемо $I$ обема странама и поделимо их двојком. Симболички:

$\begin{array}{cc}I& =\int e^x\sin xdx\\ & =e^x\sin x-\int e^x\cos xdx\\ & =e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx\\ & =e^x\sin x-e^x\cos x-I\\ & =\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\end{array}$

Поређење резултата проширеног интеграла коришћењем обе методе$\int e^x\sin xdx=G{e}^x(\sin x-\cos x)+C=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$ и ове  $G=1-1+1-1+\cdots =\frac{1}{2}$.

Доказ помоћу 1 / x реда

Ред:

$1/x=1-(x-1)+(x-1{)}^2-(x-1{)}^3+(x-1{)}^4-...$

Је прилично лако доказати. Прво, помножимо све x-ом. На левој страни, добијамо 1, а на десној страни представићемо х као (x - 1) + 1. Помножимо ред  (x - 1) и 1 одвојено и додамо два заједно.

$1=(x-1)-(x-1{)}^2+(x-1{)}^3-(x-1{)}^4+...+1-(x-1)+(x-1{)}^2-(x-1{)}^3+...$

Сви термини осим 1 се поништавају, и дају:

$1=1$

Примењујући овај ред за 2 добијамо:

$1/2=1-1+1-1+1-...$

Неригорозне методе

Један очигледан метод за напад реда

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

је да га третирамо као извучени ред и обавимо одузимање на месту:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

Са друге стране, сличан поступак доводи до наизглед контрадикторног резултата

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Тако, применом заграда код Грандијевог реда на различите начине, можемо добити или 0 или 1 као "вредности". (Варијације ове идеје, назване Еиленберг-Мазур превара, понекад се користе у теорији чворова и алгебре.)

Посматрајући Грандијев ред као дивергентни геометријски ред, можемо користити исте алгебарске методе да проширимо конвергентни геометријски ред да добијемо трећу вредност:

С = 1 − 1 + 1 − 1 + ..., тако да је

1 − С = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + ...) = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = С,

одакле добијамо да је С = 1/2. Исти закључак произлази из обрачуна −С, одузимањем резултата од С, и решавањем 2С = 1.

Наведене манипулације не узимају у обзир шта збир низа у ствари значи. Ипак, код проширења за које је важно да буде могуће да се изједначи низ по вољи, и још је важније да буде у стању да се обавља аритметика са њима, може се доћи до два закључка:

• Ред 1 − 1 + 1 − 1 + ... нема збир.
• ...али његов збир би требало да буде 1/2.

У ствари, обе ове изјаве могу се прецизно и формално доказати, али само помоћу добро дефинисаних математичких концепта који су настали у 19. веку. Након 17.-вековног увођења рачуна у Европу, али пре појаве модерне строгости, напетост између ових одговора подстакнула је оно што је окарактерисано као "бескрајни" и "насилни" спор између математичара.

Формула за сабирање до бесконачност Геометријског реда је  $\frac{a}{1-r}$, иако деривација за суму важи само када је $|r|<1$ (као и са модулом r мање од један, онда ће термини низа пасти на нулу како n расте и ред конвергира) формула још увек ради за r= -1. За случај када је $G=1-1+1-1...$ са $a=1$ и $r=-1$, збир до бесконачности G је$\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1--1}=\frac{1}{2}$ и $G=1-1+1-1...$ конвергира до $\frac{1}{2}$

Дивергенција

У модерној математици, збир бесконачног низа се дефинише као граница низа његових парцијалних сума, ако постоји. Редослед парцијалних сума Грандијвог низа је 1, 0, 1, 0, ..., који јасно не прилази било ком броју (иако нема две акумулације тачака на 0 и 1). Дакле, Грандијев ред дивергира.

Може се показати да не важи за обављање многих наизглед безазлених операција на низу, као што су прерасподела индивидуалних услова, осим ако низ апсолутно конвергира. Иначе ове операције могу да промене резултат сабирања. Даље, услови Грандијвог реда могу се преуредити тако да имају своје акумулације тачака у сваком интервалу од два или више узастопних целих бројева, не само 0 или 1. На пример, ред

$1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1\cdots$

(у ком се, после пет почетних +1 термина, термини смењују у паровима од +1 и -1 термина) је пермутација Грандијвог реда у којој свака вредност у преуређеном реду одговара вредности која је највише далеко од четири позиције у оригиналном реду; његове таче акумулације су 3, 4, и 5. 

Види још

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
• Рамануџанов збир
• Цесаро збир
• Томсонова лампа

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Један минус један плус један минус један - Намбрфил, Грандијеви редови на Јутјубу (youtube.com)