Инверз (математика)

У математици, појам инверзног елемента представља уопштење појмова негације, у односу на сабирање, и реципрочности, у односу на множење. Интуитивно, инверз може да поништи ефекат комбинације неког елемента са другим датим елементом.

Формална дефиниција

Нека је $S$ скуп са бинарном операцијом $*$. Ако је $e$ неутрални елемент за $(S,*)$ и $a*b=e$, онда је $a$ леви инверз од $b$ а $b$ је десни инверз од $a$. Ако је елемент $x$ уједно и леви и десни инверз од $y$, онда се $x$ назива двостраним инверзом, или просто инверзом, од $y$. Елемент који има двострани инверз у $S$ се назива инвертибилним у $S$. Елемент који има инверз само са једне стране је лево инвертибилан, или десно инвертибилан.

Као што је за $(S,*)$ могуће да има више левих идентитета или више десних идентитета, могуће је да елемент има више левих инверза или више десних инверза (али треба имати у виду да њихова горња дефиниција користи двострани идентитет, $e$). Елемент може чак да има више левих инверза и више десних инверза.

Ако је операција $*$ асоцијативна, онда ако елемент има и леви и десни инверз, они су једнаки и јединствени. У овом случају, скуп (лево и десно) инвертибилних елемената је група која се назива групом јединица од $S$, у ознаци $U(S)$ или $S^{*}$.

Рачунање

Сваки реалан број $x$ има адитивни инверз (инверз у односу на сабирање) једнак $-x$. Сваки реалан број различит од нуле, $x$ има мултипликативни инверз (инверз у односу на множење) једнак $\frac{1}{x}$. Нула нема мултипликативни инверз.

Функција $g$ је леви (или десни) инверз функције $f$ (за композицију функција), ако и само ако је $gof$ (или $fog$) функција идентитета на домену (или кодомену) функције $f$.

Квадратна матрица $M$ са елементима из поља $K$ је инвертибилна (у скупу свих квадратних матрица исте димензије, у односу на множење матрица) ако и само ако је њена детерминанта различита од нуле. Ако је детерминанта матрице $M$ једнака нули, немогуће је да та матрица има једнострани инверз; стога постојање левог инверза имплицира постојање десног (и обратно). Види инвертибилна матрица за детаљнији опис.

Општије, квадратна матрица над комутативним прстеном $R$ је инвертибилна ако и само ако је ењна детерминанта инвертибилна у $R$.

Неквадратне матрице пуног ранга имају једностране инверзе:

• За $A:m\times n\mid m>n$ постоји леви инверз: $\underset{A_{\text{left}}^{-1}}{\underbrace{(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T}}A=I_n$
• За $A:m\times n\mid m<n$ постоји десни инверз: $A\underset{A_{\text{right}}^{-1}}{\underbrace{A^T(A{A}^T{)}^{-1}}}=I_m$

Ниједна матрица која није пуног ранга нема било какав (ни једнострани) инверз. Међутим, Мур-Пенроузов псеудоинверз постоји за све матрице, и поклапа се са левим или десним (или двостраним) инверзом ако он постоји.

Пример

$A:2\times 3=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$
Дакле, како је $m<n$, постоји десни инверз. $A_{desni}^{-1}=A^T(A{A}^T{)}^{-1}$
$A{A}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}14& 32\\ 32& 77\end{array}\right]$
$(A{A}^T{)}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}14& 32\\ 32& 77\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{54}\left[\begin{array}{cc}77& -32\\ -32& 14\end{array}\right]$

$A^T(A{A}^T{)}^{-1}=\frac{1}{54}\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}77& -32\\ -32& 14\end{array}\right]=\frac{1}{18}\left[\begin{array}{cc}-17& 8\\ -2& 2\\ 13& -4\end{array}\right]=A_{desni}^{-1}$

Леви инверз не постоји, јер $A^{T}A=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}17& 22& 27\\ 22& 29& 36\\ 27& 36& 45\end{array}\right]$, што је сингуларна матрица, која не може да се инвертује.