Хуков закон

Хуков закон: сила је пропорционална продужењу

Бурдонове цеви су засноване на Хуковом закону. Сила створена притиском гаса унутар намотане металне цеви изнад је одмотава за количину пропорционалну притиску.

Равнотежни точак је у сржи многих механичких сатова зависи од Хуковог закона. Пошто је обртни моменат који генерише намотана опруга пропорционалан углу за који се точак окреће, његове осцилације имају скоро константан период.

У механици, Хуков закон еластичности је апроксимација која казује да је релативна деформација еластичног тела, у одређеним границама, директно пропорционална напону који на њега делује. Закон је назван по Роберту Хуку, енглеском физичару из 17. века, који га је открио и 1675. изразио латинским анаграмом: -{ceiiinosssttuu}-. Решење анаграма је објавио 1678. године као: Шаблон:Јез (= Колико истезање, толика сила). У свом раду из 1678. Хук тврди да је био свестан овог закона још од 1660. године.

У овом првобитном облику, закон се односио пре свега на опруге, тј. чињеницу да је сила коју опруга производи пропорционална њеном истезању или сабијању:

$F=-k\mathrm{\Delta }x$

Где је:

$F$ — сила коју опруга производи, знак „—“ означава супротан смер од помераја. Ако је опруга истегљена, њена сила ће тежити да је скупи и супортно, ако је опруга скупљена, сила опруге ће тежити да је рашири
$k$ — константа еластичности (коефицијент пропорционалности)
$\mathrm{\Delta }x$ — означава промену дужине при растезању или скупљању опруге у односу на њен основни, природни положај. Знак $\mathrm{\Delta }$ није обавезан, али обично се користи као ознака за промену

Данас је познато да Хуков закон важи за широк спектар еластичних тела, која се називају линеарно-еластичним телима, при деформацијама (истезање, увијање и сл.) које она трпе под утицајем сила. За свако такво тело, закон важи само у одређеним границама карактеристичним за њега — напон не сме прећи тзв. границу еластичности. Линеарни однос између деформације и напона је одређен константом пропорционалности, која се у зависности од типа деформације различито назива, такође карактеристичном за дато тело. Граница еластичности и константа пропорционалности зависе од природе материјала од кога је дато тело начињено и од осталих његових особина.

Формална дефиниција

За линеарне опруге

Замислимо једноставну спиралну опругу која има један крај причвршћен за неки фиксни предмет, док слободни крај вуче сила чија је величина Шаблон:Mvar. Претпоставимо да је опруга достигла стање равнотеже, где се њена дужина више не мења. Нека је Шаблон:Mvar количина за коју је слободни крај опруге померен из свог „опуштеног” положаја (када није истегнут). Хуков закон наводи да

$F_s=kx$

или, еквивалентно,

$x=\frac{F_s}{k}$

где је Шаблон:Mvar позитиван реалан број, карактеристичан за опругу. Штавише, иста формула важи и када је опруга компримована, при чему су Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar оба негативна у том случају. Према овој формули, график примењене силе Шаблон:Mvar као функције померања Шаблон:Mvar биће права линија која пролази кроз координатни почетак, чији је нагиб Шаблон:Mvar.

Хуков закон за опругу се понекад, али ретко, наводи под конвенцијом да је Шаблон:Mvar сила враћања коју опруга врши на било шта што вуче њен слободни крај. У том случају, једначина постаје

$F_s=-kx$

пошто је правац силе враћања супротан од смера померања.

Опште „скаларне” опруге

Хуков закон опруге обично се примењује на било који еластични објекат, произвољне сложености, све док се и деформација и напон могу изразити једним бројем који може бити и позитиван и негативан.

На пример, када се блок гуме причвршћен за две паралелне плоче деформише смицањем, а не истезањем или компресијом, сила смицања Шаблон:Math и бочно померање плоча Шаблон:Mvar поштују Хуков закон (за довољно мале деформације).

Хуков закон се такође примењује када је равна челична шипка или бетонска греда (попут оне која се користи у зградама), ослоњена на оба краја, савијена теретом Шаблон:Mvar постављеном у некој међутачки. Померање Шаблон:Mvar у овом случају је одступање греде, мерено у попречном правцу, у односу на њен неоптерећени облик.

Закон се такође примењује када се истегнута челична жица уврне повлачењем полуге причвршћене на једном крају. У овом случају напрезање Шаблон:Mvar се може узети као сила примењена на полугу, а Шаблон:Mvar као растојање које она пређе дуж своје кружне путање. Или, еквивалентно, може се дозволити да Шаблон:Mvar буде обртни момент који полуга примењује на крај жице, а Шаблон:Mvar је угао за који се тај крај окреће. У оба случаја Шаблон:Mvar је пропорционалан Шаблон:Mvar (иако је константа Шаблон:Mvar различита у сваком случају.)

Векторска формулација

У случају спиралне опруге која је истегнута или сабијена дуж своје осе, примењена (или обнављајућа) сила и резултирајуће издужење или компресија имају исти смер (који је правац наведене осе). Према томе, ако су Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar дефинисани као вектори, Хукова једначина и даље важи и наводи да је вектор силе вектор елонгације помножен фиксним скаларом.

Општи тензорски облик

Нека еластична тела ће се деформисати у једном правцу када су изложена сили у другом правцу. Један пример је хоризонтална дрвена греда неквадратног правоугаоног пресека која је савијена попречним оптерећењем које није ни вертикално ни хоризонтално. У таквим случајевима, величина померања Шаблон:Mvar биће пропорционална величини силе Шаблон:Mvar, све док смер ове друге остаје исти (а њена вредност није превелика); те ће важити скаларна верзија Хуковог закона Шаблон:Math. Међутим, вектори силе и померања неће бити скаларни вишекратници један другог, пошто имају различите правце. Штавише, однос Шаблон:Mvar између њихових величина зависиће од правца вектора Шаблон:Mvar.

Ипак, у таквим случајевима често постоји фиксни линеарни однос између вектора силе и деформације, све док су довољно мали. Наиме, постоји функција Шаблон:Mvar од вектора до вектора, таква да је Шаблон:Math, и Шаблон:Math за било које реалне бројеве Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и све векторе померања Шаблон:Math, Шаблон:Math. Таква функција се назива тензор (другог реда).

У односу на произвољан Декартов координатни систем, вектори силе и померања могу бити представљени 3 × 1 матрицама реалних бројева. Тада тензор Шаблон:Math који их повезује може бити представљен 3 × 3 матрицом Шаблон:Mvar реалних коефицијената, која, када се помножи са вектором померања, даје вектор силе:

$𝐅=\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\kappa }_{11}& {\kappa }_{12}& {\kappa }_{13}\\ {\kappa }_{21}& {\kappa }_{22}& {\kappa }_{23}\\ {\kappa }_{31}& {\kappa }_{32}& {\kappa }_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\end{array}\right]=𝜿𝐗$

То је,

$F_i={\kappa }_{i1}{X}_1+{\kappa }_{i2}{X}_2+{\kappa }_{i3}{X}_3$

за Шаблон:Math. Стога се може рећи да Хуков закон Шаблон:Math важи и када су Шаблон:Math и Шаблон:Math вектори са променљивим правцима, осим што је крутост објекта тензор Шаблон:Mvar, а не један реалан број Шаблон:Mvar.

Хуков закон за континуиране медије

(a) Шема полимерне наноопруге. Полупречник завојнице, -{R}-, корак, -{P}-, дужина опруге, -{L}-, и број завоја, -{N}-, су 2,5 -{μм}-, 2,0 -{μм}-, 13 -{μм}- и 4. Електронске микрофотографије наноопруге, пре напињања (-{b-e}-), растегнуте (f), компримоване (г), савијене (-{g}-) и опорављене (-{i}-). Све траке скале су 2 -{μm}-. Опруга прати линеарни одговор на примењену силу, демонстрирајући валидност Хуковог закона на наноразмерама.

Напони и напрезања материјала унутар континуираног еластичног материјала (као што је блок гуме, зид котла или челична шипка) повезани су линеарним односом који је математички сличан Хуковом закону опруге и често се назива да под тим именом.

Међутим, стање деформације у чврстој средини око неке тачке не може се описати једним вектором. Исти комад материјала, ма колико мали, може се истовремено сабијати, растезати и резати у различитим правцима. Исто тако, напрезања у том сегменту могу бити истовремено гурање, повлачење и смицање.

Да би се описала ова сложеност, релевантно стање средине око тачке мора бити представљено тензорима од две секунде, тензором деформације Шаблон:Math (уместо померања Шаблон:Math) и тензором напона Шаблон:Math (који замењује повратну силу Шаблон:Math). Аналог Хуковог закона опруге за континуиране медије је онда

$𝝈=𝐜𝜺,$

где је Шаблон:Math тензор четвртог реда (то јест, линеарна мапа између тензора другог реда) који се обично назива тензор крутости или тензор еластичности. То се може написати као

$𝜺=𝐬𝝈,$

при чему тензор Шаблон:Math, назван тензор усклађености, представља инверзну линију наведене линеарне мапе.

У картезијанском координатном систему, тензори напона и деформација могу бити представљени 3 × 3 матрицама

$𝜺=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right];𝝈=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]$

Будући да је линеарно пресликавање између девет бројева Шаблон:Math и девет бројева Шаблон:Math, тензор крутости Шаблон:Math је представљен матрицом од 3 × 3 × 3 × 3 = 81 реални број Шаблон:Math. Хуков закон онда наводи

${\sigma }_{ij}=\sum _{k=1}^3\sum _{l=1}^3{c}_{ijkl}{\epsilon }_{kl}$

где је Шаблон:Math.

Сва три тензора генерално варирају од тачке до тачке унутар медија, а могу варирати и са временом. Тензор деформације Шаблон:Math само специфицира померање честица медијума у околини тачке, док тензор напона Шаблон:Math специфицира силе којима суседни сегменти медијума делују једни на друге. Стога су оне независне од састава и физичког стања материјала. Тензор крутости Шаблон:Math, с друге стране, својство је материјала и често зависи од варијабли физичког стања као што су температура, притисак и микроструктура.

Због инхерентних симетрија Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math, само 21 еластични коефицијент последњег је независан. Овај број се може додатно смањити симетријом материјала: 9 за орторомбни кристал, 5 за хексагоналну структуру и 3 за кубну симетрију. За изотропне медије (који имају исте физичке особине у било ком правцу), Шаблон:Math се може свести на само два независна броја, модул запремине Шаблон:Mvar и модул смицања Шаблон:Mvar, који квантификују отпорност материјала на промене запремине и деформације смицања.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Walter Lewin explains Hooke's law. From Шаблон:Cite video
• A test of Hooke's law. From Шаблон:Cite video

Спољашње везе

• JavaScript Applet demonstrating Springs and Hooke's law
• JavaScript Applet demonstrating Spring Force