Фаулхаберова формула

Фаулхаберова формула представља суму:

$\sum _{k=1}^n{k}^p=1^p+2^p+3^p+\cdots +n^p$

Добила је име по немачком математичару Јохану Фаулхаберу. Формула се може представити преко Бернулијевих бројева као:

$\sum _{k=1}^n{k}^m=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k{n}^{m+1-k}$

Примери

$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$

$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$

$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\left(\frac{n^2+n}{2}\right)}^2=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$

$1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}$

$1^5+2^5+3^5+\cdots +n^5=\frac{2n^6+6n^5+5n^4-n^2}{12}$

$1^6+2^6+3^6+\cdots +n^6=\frac{6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n}{42}$

Доказ

Дефинишемо ли суму

$S_p(n)=\sum _{k=1}^n{k}^p.$

Тада је:

$S_p(1)=1$

$S_p(n+1)=S_p(n)+(n+1{)}^p.$

Покушајмо сада да $S_p(n)$ изразимо у облику полинома:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{p,k}{n}^{k+1}$

Уврстимо ли то у други израз у овом поглављу добијамо:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{p,k}(n+1{)}^{k+1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{p,k}{n}^{k+1}+(n+1{)}^p$

Користимо биномну теорему, па следи:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{p,k}[\left(\sum _{j=0}^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{j})n^j\right)-n^{k+1}]=(n+1{)}^p$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{p,k}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{j})n^j=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j})n^j.$

Двоструку суму на левој страни преуредимо узимајући у обзир Шаблон:Math:

$\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{n}^j\sum _{k=j}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{j})a_{p,k}=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j})n^j.$

и коначно се добија:

$\sum _{k=j}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{j})a_{p,k}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j}).$

Десна страна је једнака нули за Шаблон:Math, па је онда $a_{p,k}=0$ за Шаблон:Math. Обе стране једначине множимо са Шаблон:Math, па уз коришћење Поххамеровога симбола вреди:

$\sum _{k=j}^p(k+1{)}_j{a}_{p,k}=(p{)}_j$

$\sum _{k=j}^p(k+1{)}_t(k+1-t{)}_{j-t}{a}_{p,k}=(p{)}_t(p-t{)}_{j-t}$

Супституцијом Шаблон:Math и преуређењем добија се:

$\sum _{k^{\prime }=j-t}^{p-t}(k^{\prime }+1{)}_{j-t}\left[\frac{(k^{\prime }+t+1{)}_t}{(p{)}_t}{a}_{p,k^{\prime }+t}\right]=(p-t{)}_{j-t}.$

односно:

$\frac{(k^{\prime }+t+1{)}_t}{(p{)}_t}{a}_{p,k^{\prime }+t}=a_{p-t,k^{\prime }}.$

За Шаблон:Math је:

$a_{p,t}=\frac{(p{)}_t}{(t+1{)}_t}{a}_{p-t,0}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{t})\frac{a_{p-t,0}}{t+1}.$

а то управо одговара Бернулијевим бројевима, тако да коначно добијамо:

$\sum _{k=1}^n{k}^p=\sum _{j=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j})\frac{B_{p-j}}{j+1}{n}^{j+1}$

Веза са Бернулијевим полиномима

$\sum _{k=1}^n{k}^p=\frac{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1},$

а ту су $B_p(x)$ Бернулијеви полиноми.

Фаулхаберови полиноми

Фаулхабер је уочио да у случају непарнога p сума

$1^p+2^p+3^p+\cdots +n^p$

представља полином од

$a=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Тако је нпр:

$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=a^2;$

$1^5+2^5+3^5+\cdots +n^5=\frac{4a^3-a^2}{3};$

$1^7+2^7+3^7+\cdots +n^7=\frac{12a^4-8a^3+2a^2}{6};$

$1^9+2^9+3^9+\cdots +n^9=\frac{16a^5-20a^4+12a^3-3a^2}{5};$

$1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}=\frac{32a^6-64a^5+68a^4-40a^3+10a^2}{6}.$

Литература

• Фаулхаберова формула
• -{Donald E. Knuth: Johann Faulhaber and Sums of Powers. Math. Comp. 61 (1993), no. 203, S. 277-294}-
• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Шаблон:ISBN}-
• Бернулијеви бројеви