Биномна теорема

Биномни коефицијенти се појављују као елементи Паскаловог троугла.

Биномна теорема је теорема елементарне алгебре и описује коефицијенте степена бинома када је он представљен у развијеној форми. По овој теореми, могуће је представити израз (-{x}- + -{y}-)^-{n}- сумом сабирака облика -{ax}-^-{b}--{y}-^-{c}-, где су коефицијенти -{a}- позитивни цели бројеви, при чему је збир експонената -{x}- и -{y}- једнак -{n}- за сваки сабирак. На пример:

$(x+y{)}^4=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4.$

Коефицијенти који се појављују у биномном развоју називају се биномни коефицијенти. Они су идентични бројевима који се појављују у Паскаловом троуглу. Ови бројеви се могу израчунати једноставном формулом која користи факторијел.

Исти ови коефицијенти се јављају у комбинаторици, где је израз -{x}-^{-{n}-−-{k}-}-{y}-^-{k}- једнак броју различитих комбинација -{k}- елемената који се бирају из скупа од -{n}- чланова.

Формуле

Коефицијент који стоји уз -{x}-^{-{n}-−-{k}-}-{y}-^-{k}- дат је формулом:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

која је дефинисана уз помоћ функције факторијела -{n}-!. Ова формула се може написати и на следећи начин:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}=\prod _{\ell =1}^k\frac{n-\ell +1}{\ell }$

где су -{k}- фактори и у имениоцу и у бројиоцу разломка. Иако се у овој формули користи разломак, биномни коефицијенти су цели бројеви.

Исказ теореме

Сваки степен израза -{x}- + -{y}- могуће је представити у форми:

$\begin{array}{cc}(x+y{)}^n& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^n{y}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})x^{n-3}{y}^3+\cdots \\ & \cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^0{y}^n,\end{array}$

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ означава одговарајући биномни коефицијент. Други начин записивања ове формуле је:

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k.$

Спољашње везе

• Увод у биномну теорему Шаблон:Wayback