Бернулијеви полиноми

Бернулијеви полиноми у математици представљају полиноме, који су добили име према Јакобу Бернулију, а сусрећу се приликом изучавања многих специјалних функција, а посебно Риманове зета функције и Хурвицове зета функције.

Општи облик

$B_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_{n-k}{x}^k$, где су $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ — биномни коефицијенти, а $B_k$ — Бернулијеви бројеви.

Или

$B_n(x)=\sum _{m=0}^n\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(x+k{)}^n.$

Генерирајућа функција и чланови

Генерирајућа функција Бернулијевих полинома је:

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Бернулијеви полиноми

Неколико првих Бернулијевих полинома:

$B_0(x)=1,$

$B_1(x)=x-\frac{1}{2},$

$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}x,$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}.$

Својства

$B_n(0)=B_n$.

Рачунајући извод генерирајуће функције по x добија се:

$t^2{e}^{tx}\frac{1}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B{\text{'}}_n(x)}{n!}{t}^n$.

Лева страна разликује се од генерирајуће функције само по t, па је:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B{\text{'}}_n(x)}{n!}{t}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n(x)}{n!}{t}^{n+1}$.

Из чега се добија

$\frac{B{\text{'}}_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}$, а онда је

$B{\text{'}}_n(x)=n{B}_{n-1}(x)$.

Из последње једначине добија се правило интегрирања Бернулијевих полинома:

$B_n(x)=B_n+n\underset{0}{\overset{x}{\int }}{B}_{n-1}(t)dt$.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(x)dx=1$ (када је $n>0$ )

Следећа сума позната као Фаулхаберова формула даде се приказати помоћу Бернулијевих полинома:

$\sum _{k=0}^x{k}^p=\frac{B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}.$

Интеграли

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}{B}_n(t)dt=\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}$

Definite integrals

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(t)B_m(t)dt=(-1{)}^{n-1}\frac{m!n!}{(m+n)!}{B}_{n+m}\text{ for }m,n\ge 1$

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Шаблон:ISBN}-