Тангентни четвороугао

Тангентни четвороугао је сваки четвороугао за кога важи да постоји кружница која додирује све његове странице. Назив тангентни потиче од особине да свака страница четвороугла јесте тангентна дуж на круг.

квадрат

квадрат

Једна од основних особина тангентног четвороугла:

Четвороугао је тангентан ако и само ако се симетрале његових унутрашњих углова секу у једној тачки.

Ова особина дефинише начин за конструкцију центра уписане кружнице. Конструишу се симетрале углова и оне се секу у центру уписане кружнице.

Важи такође и једна важна особина која је везана за дужине страница:

Четвороугао ABCD је тангентан ако је $|\overline{AB}|+|\overline{CD}|=|\overline{AD}|+|\overline{BC}|$. Важи и обрнуто - ако је четвороугао тангентан, тада је збир наспрамних страница међусобно једнак.

Последица је следећа. Ако се странице означе са -{a, b, c, d}- тада је

$a+c=b+d=\frac{a+b+c+d}{2}=s$

где је -{s}- полуобим.

Ако су странице тангентног четвороугла -{a, b, c, d}-, и -{r}- је полупречник уписане кружнице, тада је његова површина дата формулом

$P=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot r$

Четвороуглови у које се истовремено може уписати круг и описати круг се зову бицентрични четвороуглови или тетивно-тангентни четвороуглови.

Примери

Примери тангентних четвороуглова су: квадрат, ромб и делтоид.

Датотека:Tangentni 1.svg Датотека:Tangentni 2.svg Датотека:Tangentni 3.svg

Четвороуглови за које сигурно знамо да се у њих не могу уписати кругови (нису тангентни) су паралелограм и правоугаоник. Код једнакокраког трапеза постоји специјалан случај када се круг може уписати.

Неке особине тангентног четвороугла

Датотека:Tangentni 5.svg

Нека је тангентни четвороугао $ABCD$ трапез ($\overline{AB}||\overline{CD}$), чије се дијагонале секу у тачки $O$.

Ако су $r_1$, $r_2$, $r_3$ и $r_4$ полупречници кружница уписаних у троуглове $\mathrm{\Delta }ABO$, $\mathrm{\Delta }BCO$, $\mathrm{\Delta }CDO$ и $\mathrm{\Delta }DAO$, тада је

$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}$

И такође ако су $s_1$,$s_2$,$s_3$ и $s_4$ полуобими троуглова $\mathrm{\Delta }ABO$, $\mathrm{\Delta }BCO$, $\mathrm{\Delta }CDO$ и $\mathrm{\Delta }DAO$, тада је

$s_1+s_3=s_2+s_4$

Види још

• Тетивни четвороугао
• Тетивно-тангентни четвороугао

Литература

• Владимир Стојановић, Тетиве и тангенте, Математископ. Шаблон:Page1