Покривач (математика)

Дефиниција:

Покривачем скупа $Y$ називамо произвољну породицу подскупова $𝕏$ неког скупа $X$, тј. $𝕏=\{X_i|i\in I\}$, а $Y\subset X$ ако важи:

$Y\subset \bigcup _{i\in I}{X}_i$, тј. ако сваки елемент скупа $Y$ припада бар неком од чланова породице $𝕏$.

Специјално, ако за неко $J\subset I$, и нека потпородица ${𝕏}^{\prime }=\{X_j|j\in J\}$ сама чини покривач скупа $Y$, тада кажемо да је породица ${𝕏}^{\prime }$ потпокривач скупа $Y$.

Примена

Покривач је појам који се највише користи у Теорији скупова и Топологији. У Реалној анализи под покривачем скупа подразумева се покривање неке криве интервалима.

Борел-Лебегова лема

Једна од познатијих теорема из Реалне анализе у чијем се доказу користе покривачи, је тзв. Борел-Лебегова лема.

Лема

Из сваког покривача отвореним интервалима, одсечка реалне праве $[a,b]$, може се издвојити коначан потпокривач.

Доказ

Означимо са $X$ скуп свих оних тачака $x$ за које важи да се одсечак $[a,x]$ може покрити коначним бројем отворених интервала. Тај скуп $X$ очигледно није празан, јер му припада најпре тачка $a$ која према условима тврђења мора припадати неком отвореном интервалу. Потребно је доказати да и тачка $b$ припада скупу $X$. Пошто скуп $X$ није празан и ограничен је одозго, он мора имати супремум. Нека је $y$ његов супремум. Ако претпостављамо да тачка $b$ не припада том скупу, онда је $x\le y\le b$, те и $y$ припада одсечку $[a,b]$, па као и свака тачка тог сегмента, и $y$ припада неком отвореном интервалу $(\alpha ,\beta )$. Тада за неко $x$ важи: $\alpha \le x\le y$, јер би иначе то $x$ било супремум скупа $X$. Интервал $(\alpha ,\beta )$ можемо придружити скупу $X$, зато што је могуће и одсечак $[a,y]$ прекрити са коначним бројем отворених интервала. Међутим, ако би било $y\ne b$, тада би се између $y$ и $b$ нашло још чланова скупа $X$ због отворености интервала $(\alpha ,\beta )$, што је у супротности са тиме да је $y$ супремум скупа $X$. Због тога, и $b$ припада скупу $X$, чиме смо доказали да се одсечак $[a,b]$ може прекрити са коначним бројем отворених интервала, што је и тврђење леме.

Види још

• Компактност
• Топологија
• Борел-Лебегова лема

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.