Канторов став о равномерној непрекидности

Канторов став даје општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција.

Формулација

Канторов став о равномерној непрекидности функција или Канторова теорема о равномерној непрекидности функција гласи:

Свака функција $f:[a,b]\to ℝ$ која је непрекидна на интервалу $[a,b]$, равномерно је непрекидна на њему.

Доказ

Део 1:

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција $f:[a,b]\to ℝ$ непрекидна на интервалу $[a,b]$ (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку $x$ из тог сегмента постоји нека околина $U(x)=(x-\delta ,x+\delta )$ и за све тачке $x_1\in U(x)$ важи: $|f(x)-f(x_1)|<\frac{\epsilon }{2})$.

Изаберимо 2 тачке, $x_1,x_2\in U(x)$. Тада је:

$|f(x_1)-f(x_2)|\le |f(x)-f(x_1)|+|f(x)-f(x_2)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$

Део 2:

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, $U^{\prime }(x)=(x-\frac{\delta }{2},x+\frac{\delta }{2})$. Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента $[a,b]$, добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент $[a,b]$, па скуп тих интервала чини покривач сегмента $[a,b]$. Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан подпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке $x_1,x_2,...,x_n$ тако да њихове околине $U{\text{'}}_1,U{\text{'}}_2,...,U{\text{'}}_n$ образују подпокривач сегмента $[a,b]$. Како тачака $x_1,x_2,...,x_n$ има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање $\frac{{\delta }_i}{2}$ и означимо га са $\delta$.

Део 3:

Изаберимо сада неку тачку $x^{\prime }$ из интервала $[a,b]$ која припада неком од интервала $U{\text{'}}_1,U{\text{'}}_2,...,U{\text{'}}_n$, што записујемо: $|x_i-x^{\prime }|<\frac{{\delta }_i}{2}$.

Изаберимо и тачку $x^{″}$ из интервала $[a,b]$ која се налази у $\delta$-околини тачке $x^{\prime }$, тј. $|x^{\prime }-x^{″}|<\delta$. То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је $\delta \le \frac{{\delta }_i}{2}$, онда је сигурно и $|x^{\prime }-x^{″}|<\frac{{\delta }_i}{2}$.

Сада, из $|x_i-x^{\prime }|<\frac{{\delta }_i}{2}$ и $|x^{\prime }-x^{″}|<\frac{{\delta }_i}{2}$ имамо да је:

$|x_i-x^{″}|\le |x^{\prime }-x_i|+|x^{\prime }-x^{″}|<\frac{{\delta }_i}{2}+\frac{{\delta }_i}{2}={\delta }_i,$

тј. обе тачке, и $x^{\prime }$ и $x^{″}$, припадају ${\delta }_i$-околини тачке $x_i$, односно, обе се налазе унутар неке околине $(x-{\delta }_i,x+{\delta }_i)$, па из Дела 1: имамо да је онда $|f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\epsilon$, што је и требало доказати.

Напомена

Канторов став у наведеном облику се односи на реалну анализу. Аналогна теорема постоји и у општијем случају, у топологији код метричких простора.

Види још

• Равномерна непрекидност
• Непрекидност
• Борел-Лебегова лема

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.