Просте омега функције

У теорији бројева, просте омега функције $\omega (n)$ и $\mathrm{\Omega }(n)$ броје просте факторе природног броја $n.$ Број различитих простих фактора додељује се функцији $\omega (n)$ (мала омега), док $\mathrm{\Omega }(n)$ (велика омега) броји укупан број простих фактора са вишеструкошћу (погледати аритметичка функција). То јест, ако имамо просту факторизацију броја $n$ у облику $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$ за различите просте бројеве $p_i$ ($1\le i\le k$), онда су просте омега функције дате са $\omega (n)=k$ и $\mathrm{\Omega }(n)={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_k$. Ове функције за бројање простих фактора имају многе важне релације у теорији бројева.

Особине и релације

Функција $\omega (n)$ је адитивна, а $\mathrm{\Omega }(n)$ је потпуно адитивна. Мала омега има формулу

$\omega (n)=\sum _{p\mid n}1,$

где нотација Шаблон:Math означава да се сума узима преко свих простих бројева Шаблон:Mvar који деле Шаблон:Mvar, без вишеструкости. На пример, $\omega (12)=\omega (2^2\cdot 3)=2$.

Велика омега има формуле

$\mathrm{\Omega }(n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha .$

Нотација Шаблон:Math означава да се сума узима преко свих степена простих бројева Шаблон:Math који деле Шаблон:Mvar, док Шаблон:Math означава да се сума узима преко свих степена простих бројева Шаблон:Math који деле Шаблон:Mvar тако да је Шаблон:Math узајамно прост са Шаблон:Math. На пример, $\mathrm{\Omega }(12)=\mathrm{\Omega }(2^2\cdot 3^1)=3$.

Омега функције су повезане неједнакостима Шаблон:Math и Шаблон:Math, где је Шаблон:Math функција броја делитеља. Ако је Шаблон:Math, онда је Шаблон:Mvar безквадратни број и повезан је са Мебијусовом функцијом преко

$\mu (n)=(-1{)}^{\omega (n)}=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}.$

Ако је $\omega (n)=1$, онда је $n$ степен простог броја, а ако је $\mathrm{\Omega }(n)=1$, онда је $n$ прост број.

Асимптотски ред за просечан ред функције $\omega (n)$ је

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\omega (k)\sim \log \log n+B_1+\sum _{k\ge 1}(\sum _{j=0}^{k-1}\frac{{\gamma }_j}{j!}-1)\frac{(k-1)!}{(\log n{)}^k},$

где је $B_1\approx 0.26149721$ Мертенсова константа, а ${\gamma }_j$ су Стилтјесове константе.

Функција $\omega (n)$ је повезана са сумама делитеља преко Мебијусове функције и делитељске функције, укључујући:

$\sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}$ је број унитарних делитеља. Шаблон:OEIS

$\sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1{)}^{\omega (n)}$

$\sum _{r\mid n}{2}^{\omega (r)}=d(n^2)$

$\sum _{r\mid n}{2}^{\omega (r)}d\left(\frac{n}{r}\right)=d^2(n)$

$\sum _{d\mid n}(-1{)}^{\omega (d)}=\prod _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )$

$\sum _{\stackrel{1\le k\le m}{(k,m)=1}}gcd(k^2-1,m_1)gcd(k^2-1,m_2)=\phi (n)\sum _{\stackrel{d_1\mid m_1}{d_2\mid m_2}}\phi (gcd(d_1,d_2))2^{\omega (\mathrm{lcm}(d_1,d_2))},m_1,m_2\text{ непарни},m=\mathrm{lcm}(m_1,m_2)$

$\sum _{\stackrel{1\le k\le n}{\gcd (k,m)=1}}1=n\frac{\phi (m)}{m}+O\left(2^{\omega (m)}\right)$

Карактеристична функција простих бројева може се изразити конволуцијом са Мебијусовом функцијом:

${\chi }_{\mathbb{P}}(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).$

Тачан идентитет за $\omega (n)$ повезан са партицијама дат је са

$\omega (n)={\log }_2[\sum _{k=1}^n\sum _{j=1}^k(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji))s_{n,k}\cdot |\mu (j)|],$

где је $p(n)$ партициона функција, $\mu (n)$ је Мебијусова функција, а троугаони низ $s_{n,k}$ се проширује као

$s_{n,k}=[q^n](q;q{)}_{\mathrm{\infty }}\frac{q^k}{1-q^k}=s_o(n,k)-s_e(n,k),$

у терминима бесконачног q-Покхамеровог симбола и ограничених партиционих функција $s_{o/e}(n,k)$ које респективно означавају број појављивања броја $k$ у свим партицијама броја $n$ на непаран (паран) број различитих делова.

Наставак на комплексну раван

Пронађен је наставак функције $\omega (n)$, иако није аналитичан свуда. Имајте на уму да се користи нормализована $\mathrm{sinc}$ функција $\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$.

$\omega (z)={\log }_2(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\mathrm{sinc}\left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}(n^2+n-mz)\right))$

Ово је блиско повезано са следећим партиционим идентитетом. Размотримо партиције облика

$a=\frac{2}{c}+\frac{4}{c}+\dots +\frac{2(b-1)}{c}+\frac{2b}{c}$

где су $a$, $b$, и $c$ позитивни цели бројеви, и $a>b>c$. Број партиција је тада дат са $2^{\omega (a)}-2$.

Просечан ред и суматорне функције

Просечан ред и функције $\omega (n)$ и $\mathrm{\Omega }(n)$ је $\log \log n$. Када је $n$ прост број, доња граница вредности функције је $\omega (n)=1$. Слично томе, ако је $n$ приморијал, функција је велика као

$\omega (n)\sim \frac{\log n}{\log \log n}$

у просечном реду. Када је $n$ степен двојке, онда је $\mathrm{\Omega }(n)={\log }_2(n).$

Асимптотике за суматорне функције над $\omega (n)$, $\mathrm{\Omega }(n)$, и степенима $\omega (n)$ су респективно

$\begin{array}{cc}\sum _{n\le x}\omega (n)& =x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\ \sum _{n\le x}\mathrm{\Omega }(n)& =x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\ \sum _{n\le x}\omega (n{)}^2& =x(\log \log x{)}^2+O(x\log \log x)\\ \sum _{n\le x}\omega (n{)}^k& =x(\log \log x{)}^k+O(x(\log \log x{)}^{k-1}),k\in {\mathbb{Z}}^{+},\end{array}$

где је $B_1\approx 0.2614972128$ Мертенсова константа, а константа $B_2$ је дефинисана са

$B_2=B_1+\sum _{p\text{ прост}}\frac{1}{p(p-1)}\approx \mathrm{1.0345061758.}$

Сума броја унитарних делитеља је

$\sum _{n\le x}{2}^{\omega (n)}=(x\log x)/\zeta (2)+O(x)$ Шаблон:OEIS

Друге суме које повезују две варијанте простих омега функција укључују

$\sum _{n\le x}\{\mathrm{\Omega }(n)-\omega (n)\}=O(x),$

и

$\mathrm{\#}\{n\le x:\mathrm{\Omega }(n)-\omega (n)>\sqrt{\log \log x}\}=O\left(\frac{x}{(\log \log x{)}^{1/2}}\right).$

Пример I: Модификована суматорна функција

У овом примеру предлажемо варијанту суматорних функција $S_{\omega }(x):=\sum _{n\le x}\omega (n)$ процењених у горенаведеним резултатима за довољно велико $x$. Затим доказујемо асимптотску формулу за раст ове модификоване суматорне функције изведену из асимптотске процене $S_{\omega }(x)$ дате у формулама у главном под-одељку овог чланка.

Да будемо потпуно прецизни, нека је суматорна функција са непарним индексима дефинисана као

$S_{\mathrm{odd}}(x):=\sum _{n\le x}\omega (n)[n\text{ је непаран}],$

где $[\cdot ]$ означава Ајверсонову заграду. Тада имамо да је

$S_{\mathrm{odd}}(x)=\frac{x}{2}\log \log x+\frac{(2B_1-1)x}{4}+\left\{\frac{x}{4}\right\}-[x\equiv 2,3mod4]+O\left(\frac{x}{\log x}\right).$

Доказ овог резултата следи прво из запажања да

$\omega (2n)=\{\begin{array}{cc}\omega (n)+1,& \text{ако је }n\text{ непаран; }\\ \omega (n),& \text{ако је }n\text{ паран,}\end{array}$

а затим применом асимптотског резултата из Хардија и Рајта за суматорну функцију над $\omega (n)$, означену са $S_{\omega }(x):=\sum _{n\le x}\omega (n)$, у следећем облику:

$\begin{array}{cc}{S}_{\omega }(x)& =S_{\mathrm{odd}}(x)+\sum _{n\le \lfloor \frac{x}{2}\rfloor }\omega (2n)\\ & =S_{\mathrm{odd}}(x)+\sum _{n\le \lfloor \frac{x}{4}\rfloor }(\omega (4n)+\omega (4n+2))\\ & =S_{\mathrm{odd}}(x)+\sum _{n\le \lfloor \frac{x}{4}\rfloor }(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1)\\ & =S_{\mathrm{odd}}(x)+S_{\omega }\left(\lfloor \frac{x}{2}\rfloor \right)+\lfloor \frac{x}{4}\rfloor .\end{array}$

Пример II: Суматорне функције за факторијелске моменте функције ω(n)

Прорачуни проширени у поглављу 22.11 Хардија и Рајта дају асимптотске процене за суматорну функцију

$\omega (n)\{\omega (n)-1\},$

процењујући производ ове две компонентне омега функције као

$\omega (n)\{\omega (n)-1\}=\sum _{\stackrel{pq\mid n}{\stackrel{p\ne q}{p,q\text{ прости}}}}1=\sum _{\stackrel{pq\mid n}{p,q\text{ прости}}}1-\sum _{\stackrel{p^2\mid n}{p\text{ прост}}}1.$

Слично можемо израчунати асимптотске формуле у општијем случају за повезане суматорне функције над такозваним факторијелским моментима функције $\omega (n)$.

Дирихлеови редови

Познат Дирихлеов ред који укључује $\omega (n)$ и Риманову зета-функцију дат је са

$\sum _{n\ge 1}\frac{2^{\omega (n)}}{n^s}=\frac{{\zeta }^2(s)}{\zeta (2s)},\mathrm{\Re }(s)>1.$

Такође можемо видети да је

$\sum _{n\ge 1}\frac{z^{\omega (n)}}{n^s}=\prod _p(1+\frac{z}{p^s-1}),|z|<2,\mathrm{\Re }(s)>1,$

$\sum _{n\ge 1}\frac{z^{\mathrm{\Omega }(n)}}{n^s}=\prod _p{(1-\frac{z}{p^s})}^{-1},|z|<2,\mathrm{\Re }(s)>1,$

Функција $\mathrm{\Omega }(n)$ је потпуно адитивна, док је $\omega (n)$ строго адитивна (адитивна). Сада можемо доказати кратку лему у следећем облику, која имплицира тачне формуле за развоје Дирихлеових редова над $\omega (n)$ и $\mathrm{\Omega }(n)$:

Лема. Претпоставимо да је $f$ строго адитивна аритметичка функција дефинисана тако да су њене вредности на степенима простих бројева дате са $f(p^{\alpha }):=f_0(p,\alpha )$, тј. $f(p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_k^{{\alpha }_k})=f_0(p_1,{\alpha }_1)+\cdots +f_0(p_k,{\alpha }_k)$ за различите просте бројеве $p_i$ и експоненте ${\alpha }_i\ge 1$. Дирихлеов ред функције $f$ се развија као

$\sum _{n\ge 1}\frac{f(n)}{n^s}=\zeta (s)\times \sum _{p\text{ прост}}(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\ge 1}{f}_0(p,n)p^{-ns},\mathrm{\Re }(s)>min(1,{\sigma }_f).$

Доказ. Можемо видети да је

$\sum _{n\ge 1}\frac{u^{f(n)}}{n^s}=\prod _{p\text{ прост}}(1+\sum _{n\ge 1}{u}^{f_0(p,n)}{p}^{-ns}).$

Ово имплицира да је

$\begin{array}{cc}\sum _{n\ge 1}\frac{f(n)}{n^s}& =\frac{d}{du}\left[\prod _{p\text{ прост}}(1+\sum _{n\ge 1}{u}^{f_0(p,n)}{p}^{-ns})\right]{|}_{u=1}=\prod _p(1+\sum _{n\ge 1}{p}^{-ns})\times \sum _p\frac{\sum _{n\ge 1}{f}_0(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\ge 1}{p}^{-ns}}\\ & =\zeta (s)\times \sum _{p\text{ прост}}(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\ge 1}{f}_0(p,n)p^{-ns},\end{array}$

где год одговарајући редови и производи конвергирају. У последњој једначини, користили смо Ојлеров производ за Риманову зета-функцију.

Лема имплицира да за $\mathrm{\Re }(s)>1$,

$\begin{array}{cc}{D}_{\omega }(s)& :=\sum _{n\ge 1}\frac{\omega (n)}{n^s}=\zeta (s)P(s)\\ & =\zeta (s)\times \sum _{n\ge 1}\frac{\mu (n)}{n}\log \zeta (ns)\\ D_{\mathrm{\Omega }}(s)& :=\sum _{n\ge 1}\frac{\mathrm{\Omega }(n)}{n^s}=\zeta (s)\times \sum _{n\ge 1}P(ns)\\ & =\zeta (s)\times \sum _{n\ge 1}\frac{\varphi (n)}{n}\log \zeta (ns)\\ D_h(s)& :=\sum _{n\ge 1}\frac{h(n)}{n^s}=\zeta (s)\log \zeta (s)\\ & =\zeta (s)\times \sum _{n\ge 1}\frac{\epsilon (n)}{n}\log \zeta (ns),\end{array}$

где је $P(s)$ проста зета-функција, $h(n)=\sum _{p^k|n}\frac{1}{k}=\sum _{p^k||n}{H}_k$ где је $H_k$ $k$-ти хармонијски број, а $\epsilon$ је идентитет за Дирихлеову конволуцију, $\epsilon (n)=\lfloor \frac{1}{n}\rfloor$.

Расподела разлике простих омега функција

Расподела различитих целобројних вредности разлика $\mathrm{\Omega }(n)-\omega (n)$ је регуларна у поређењу са полу-случајним својствима компонентних функција. За $k\ge 0$, дефинишимо

$N_k(x):=\mathrm{\#}(\{n\in {\mathbb{Z}}^{+}:\mathrm{\Omega }(n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).$

Ове кардиналности имају одговарајући низ граничних густина $d_k$ тако да за $x\ge 2$

$N_k(x)=d_k\cdot x+O({\left(\frac{3}{4}\right)}^k\sqrt{x}(\log x{)}^{\frac{4}{3}}).$

Ове густине су генерисане производима над простим бројевима

$\sum _{k\ge 0}{d}_k\cdot z^k=\prod _p(1-\frac{1}{p})(1+\frac{1}{p-z}).$

Са апсолутном константом $\hat{c}:=\frac{1}{4}\times \prod _{p>2}{(1-\frac{1}{(p-1{)}^2})}^{-1}$, густине $d_k$ задовољавају

$d_k=\hat{c}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).$

Упоредити са дефиницијом производа над простим бројевима дефинисаном у последњем одељку у вези са Ердеш-Кацовом теоремом.

Види још

• Адитивна функција
• Аритметичка функција
• Ердеш-Кацова теорема
• Омега функција (вишезначна одредница)
• Прост број
• Безквадратни цео број

Референце

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite web

Спољашње везе

• OEIS Wiki за повезане бројеве низова и табеле
• OEIS Wiki о простим факторима