Поинтингов вектор

Зрачење електричног дипола постављеног дуж вертикалне осе у приказаној равни који осцилује дуж те осе фреквенцијом 1 Hz. Јачина електричног поља дипола у равни$E=\sqrt{E_x^2+E_z^2}$ је представљена бојом (црвена боја означава $E_z>0$, а плава означава $E_z<0$). Линије магнетног поља су ортогоналне на приказану раван. Компоненте Поинтинговог вектора $S_x$ и $S_z$ су приказане црним стрелицама.

Поинтингов вектор у електромагнетизму је вектор који се добија из Поинтингове теореме о одржању енергије у електромагнетном пољу и има значење трансферзалног протока енергије у односу на раван сачињену од временски променљивог електричног и магнетног поља. Шаблон:Електромагнетизам Поинтингов вектор $𝐒$ је:

$𝐒=𝐄\times 𝐇$

где је $𝐄$ јачина електричног поља, а $𝐇$ јачина магнетног поља.

Поинтингова теорема

Поинтингов вектор изражен у облику преко јачине електричног и јачине магнетног поља се добија из Поинтингове теореме.

Енергетски флукс

Укупан флукс енергије кроз дату запремину $V$ је површински интеграл:

$\underset{A}{\iint }𝐒\cdot d𝐀$

који се преко Гаусове теореме о дивергенцији може записати преко запреминског интеграла:

$\underset{A}{\iint }𝐒\cdot d𝐀=\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒dV$

Одавде је густина енергетског флукса:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒$

Промена густине електромагнетне енергије у времену

Густина електромагнетне енергије је:

$u=𝐄\cdot 𝐃+𝐇\cdot 𝐁$

где су $𝐃$ електрична индукција, а $𝐁$ магнетна индукција:

$𝐃={ϵ}_0𝐄,𝐇=\frac{𝐁}{{\mu }_0}$

Налажењем временског извода густине електромагненте енергије $u$, добија се:

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}(𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐃\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐁\cdot \frac{\partial 𝐇}{\partial t})=𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

Како би се десна страна израза преписала преко само јачине електричног поља $𝐄$ и јачина магнетног поља $𝐇$, могу се користити Максвелове једначине и тиме се магнетна индукција $𝐁$ може изразити преко $𝐄$:

$\frac{\partial 𝐁}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\times 𝐄\to 𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}=-𝐇\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐄$

а електрична индукција $𝐃$ преко $𝐇$:

$\frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐉=\mathrm{\nabla }\times 𝐇\to 𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐄\cdot 𝐉=𝐄\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐇$

Одавде се добија да израз за промену густине електромагнетног поља у времену:

$\frac{\partial u}{\partial t}=𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}=𝐄\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐇-𝐇\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐄-𝐉\cdot 𝐄$

где је $𝐉$ густина струје.

Одржање енергије

У произвољној запремини простора $V$, на основу закона о одржању енергије, збир промене густине електромагнетне енергије у јединици времена $\frac{\partial u}{\partial t}$ и густине енергетског флукса који протекне кроз ту запремину $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒$, једнак је негативном раду у јединици времена на премештању слободних и споља унетих наелектрисања у тај простор $𝐉\cdot 𝐄$, тако да важи:

$\frac{\partial u}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒=-𝐉\cdot 𝐄$

Одавде се добија да је:

$\begin{array}{cc}-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒& =\frac{\partial u}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄\\ & =(𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t})+𝐉\cdot 𝐄\\ & =𝐄\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐇-𝐇\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐄\\ \end{array}$

Коначно, коришћењем векторског идентитета:

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐄\times 𝐇)=𝐇\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)-𝐄\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐇)$

добија се израз за Поинтингов вектор:

$𝐒=𝐄\times 𝐇$

Види још

• Електромагнетно поље
• Поинтингова теорема
• Максвелове једначине