Поинтингова теорема

У електродинамици, Поинтингова теорема је исказ о одржању енергије за електромагнетна поља, који је развио британски физичар Џон Хенри Појнтинг. Теорема наводи да се у датој запремини складиштена енергија мења брзином која је одређена радом извршеним над наелектрисањима унутар те запремине, умањеним за брзину којом енергија напушта ту запремину. Теорема је строго тачна само у срединама које нису дисперзивне, али се може проширити и на дисперзивне случајеве.

Теорема је аналогна теореми о раду и енергији у класичној механици и математички слична једначини континуитета.

Дефиниција

Поинтингова теорема гласи да је брзина преноса енергије по јединици запремине из неког дела простора једнака брзини рада извршеног над расподелом наелектрисања у том делу, увећаној за флукс енергије који напушта тај део.

Математички:

$-\frac{\partial u}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+𝐉\cdot 𝐄$

где је:

• $-\frac{\partial u}{\partial t}$ брзина промене густине енергије у запремини.
• $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒$ проток енергије из запремине, дат као дивергенција Поинтинговог вектора S.
• J ⋅ E густина снаге поља које врши рад над наелектрисањима (J је густина струје која одговара кретању наелектрисања, E је електрично поље, а ⋅ представља скаларни производ).

Интегрални облик

Коришћењем теореме о дивергенцији, Поинтингова теорема се такође може записати у интегралном облику:

где је:

• S проток енергије, дат Поинтинговим вектором;
• u густина енергије;
• $\partial V$ граница запремине. Облик запремине је произвољан, али фиксан.

Аналогија са једначином континуитета

У контексту електротехнике, теорема се понекад записује са проширеним чланом густине енергије u. Овај облик подсећа на једначину континуитета:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+{ϵ}_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄=0,$

где су:

• ε₀ диелектрична пермеабилност вакуума и μ₀ магнетна пермеабилност вакуума.
• ${ϵ}_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$ густина реактивне снаге која покреће успостављање електричног поља,
• $\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ густина реактивне снаге која покреће успостављање магнетног поља, и
• $𝐉\cdot 𝐄$ густина електричне снаге која се дисипира услед деловања Лоренцове силе на носиоце наелектрисања.

Извођење

Брзина рада који електромагнетно поље врши на инфинитезимално наелектрисање $$dq=\rho d^{3}x$$ дата је према закону Лоренцове силе као: $$dP=d𝐅\cdot 𝐯=(𝐄+𝐯\times 𝐁)dq\cdot 𝐯=𝐄\cdot \rho 𝐯d^{3}x+0=𝐄\cdot 𝐉d^{3}x$$ (скаларни производ $(𝐯\times 𝐁)\cdot 𝐯=0$ јер је, према дефиницији векторског производа, производ v и B нормалан на v).

Овде је ρ запреминска густина наелектрисања, а Шаблон:Nowrap густина струје у тачки и времену где је v брзина наелектрисања dq. Брзина рада извршеног над свим наелектрисањима у запремини V биће запремински интеграл: $$P={\int }_{V}dP={\int }_V𝐉\cdot 𝐄{\mathrm{d}}^{3}x$$

Према Амперовом закону: $$𝐉=\mathrm{\nabla }\times 𝐇-\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$$ (Напомена: овде се користе облици магнетног и електричног поља H и D. Облици B и E би се такође могли користити у еквивалентном извођењу.)

Заменом овога у израз за брзину рада добија се: $${\int }_V𝐉\cdot 𝐄{\mathrm{d}}^{3}x={\int }_V[𝐄\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐇)-𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}]{\mathrm{d}}^{3}x$$

Коришћењем векторског идентитета $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐄\times 𝐇)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)\cdot 𝐇-𝐄\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐇)$: $${\int }_V𝐉\cdot 𝐄{\mathrm{d}}^{3}x=-{\int }_V[\mathrm{\nabla }\cdot (𝐄\times 𝐇)-𝐇\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)+𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}]{\mathrm{d}}^{3}x$$

Према Фарадејевом закону: $$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$$ што даје: $${\int }_V𝐉\cdot 𝐄{\mathrm{d}}^{3}x=-{\int }_V[\mathrm{\nabla }\cdot (𝐄\times 𝐇)+𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}]{\mathrm{d}}^{3}x$$

Наставак извођења захтева следеће претпоставке:

• наелектрисања се крећу у средини која није дисперзивна;
• укупна густина електромагнетне енергије, чак и за временски променљива поља, дата је са:

$$u=\frac{1}{2}(𝐄\cdot 𝐃+𝐁\cdot 𝐇)$$

Може се показати да важи: $$\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\cdot 𝐃)=2𝐄\cdot \frac{\partial }{\partial t}𝐃$$ и $$\frac{\partial }{\partial t}(𝐇\cdot 𝐁)=2𝐇\cdot \frac{\partial }{\partial t}𝐁$$ па стога следи: $$\frac{\partial u}{\partial t}=𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$$

Враћањем на једначину за брзину рада: $${\int }_V𝐉\cdot 𝐄{\mathrm{d}}^{3}x=-{\int }_V[\frac{\partial u}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (𝐄\times 𝐇)]{\mathrm{d}}^{3}x$$

Пошто је запремина произвољна, ово се може записати у диференцијалном облику као: $$-\frac{\partial u}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+𝐉\cdot 𝐄$$ где је $𝐒=𝐄\times 𝐇$ Поинтингов вектор.

Поинтингов вектор у макроскопским срединама

У макроскопској средини, електромагнетни ефекти се описују просторно усредњеним (макроскопским) пољима. Поинтингов вектор у макроскопској средини може се дефинисати на начин који је самодоследан са микроскопском теоријом, тако да макроскопски формализам тачно предвиђа просторно усредњени микроскопски Поинтингов вектор. Овај резултат је строго важећи у граничном случају малих губитака и омогућава недвосмислену идентификацију облика Поинтинговог вектора у макроскопској електродинамици.

Алтернативни облици

Могуће је извести алтернативне верзије Поинтингове теореме. Уместо вектора флукса Шаблон:Nowrap као горе, могуће је пратити исти стил извођења, али изабрати Шаблон:Nowrap, Минковскијев облик Шаблон:Nowrap, или можда Шаблон:Nowrap. Сваки избор представља одзив медијума кроз који се талас простире на свој начин: облик Шаблон:Nowrap има својство да се одзив јавља само услед електричних струја, док облик Шаблон:Nowrap користи само (фиктивне) струје магнетног монопола. Друга два облика (Абрахамов и Минковскијев) користе комплементарне комбинације електричних и магнетних струја за представљање поларизационих и магнетизационих одзива средине.

Модификација

Извођење исказа зависи од претпоставке да се материјали које једначина моделује могу описати скупом својстава сусцептибилности која су линеарна, изотропна, хомогена и независна од фреквенције. Такође се мора претпоставити да материјали немају апсорпцију. Модификација Поинтингове теореме која узима у обзир варијације укључује члан за брзину неомске апсорпције у материјалу, која се може израчунати поједностављеном апроксимацијом заснованом на Друдеовом моделу. $$\frac{\partial }{\partial t}𝒰+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+𝐄\cdot {𝐉}_{\text{слоб}}+{ℛ}_{⊣\int }=0$$

Теорема о комплексном Поинтинговом вектору

Овај облик теореме је користан у теорији антена, где се често разматрају хармонијска поља која се простиру у простору. У овом случају, користећи фазорску нотацију, $E(t)=E{e}^{j\omega t}$ и $H(t)=H{e}^{j\omega t}$. Тада важи следећи математички идентитет:

$\frac{1}{2}{\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}E\times H^{\ast }\cdot d𝐚=\frac{j\omega }{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}(\epsilon E{E}^{\ast }-\mu H{H}^{\ast })dv-\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}E{J}^{\ast }dv,$

где је $J$ густина струје.

У слободном простору, $\epsilon$ и $\mu$ су реални бројеви, па узимање реалног дела горње формуле изражава чињеницу да је усредњена израчена снага која тече кроз $\partial \mathrm{\Omega }$ једнака раду извршеном над наелектрисањима.

Види још

• Поинтингов вектор
• Максвелове једначине
• Закон одржања енергије

Спољашње везе

• Eric W. Weisstein "Poynting Theorem" From ScienceWorld – A Wolfram Web Resource.