Оса-угао ротација

Датотека:Osa-ugao.png

Оса-угао вектор Шаблон:Math где је Шаблон:Math јединични вектор помножен углом Шаблон:Math.

У математици, оса-угао представљање ротације параметризује ротацију у тродимензионалном Еуклидовом простору са три величине: Јединичним вектором Шаблон:Math (који одређује правац осе ротације) и углом Шаблон:Math (који описује интензитет ротације око осе). Потребне су само две вредности (не три) да би се дефинисао јединични вектор Шаблон:Math зато што му је интензитет константан. Скаларни производ угла Шаблон:Math и јединичног вектора Шаблон:Math је оса-угао вектор.

$\mathit{\theta }=\theta 𝐞.$

Сам по себи вектор не врши ротацију него се користи за конструисање трансформације које одговара ротацији. Ротација се одиграва у складу са правилом десне руке. Оса ротације се понекад назива и Ојлерова оса.

Ово је само један од начина формализације ротације у тродимензиалном простору. Основа за оса-угао представљање је Ојлерова теорема ротације која каже да ротација или секвенца ротација чврстог тела у тродимензионалном простору еквивалентна једној ротацији око фиксене осе.

Вектор ротације

Оса-угао представљање је еквивалентно сажетиом формом вектор ротације који се такође назива и Ојлеров вектор. У овом случају и оса и угао ротације су представљени вектором чији је правац паралелан са осом ротације а интензитет одговара углу Шаблон:Math.

$\mathit{\theta }=\theta 𝐞.$

Користи се за експоненциајлне и логаритамске функције укључене у овај облик представљања ротације.

Пример

Рецимо да стојимо и да смо изабрали да је смер вектора гравитације негативан смер Шаблон:Math осе. Тада, ако се окренемо налево, ротираћемо се за Шаблон:Math или 90 степени око Шаблон:Math осе. Посматрајући оса-угао предстваљање као уређени пар:

$(\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s},\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e})=(\left[\begin{array}{c}{e}_x\\ e_y\\ e_z\end{array}\right],\theta )=(\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],\frac{\pi }{2}).$

Овај пример може бити приказан и као вектор ротације интензитета Шаблон:Math усмереног у Шаблон:Math правцу,

$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{\pi }{2}\end{array}\right].$

Употреба

Оса-угао представљање је погодно за опис динамике чврстог тела. Такође се користи за опис ротације као и за кенверзију из различитих представљања динамике кретања чврстог тела.

Када се чврсто тело ротира око фиксне осе, тада је оса константна, а угао се мења у зависности од времена.

Ротирање вектора

Родригезова формула ротације је ефикасан алгоритам за ротацију Еуклидовог вектора, задату са осом ротације и углом. Другим речима Родригезова формула даје алгоритам за израчунавање експоненцијалне функције од Шаблон:Math до Шаблон:Math без рачунања експоненцијалне функције целе матрице.

Ако је Шаблон:Math вектор у Шаблон:Math и Шаблон:Math је јединични вектор који описује осу ротације око које Шаблон:Math ротиран за угао Шаблон:Math Родригезова формула за добијање ротираног вектора је:

${𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=(\cos \theta )𝐯+(\sin \theta )(𝐞\times 𝐯)+(1-\cos \theta )(𝐞\cdot 𝐯)𝐞.$

За ротацију једног вектора може бити ефикасније него пребацивање Шаблон:Math и Шаблон:Math у матрицу ротације да би се вектор ротирао.

Однос са осталим облицима представљања ротације

Постоји неколико начина представљања ротације. Корисно је разумети у каквој су међусобној вези, и како пребацити иѕ једног представљања у друго. Овде је јединичнни вектор означен са Шаблон:Math уместо Шаблон:Math

Експоненцијална функција из so(3) у SO(3)

Експоненцијална фнкција трансформише из оса-уга представљања ротације у матрицу ротације.

$\exp :𝔰𝔬(3)\to \mathrm{S}\mathrm{O}(3).$

Користећи Тејлорову формулу добијамо приближну релацију два представљања. Дати једиинични вектор ω ∈ $𝔰𝔬$(3) = ℝ³ представља осу ротације и угао θ ∈ ℝ, еквивалентна матрица ротације R је као што следи: где је K векторски производ матрице ω.

K v = ω × v за све векторе v ∈ ℝ³,

$R=\exp (\theta 𝐊)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\theta 𝐊{)}^k}{k!}=I+𝐊\theta +\frac{1}{2!}(\theta 𝐊{)}^2+\frac{1}{3!}(\theta 𝐊{)}^3+\cdots$

Зато што је K косо-симетрична и сума квадрата изнад дијагонале је 1, карактеристични полином Шаблон:Math од K је Шаблон:Math. Пошто је по Hamilton-Cayley theorem, Шаблон:Math = 0, следи

Шаблон:Math .

И као резултат, K⁴ = –K², K⁵ = K, K⁶ = K², K⁷ = –K .

Овај патерн се понавља бесконачно и пошто су сви високи степени K изражени као K². Из претходне једначине следи:

$R=I+(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots )𝐊+(\frac{{\theta }^2}{2!}-\frac{{\theta }^4}{4!}+\frac{{\theta }^6}{6!}-\cdots ){𝐊}^2,$

а то је,

$R=I+\sin (\theta )𝐊+(1-\cos (\theta )){𝐊}^2.$

Због постојања поменуте експоненцијалне функције, јединични вектор ω представља осу ротације, а угао θ се понекад назива експоненцијална координата матрице ротације R.

Логаритамска функција из SO(3) у so(3)

Нека је K матрица 3x3 која утиче на векторски производ са осом ротације ω: K(v) = ω × v за све векторе v који следе.

Да би се добила оса-угао форма ротирања, израчунавамо угао из матрице ротације

$\theta =\arccos \left(\frac{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(R)-1}{2}\right)$

и то користимо да бисмо пронашли нормализовану осу,

$\mathit{\omega }=\frac{1}{2\sin (\theta )}\left[\begin{array}{c}R(3,2)-R(2,3)\\ R(1,3)-R(3,1)\\ R(2,1)-R(1,2)\end{array}\right].$

Потребно је напоменнути да је логаритам матрице ротације R

$\log R=\{\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}\mathrm{f}\theta =0\\ \frac{\theta }{2\sin (\theta )}(R-R^{𝖳})& \mathrm{i}\mathrm{f}\theta \ne 0\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{array}$

Изузетак је када R има sopstvene vrednosti jednake −1. U tom slučaju logaritam nije jedinstven. Ipak čak i kada je θ = $\pi$ Frobenius норма логаритма је :$\Vert \log (R){\Vert }_F=\sqrt{2}|\theta |.$ Дате матрице ротација A и B,

$d_g(A,B):=\Vert \log (A^{𝖳}B){\Vert }_F$

је растојање у тродимензионалном простору између матрица ротације.

За мале ротације претходна рачуница за θ може биити нумерички непрецизна пошто извод arccos иде ка бесконачности како θ → 0. У том случају облици без осе ће обезбедити бољу информацију о θ пошто је за мале углове Шаблон:Math. (то је зато што су то прва два члана у Тејлоровом реду за exp(θ K).)

Ова формулација такође има проблема када је θ = $\pi$, где услови изван осе не дају информацију о оси ротације (која је вишесмислено дефинисана). У таковом случају потребно је приспитати претходну формули.

$R=I+𝐊\sin (\theta )+{𝐊}^2(1-\cos (\theta ))$

У θ=π, имамо

$R=I+2{𝐊}^2=I+2(\mathit{\omega }\otimes \mathit{\omega }-I)=2\mathit{\omega }\otimes \mathit{\omega }-I$

и нека

$B:=\mathit{\omega }\otimes \mathit{\omega }=\frac{1}{2}(R+I),$

тако да је диагонална вредност од B квадрат елемената ω и знак може бити одређен из знакова ван дијагонале од  B.

Кватерниони

Следећи израз трансформише оса-угао координате у версоре (јединичне кватернионе).

$Q=(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right),\mathit{\omega }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right))$

Дати версор $q=s+𝐱$ представљен са својим скаларом s и вектором x, оса-угао вредности могу бити нађене следећом формулом:

$\theta =2\arccos (s)$

$\mathit{\omega }=\{\begin{array}{cc}\frac{x}{\sin (\theta /2)},& \mathrm{i}\mathrm{f}\theta \ne 0\\ 0,& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}$

Нумерички стабилнија метода користи атан2 функцију:

$\theta =2\mathrm{atan2}(|x|,s),$

где |x| је Еуклидова норма вектора (3) x.