Мера Лебега

У математици, мера Лебега, је стандардан начин за додељивање дужине, површине или запремине подскуповима Еуклидског простора. Добила је име по француском математичару Анрију Лебегу. Користи се у реалној анализи, у дефинисању Лебегове интеграције. Скупови којима се може придружити запремина се називају Лебег мерљивим; запремина или мера Лебег мерљивог скупа -{A}- се означава са -{λ(A)}-. Дозвољава се да скуп буде Лебег мере ∞.

Уз претпоставку аксиоме избора, нису сви подскупови од -{Rⁿ}- Лебег мерљиви, нити се може на скупу свих подскупова овог простора дефинисати мера која би задовољавала уобичајене аксиоме укључујући и σ-адитивност. Необично понашање немерљивих скупова доводи до контраинтуитивних исказа као што је парадокс Банаха-Тарског, који представља последицу аксиоме избора.

Унутар интеграла по Лебегу, мера Лебега се често означава са $\mathrm{d}x$, али ово не треба мешати са другачијим појмом запреминске форме.

Примери

• Ако је -{A}- затворен интервал -{[a, b]}-, онда је његова мера Лебега једнака дужини -{b−a}-. Отворени интервал -{(a, b)}- има исту меру, јер разлика између ова два скупа има меру нула.
• Ако је -{A}- Декартов производ интервала -{[a, b]}- и -{[c, d]}-, онда се ради о правоугаонику, и његова мера Лебега је површина -{(b−a)(d−c)}-.
• Канторов скуп је пример непребројивог скупа чија мера Лебега је једнака нули.

Својства

Лебегова мера на -{Rⁿ}- има следећа својства:

1. Ако је -{A}- Декартов производ интервала -{I₁ × I₂ × ... × I_n}-, онда је -{A}- Лебег мерљив, и $\lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|.$ Овде $|I|$ означава дужину интервала -{I}-.
2. Ако је -{A}- дисјунктна унија коначно много или пребројиво много дисјунктних Лебег мерљивих скупова, онда је и сам скуп -{A}- Лебег мерљив и -{λ(A)}- је једнако збиру (односно суми реда уколико је број сабирака бесконачан) мера скупова који припадају унији.
3. Ако је -{A}- Лебег мерљив, онда је и његов комплемент Лебег мерљив.
4. -{λ(A) ≥ 0}- за сваки Лебег мерљив скуп -{A}-.
5. Ако су -{A}- и -{B}- Лебег мерљиви и -{A}- је подскуп од -{B}-, онда је -{λ(A) ≤ λ(B)}-. (последица тачака 2, 3 и 4.)
6. Пребројиве уније и пресеци Лебег мерљивих скупова су Лебег мерљиви.
7. Ако је -{A}- отворен или затворен подскуп од -{Rⁿ}- (или чак Борелов скуп), онда је -{A}- Лебег мерљив.
8. Ако је -{A}- Лебег мерљив скуп, онда је он „приближно отворен“ и „приближно затворен“ у смислу мере Лебега (видети: теорема регуларности за меру Лебега).
9. Мера Лебега је уједно и локално коначна и регуларна изнутра, па је она и Радонова мера.
10. Мера Лебега је строго позитивна на непразним отвореним скуповима, па је њен носач цео простор -{Rⁿ}-.
11. Ако је -{A}- Лебег мерљив скуп са -{λ(A) = 0}- (скуп мере нула), онда је сваки подскуп од -{A}- такође скуп мере нула. А фортиори је сваки подскуп од -{A}- мерљив.
12. Ако је -{A}- Лебег мерљив и -{x}- је елемент од -{Rⁿ}-, онда је транслат скупа -{A}- за -{x}-, дефинисан као -{A + x = {a + x : a ∈ A},}- такође Лебег мерљив и има исту меру као -{A}-.
13. Ако је -{A}- Лебег мерљив, и $\delta >0$, онда је дилатација $A$ фактором $\delta$, дефинисана као $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ такође Лебег мерљива и има меру ${\delta }^n\lambda (A)$.
14. Општије, ако је -{T}- линеарна трансформација и -{A}- је мерљив подскуп од -{Rⁿ}-, онда је -{T(A)}- такође Лебег мерљив скуп и има меру $|\det (T)|\lambda (A)$.

Сви горњи искази се могу сумирати на следећи начин:

Лебег мерљиви скупови граде σ-алгебру која садржи све производе интервала и λ је јединствена комплетна транслационо-инваријантна мера на тој σ-алгебри таква да је $\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.$

Лебег мера такође има својство да је σ-коначна.

Нула скупови

Шаблон:Главни чланак Подскуп од -{Rⁿ}- је нула скуп ако, за свако -{ε}- > 0, може да буде покривен помоћу пребројиво много производа интервала чији је укупна запремина највише -{ε}-. Сви пребројиви скупови су нула скупови.

Ако подскуп од -{Rⁿ}- има Хаусдорфову димензију мању од -{n}- онда је он нула скуп у односу на -{n}--димензиону Лебег меру. Овде је Хаусдорфова димензија у вези са еуклидском метриком на -{Rⁿ}- (или било којом метриком која је са њом Липшиц-инваријантна). Са друге стране, скуп може да има тополошку димензију мању од -{n}-, а да има позитивну -{n}--димензиону Лебег меру. Пример овога је Сми-Волтера-Канторов скуп чија је тополошка димензија 0 а ипак има позитивну 1-димензиону меру Лебега.

Како би се показало да је дати скуп -{A}- Лебег мерљив, обично се тражи згоднији скуп -{B}-, који се од -{A}- разликује само за нула скуп (у смислу да је симетрична разлика -{A Δ B = (A − B) ∪ (B − A)}- нула скуп) и онда се покаже да се -{B}- може генерисати коришћењем пребројивих унија и пресека отворених или затворених скупова (односно, да је -{B}- Борелов скуп). За сваки Лебег мерљив скуп постоји Борел мерљив скуп -{B}- такав да је -{A Δ B}- нула скуп.

Конструкција мере Лебега

Модерну конструкцију мере Лебега засновану на спољашњим мерама, је дао Каратеодори.

Фиксира се $n\in \mathbb{N}$. Кутија у ${ℝ}^n$ је скуп облика $B=\prod _{i=1}^n[a_i,b_i]$, где је $b_i\ge a_i$. Запремина $\mathrm{vol}(B)$ ове кутије се дефинише као $\prod _{i=1}^n(b_i-a_i).$

За сваки подскуп -{A}- од -{Rⁿ}-, може се дефинисати његова спољашња мера ${\lambda }^{*}(A)$ као:

${\lambda }^{*}(A)=\inf \{\sum _{j\in J}\mathrm{vol}(B_j):\{B_j:j\in J\}\text{ je prebrojiva kolekcija kutija cija unija pokriva }A\}.$

Затим се дефинише да је скуп -{A}- Лебег мерљив ако

${\lambda }^{*}(S)={\lambda }^{*}(S\cap A)+{\lambda }^{*}(S-A)$

за све скупове $S\subset {ℝ}^n$. Ови Лебег мерљиви скупови формирају σ-алгебру, и мера Лебега се дефинише на овој σ-алгебри као -{λ(A) = λ^*(A)}- за сваки Лебег мерљив скуп -{A}-.

По Виталијевој теореми постоји подскуп реалних бројева -{R}-, такав да није Лебег мерљив. Важи и много више: ако је -{A}- било који подскуп од ${ℝ}^n$ позитивне мере, онда -{A}- има подскупове који нису Лебег мерљиви.

Однос са другим мерама

Борелова мера је сагласна са мером Лебега на оним скуповима на којима је дефинисана; међутим, постоје много више Лебег мерљивих скупова него Борел мерљивих скупова. Прецизније, може се показати да је σ-алгебра Борел мерљивих скупова кардиналности -{c}- (кардиналност континуума), док је σ-алгебра Лебег мерљивих скупова строго веће кардиналности -{2^c}- (види Канторов дијагонални поступак). Борелова мера је транслационо-инваријантна, али није комплетна.

Мера Хара се може дефинисати на свакој локално компактној групи и представља уопштење мере Лебега (која представља меру Хара на -{Rⁿ}- са структуром локално компактне групе у односу на сабирање).

Хаусдорфова мера (видети: Хаусдорфова димензија) је уопштење мере Лебега које је корисно за мерење подскупова од -{Rⁿ}- димензија мањих од -{n}-, као што су подмногострукости на пример, површи или криве у -{R³}-. Не треба мешати Хаусдорфову меру и појам Хаусдорфове димензије.

Може се показати да не постоји аналогон мере Лебега у просторима бесконачне димензије.

Мера Лебега даје један појам „малих скупова“, наиме скупова мере нула, за које кажемо да су „мали“ у смислу теорије мере. Постоје и други појмови „малих скупова“, као што су, на пример пребројиво бесконачни скупови („мали“ у смислу кардиналности) или скупови прве категорије („мали“ у тополошком смислу Берове теорије категорија). Ови појмови нису увек компатибилни; на пример, интервал [0,1] се може представити као дисјунктна унија скупа прве категорије и скупа мере нула.

Историја

Анри Лебег је ову меру описао 1901, а следеће године је описао Лебегову интеграцију. И један и други појам су објављени као део његове дисертације 1902.

Види још

• Лебегова теорема о густини