Леви-Чивита симбол

Леви-Чивита симбол представља математички пермутациони симбол, који се користи у тензорском рачуну. Име је добио по италијанском математичару Тулију Леви-Чивити. У тродимензионалном простору означава се са ${\epsilon }_{ijk}$. Називају га још и антисиметричним јединичним тензором.

Дефиниција у тродимензионалном простору

У тродимензионалном простору дефинише се као:

${\epsilon }_{ijk}={\epsilon }^{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{ako je }(i,j,k)\text{ jednako }(1,2,3),(3,1,2)\text{ ili }(2,3,1),\\ -1& \text{ako je }(i,j,k)\text{ jednako }(1,3,2),(3,2,1)\text{ ili }(2,1,3),\\ 0& \text{ako je }i=j\text{ ili }j=k\text{ ili }k=i\end{array}$

Приказ Леви-Чивита симбола као 3×3×3 матрице

тј. ${\epsilon }_{ijk}$ је 1 ако (i, j, k) представља парну пермутацију бројева (1,2,3), једнак је −1 у случају непарних пермутација, а једнак је 0 у случају да се индекси понављају. Леви-Чивита симбол може да се напише и помоћу формуле:

${\epsilon }_{ijk}=\frac{(i-j)(j-k)(k-i)}{2}$

Дефиниција у четвородимензионалном простору

Дефиниција у четвородимензионалном простору је:

${\epsilon }_{ijkl}=\frac{(i-j)(i-k)(i-l)(j-k)(j-l)(k-l)}{12}$

У n-димензионалном простору Леви-Чивита симбол је:

${\epsilon }_{ijkl\dots }={\epsilon }^{ijkl\dots }=\{\begin{array}{cc}+1& \text{ako je }(i,j,k,l,\dots )\text{ je parna permutacija od }(1,2,3,4,\dots )\\ -1& \text{ako je }(i,j,k,l,\dots )\text{ je neparna permutacija od }(1,2,3,4,\dots )\\ 0& \text{inače}\end{array}$

Поопштена формула може да се напише и као:

${\epsilon }_{a_1{a}_2{a}_3\dots a_n}=\mathrm{sgn}(\prod _{i<j}^n(a_j-a_i))=\mathrm{sgn}(\prod _{i=1}^{n-1}\prod _{j=i+1}^n(a_j-a_i))$

Својства

У три димензије

Шаблон:NumBlk Шаблон:NumBlk Шаблон:NumBlk Леви-Чивита симбол је повезан са Кронекеровим делта симболом:

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}& =\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{il}& {\delta }_{im}& {\delta }_{in}\\ {\delta }_{jl}& {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{kl}& {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right|\\ & ={\delta }_{il}({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km})-{\delta }_{im}({\delta }_{jl}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{kl})+{\delta }_{in}({\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{kl})\end{array}$

Специјални случај једначине (4) је:

$\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$

У Ајнштајновој нотацији индекс записан два пута значи сумацију по том индексу, па је једначина једноставнијега записа: ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}.$

У н димензија

${\epsilon }_{i_1{i}_2\dots i_n}{\epsilon }_{j_1{j}_2\dots j_n}=\left|\begin{array}{cccc}{\delta }_{i_1{j}_1}& {\delta }_{i_1{j}_2}& \dots & {\delta }_{i_1{j}_n}\\ {\delta }_{i_2{j}_1}& {\delta }_{i_2{j}_2}& \dots & {\delta }_{i_2{j}_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\delta }_{i_n{j}_1}& {\delta }_{i_n{j}_2}& \dots & {\delta }_{i_n{j}_n}\end{array}\right|$.

Примери

Детерминанта матрице 3 × 3 може да се запише помоћу Леви-Чивита симбола:

$det(𝐀)=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}$

На сличан начин може да се запише и детерминанта n × n матрице:

$det(𝐀)={\epsilon }_{i_1\cdots i_n}{a}_{1i_1}\cdots a_{n{i}_n},$

Векторски производ два вектора може да се напише као:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟑}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{𝐞}_i{a}^j{b}^k$

или једноставније;

$(𝐚\mathbf{\times }𝐛{)}_i=\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}^j{b}^k.$

Помоћу Ајнштајнове нотације добија се:

$(𝐚\mathbf{\times }𝐛{)}^i={\epsilon }_{ijk}{a}^j{b}^k.$

Прва компонента је онда:

$(𝐚\mathbf{\times }𝐛{)}^1=a^2{b}^3-a^3{b}^2$.

Исто тако добија се;

$𝐚\cdot (𝐛\mathbf{\times }𝐜)={\epsilon }_{ijk}{a}^i{b}^j{c}^k.$

За ротор векторскога поља добијају се компоненте:

$(\mathrm{\nabla }\times 𝐅{)}^i(𝐱)={\epsilon }^{ijk}\frac{\partial }{\partial x^j}{F}^k(𝐱),$

Литература

• -{J.R. Tyldesley. An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists. Longman. Шаблон:Page}-