Кошијева теорема о средњој вредности

Кошијева теорема је теорема средње вредности, и представља уопштење Лагранжове теореме. Названа је по математичару Огистену Лују Кошију.

Формулација

Кошијева теорема се прецизно формулише на следећи начин:

Ако су функције $f$ и $g$:

• непрекидне на затвореном интервалу $[a,b]$ ,
• диференцијабилне на отвореном интервалу $(a,b)$, и
• $g^{\prime }(x)\ne 0$

тада постоји тачка $c\in (a,b)$, за коју важи $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

Доказ

Дефинишимо функцију:

$h(x)=f(x)-f(a)-(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)})(g(x)-g(a)))$

Како је функција $f$ непрекидна и диференцијаблна на интервалу $[a,b]$, односно $(a,b)$, и функција $h$ је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више, $h(a)=h(b)=0$, што значи да на функцију $h$ можемо применити Ролову теорему.

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)})g^{\prime }(x)$

Из претходног објашњења следи

$0=h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)})g^{\prime }(c)$,

а одавде следи и тврђење теореме:

$\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)})$

Напомене

• Кошијева теорема је уопштење Лагранжове теореме, јер за $g(x)=x$ добијамо тврђење управо те теореме.

Види још

• Интервал (математика)
• Ролова теорема
• Тејлорова теорема
• Лагранжова теорема
• Теореме средње вредности
• Математичка анализа