Крамерово правило

Крамерово правило је теорема у линеарној алгебри, која даје решење система линеарних једначина помоћу детерминанти. Добила је име по Габријелу Крамеру (1704—1752).

Рачунски, ради се о неефикасном поступку, и стога се не користи у пракси у случајевима када је број једначина у систему велики. Међутим, ово правило је од теоријског значаја јер даје експлицитни израз за решење система.

Елементарна формулација

Систем једначина представљен у форми множења матрица као:

$Ax=c$

где је квадратна матрица $A$ инвертибилна а вектор $x$ је вектор колоне променљивих: $(x_i)$.

Теорема онда тврди да:

$x_i=\frac{\det (A_i)}{\det (A)}$

$(1)$

где је $A_i$ матрица која се добија заменом -{i}--те колоне из $A$ вектором колоне $c$. Ради једноставности, понекад се користи само један симбол као што је $\mathrm{\Delta }$ да представи $\det (A)$ а нотација ${\mathrm{\Delta }}_i$ се користи да представи $\det (A_i)$. Стога се једначина (1) може компактније записати као

$x_i=\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{\mathrm{\Delta }}$

Апстрактна формулација

Нека је -{R}- комутативни прстен, а -{A}- -{n×n}- матрица са коефицијентима из -{R}-. Онда

$\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)A=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)I$

где -{Adj(A)}- означава адјунговану матрицу матрице -{A, det(A)}- је детерминанта, а -{I}- је јединична матрица.

Пример

Добар начин да се Крамерово правило искористи за матрице димензије 2×2 је помоћу следеће формуле:

$ax+by=e$ и

$cx+dy=f$,

што се може записати у матричном облику

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]$

-{x}- и -{y}- се могу наћи Крамеровим правилом:

$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}e& b\\ f& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{ed-bf}{ad-bc}$

и

$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& e\\ c& f\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{af-ec}{ad-bc}$

Правило за матрице димензије 3×3 је слично.

$ax+by+cz=j$,

$dx+ey+fz=k$ и

$gx+hy+iz=l$,

што се може записати у матричном облику

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}j\\ k\\ l\end{array}\right]$

-{x}-, -{y}- и -{z}- се могу наћи на следећи начин:

$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}j& b& c\\ k& e& f\\ l& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}$,   $y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& j& c\\ d& k& f\\ g& l& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}$,   and   $z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& j\\ d& e& k\\ g& h& l\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}$

Примене у диференцијалној геометрији

Крамерово правило је врло корисно за решавање проблема у диференцијалној геометрији. Узмимо две једначине $F(x,y,u,v)=0$ и $G(x,y,u,v)=0$. Када су -{u}- и -{v}- независне променљиве, можемо да дефинишемо $x=X(u,v)$ и $y=Y(u,v)$.

Налажење једначине за $\partial x/\partial u$ је тривијално применом Крамеровог правила.

Прво израчунамо прве изводе за -{F, G, x}- и -{y}-.

$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial u}du+\frac{\partial F}{\partial v}dv=0$

$dG=\frac{\partial G}{\partial x}dx+\frac{\partial G}{\partial y}dy+\frac{\partial G}{\partial u}du+\frac{\partial G}{\partial v}dv=0$

$dx=\frac{\partial X}{\partial u}du+\frac{\partial X}{\partial v}dv$

$dy=\frac{\partial Y}{\partial u}du+\frac{\partial Y}{\partial v}dv$

Заменом -{dx, dy у dF}- и -{dG}-, добијамо:

$dF=(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial u})du+(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial v})dv=0$

$dG=(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial u})du+(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial v})dv=0$

Како су -{u}-, -{v}- обе независне, коефицијенти -{du}-, -{dv}- морају бити једнаки нули. Тако да можемо да напишемо:

$\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial F}{\partial u}$

$\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial G}{\partial u}$

$\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{\partial F}{\partial v}$

$\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{\partial G}{\partial v}$

Сада, применом Крамеровог правила видимо да:

$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\left|\begin{array}{cc}-\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ -\frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial x}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial G}{\partial x}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}$

Ово сада је формула у облику два јакобијана:

$\frac{\partial x}{\partial u}=-\frac{\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,u)}\right)}{\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\right)}$

Сличне формуле се могу извести за $\frac{\partial x}{\partial v}$, $\frac{\partial y}{\partial u}$, $\frac{\partial y}{\partial v}$.

Примене у алгебри

Крамерово правило се може користити за доказивање Кејли-Хамилтонове теореме из линеарне алгебре, као и Накајамине леме, која је од основног значаја у теорији комутативних прстенова.