Квадратни корен из 3

Списак природних бројева | Ирационалан број ζ(3) √2 √3 √5 φ e π
Бинарни систем	Шаблон:Gaps
Децимални систем	Шаблон:Gaps
Хексадецимални систем	Шаблон:Gaps
Верижни разломак	$1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\ddots }}}}}$

Квадратни корен из 3 је позитиван реалан број који, када се множи са собом, даје број 3 . Тачније се назива главни квадратни корен из 3, да би се разликовао од негативног броја са истим својством. Означен је са Шаблон:Radic .

Квадратни корен из 3 је ирационалан број . Познат је и као Теодорова константа, названа по Теодору из Цирене, који је доказао његову ирационалност.

Првих шездесет цифара његовог децималног проширења су:

Шаблон:Gaps Шаблон:OEIS

Од децембра 2013. године, њена бројчана вредност у децималним бројевима израчуната је на најмање десет милијарди цифара.

Разломак Шаблон:Sfrac (Шаблон:Val ...) за квадратни корен од три се може користити као приближна вредност. Упркос томе што има именилац од само 56, разликује се од правилне вредности за мање од Шаблон:Sfrac (приближно Шаблон:Val). Заокружена вредност од 1.732 је тачна до 0,01% од стварне вредности.

Архимед пријавио Шаблон:Math, тачно до Шаблон:Sfrac (шест децималних места) и Шаблон:Sfrac (четири децимале).

Може се изразити као верижни разломак Шаблон:Nowrap (низ А040001 у Енциклопедија низова целих бројева на мрежи), проширен са десне стране. Тако да је тачно рећи:

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$

онда када $n\to \mathrm{\infty }$  :

$\sqrt{3}=2\cdot \frac{a_{22}}{a_{12}}-1$

Може се изразити преко генерализованог верижног разломака као што су

$[2;-4,-4,-4,...]=2-\frac{1}{4-\frac{1}{4-\frac{1}{4-\ddots }}}$

што је Шаблон:Nowrap оцењено на сваком другом термину.

Следећи угнеждени низ квадратних израза конвергирају ка Шаблон:Radic :

$\sqrt{3}=2-2{(\frac{1}{2}-{(\frac{1}{2}-{(\frac{1}{2}-{(\frac{1}{2}-\dots )}^2)}^2)}^2)}^2=\frac{7}{4}-4{(\frac{1}{16}+{(\frac{1}{16}+{(\frac{1}{16}+{(\frac{1}{16}+\dots )}^2)}^2)}^2)}^2.$

Доказ ирационалности

Овај доказ ирационалност за Шаблон:Radic користи Пјер де Фермаову методу бесконачног порекла :

Претпоставимо да је Шаблон:Radic рационалан и изразите га на најнижи могући начин (тј. као потпуно смањени разломак ) као Шаблон:Math за природне бројеве Шаблон:Math и Шаблон:Math .

Стога ће множење са 1 дати једнак израз:

$\frac{m(\sqrt{3}-q)}{n(\sqrt{3}-q)}$

где је Шаблон:Mvar највећи цели број мањи од Шаблон:Radic . Имајте на уму да су и бројилац и именилац помножени са бројем мањим од 1.

Помоћу овога и множењем и бројиоца и именилаца добијамо:

$\frac{m\sqrt{3}-mq}{n\sqrt{3}-nq}$

Слиједи да се Шаблон:Math може замијенити са Шаблон:Math :

$\frac{n{\sqrt{3}}^2-mq}{n\sqrt{3}-nq}$

Затим се Шаблон:Radic такође може заменити са Шаблон:Math у називнику:

$\frac{n{\sqrt{3}}^2-mq}{n\frac{m}{n}-nq}$

Квадрат Шаблон:Radic се може заменити са 3. Како се Шаблон:Math множи са Шаблон:Math, њихов производ једнак је Шаблон:Math :

$\frac{3n-mq}{m-nq}$

Тада се Шаблон:Radic може изразити нижим изразима од Шаблон:Math (пошто је први корак смањио величине од бројиоца и имениоца, а следећи кораци их нису променили) као Шаблон:Math, што је супротност хипотези да је Шаблон:Math најнижи.

Алтернативни доказ за то је претпоставка да је Шаблон:Math са Шаблон:Math потпуно смањени разломак :

Множењем са Шаблон:Math обе стране, а затим квадрирањем даје

$3n^2=m^2.$

Пошто је лева страна дељива са 3, тако је и десна страна, захтевајући да Шаблон:Math буде дељив са 3. Тада се Шаблон:Math може изразити као Шаблон:Math :

$3n^2=(3k{)}^2=9k^2$

Стога, дељење обе стране са 3 даје:

$n^2=3k^2$

Како је десна страна дељива са 3, тако је и лева страна, па је и Шаблон:Math . Дакле, како су и Шаблон:Math и Шаблон:Math дељиви са 3, они имају заједнички делилац и Шаблон:Math није потпуно смањени разломак, супротстављена изворној премиси.

Геометрија и тригонометрија

Дијагонала јединичне коцке је Шаблон:Radic .

Ова пројекција Билинског додекаедра је ромб са дијагоналним односом од Шаблон:Radic .

Квадратни корен од 3 се може наћи као дужина хипотенузе једнакостраничног троугла који обухвата круг пречника 1.

Ако је једнакостранични троугао са странама дужине 1 подељен на два једнака дела, дељењем унутрашњег угла како би направили прав угао са једном страном, прав угла троуглове хипотенузе је дужина један и стране су дужине Шаблон:Sfrac и Шаблон:Sfrac. Из овога је тригонометријска функција тангенте од 60° једнака Шаблон:Radic и синус од 60° и косинус 30° и једнаке Шаблон:Sfrac.

Квадратни корен од 3 се такође појављује у алгебарским изразима за разне друге тригонометријске константе, укључујући синус од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84°, и 87°.

То је растојање између паралелних страна правилног шестоугла са страницама дужине 1. На комплексној равни, то растојање се изражава као Шаблон:Math поменуто у наставку.

То је дужина дијагонале јединичне коцке .

Весица писцис има однос главне осе до мање осе једнак 1: Шаблон:Radic, што се може показати конструкцијом два једнакостранична троугла у себи.

Квадратни корен од −3

Множењем Шаблон:Radic помоћу имагинарне јединице даје квадратни корен -3, који је имагинарни број . Тачније,

$\sqrt{-3}=\pm \sqrt{3}i$

(види квадратни корен негативних бројева). То је Ајзенштајнов цео број. Наиме, изражава се као разлика два нереална кубна корена од 1 (који су Ајзенштајнови цели бројеви).

Друге намене

Енергетика

У електроенергетици, напон између две фазе у трофазном систему је једнака Шаблон:Radic пута линији неутралног напона. То је зато што било које два фазе су 120° размакнуте, и две тачке на кругу од 120 степени су раздвојене Шаблон:Radic пута полупречника (види примере геометрије горе).

Види још

• Квадратни корен из 2
• Квадратни корен од 5

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Теодорова константа на Math World
• [1] Кевин Браун
• [2] Е.Б. Давис